運用圖示，延展學生在數(shù)學實驗中的思維深度

林超

[摘要]圖示能突顯題干中關(guān)鍵信息之間的相互關(guān)系，數(shù)學實驗能促進靜態(tài)數(shù)學與動態(tài)數(shù)學的融通，在數(shù)學實驗中運用圖示，是期望運用動態(tài)的圖示建構(gòu)實驗的思維網(wǎng)絡，使學生體驗到數(shù)學學習的完整與活力。在教學中，教師可以通過“雙氣泡圖”“流程圖”“樹形圖”這三種圖示來明確實驗教學環(huán)節(jié)間的互動關(guān)系，在整合認知系統(tǒng)、激發(fā)類比思維的同時，實現(xiàn)思維的深度延展。

[關(guān)鍵詞]圖示;數(shù)學實驗;思維深度

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 29-0027-04

美國教育心理學家諾瓦克教授開發(fā)出作為學習腳手架的“概念圖”，即利用圖示的方法把人腦中的概念、思想與理論可視化，從而便于人們的思考、交流與表達。運用時，只需簡單的方框（圓圈）和連線就能表示復雜的概念間的關(guān)系（如圖1），同時還可以根據(jù)學習的需要，在原有的概念關(guān)系間加入新的概念及關(guān)系。這種圖示法早已被廣泛運用于數(shù)學學科，為學生學習數(shù)學知識提供了有力的支持。

目前數(shù)學教學中所運用的圖示，是綜合了多種思維方式的精確表示法，能突顯題干中關(guān)鍵信息之間的相互關(guān)系，激活舊知。美國教育學家海勒博士開發(fā)出一組思維可視化工具“八大思維圖示法”（如圖2），因其每種圖示都對應著一種具體的思維策略，豐富了學生解題的思路，延展了學生解題的深度，被數(shù)學教學廣泛采用。

郭慶松老師對小學數(shù)學實驗的界定：在數(shù)學思想和數(shù)學教學理論的指導下，小學生借助實物和工具，通過對實驗素材進行“數(shù)學化”的操作來驗證數(shù)學結(jié)論、建構(gòu)數(shù)學概念、探索數(shù)學規(guī)律、解決數(shù)學問題的一種數(shù)學學習方式。這體現(xiàn)了數(shù)學實驗注重實測與創(chuàng)思的特點，當課堂與實驗結(jié)合時，讓學生學會數(shù)學思考應是數(shù)學實驗的旨歸，而將思維教學滲透于實驗的每一個環(huán)節(jié)，圖示則是最有效的切人點。在數(shù)學實驗中運用圖示，正是基于其能夠表達實驗環(huán)節(jié)之間的互動關(guān)系，構(gòu)建學生走向深度思維的腳手架。下文以三種圖示為例，闡釋在數(shù)學實驗中運用圖示對學生思維深度的延展作用。

一、雙氣泡圖——在比較中搭建數(shù)學模型，激發(fā)思維碰撞

數(shù)學實驗多是圍繞一個知識點的理解而展開，因為聚焦點小，所以通過內(nèi)嵌于學習過程的實驗可以直指對內(nèi)容的理解與問題的求解。但正如弗洛登特爾所指，旁觀者確實可以將它解釋為數(shù)學，因為他熟悉數(shù)學，也了解實驗過程中兒童的活動是什么意思，可是兒童并不知道。這就意味著，數(shù)學實驗在引導學生完整經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的同時，還應當使學生也能明白這些實驗的意義。而雙氣泡圖可將圖形與比較融為一體，搭建與學生思維相對應的圖示，在構(gòu)圖、讀圖的過程中形成對應的表象，最終清晰地傳達實驗的意義。

例如，運用雙氣泡圖可以將長方體表面涂色問題搭建在學生對正方體表面涂色的認知基礎上。

根據(jù)“從簡單想起”的策略，且學生已掌握正方體中涂色個數(shù)的計算方法，實驗伊始，教師出示實驗記錄單（如表1），并提出問題：“如果不是正方體，而是長方體，不同的涂色面數(shù)的小長方體又會在哪？”學生會借助經(jīng)驗提出猜想：“三面涂色的還是在頂點，兩面涂色的還是在棱的中間，一面涂色的肯定在面的中間，但計算方法不同。”此時，如果放手讓學生利用學具進行驗證，學生往往會只創(chuàng)造他們感興趣的模型進行探討，得出的結(jié)論僅僅是問題鏈上的一個點。其實，學生實驗的意義并不是解決單一問題，而是為了探究這一類現(xiàn)象的本質(zhì)。為了使學生通過數(shù)學實驗真正實現(xiàn)深度學習，真正激發(fā)思維碰撞，筆者繪制了圖3。

在圖3的引導下，學生迅速厘清思路，不再糾結(jié)于個人的喜好，而是聚焦于長方體和正方體的共同特征“面、棱、頂點”上。很快，就有小組提出了新發(fā)現(xiàn)，并展示了本組的圖示（如圖4）。這個小組的匯報剛剛結(jié)束，立刻又有小組提出了新發(fā)現(xiàn)：“他們研究的是長、寬、高都超過兩層（a>2，b>2，c>2）的長方體，如果長方體的長、寬、高中出現(xiàn)一層或是兩層，這個結(jié)果就不對了，特別是一層的，里面還可能出現(xiàn)四、五面涂色的小長方體。因此，我們把圖示的右邊作了修改（如圖5）?！?/p>

研究到此，學生發(fā)現(xiàn)當長方體的長、寬、高中的出現(xiàn)一層時，一面涂色的小長方體就沒有了，兩面涂色的小長方體也不在棱上……筆者認為這次關(guān)于“雙氣泡圖”的嘗試，充分體現(xiàn)了其在兩個比較對象間“尋找相似與不同”的思維策略。同時也暴露出由于兩個比較對象間有大量的相似與不同，因此不能簡單地等同視之，還需要在具體的實驗中提煉出明確的焦點問題。雙氣泡圖在進入本次數(shù)學實驗的過程中，以正方體表面涂色為基礎，通過比較、遷移，讓抽象、復雜的長方體表面涂色的規(guī)律形成模型，清晰、直觀地呈現(xiàn)在學生眼前。雙氣泡圖的運用，將兩個原本就緊密相連的對象在思維的層面再次激活，促使學生從兩個對象的相似與不同中受到啟發(fā)。

二、流程圖——在直觀中確立問題引領(lǐng)，體驗思維脈動

數(shù)學實驗也可以是由若干連續(xù)實驗構(gòu)成的組塊實驗，體現(xiàn)在后一次的實驗都是對前認知的深入，關(guān)注了對相關(guān)內(nèi)容的整體認知與應用。正因為這類實驗是由幾個實驗串聯(lián)、并聯(lián)構(gòu)成，所以需要焦點問題的溝聯(lián)。美國數(shù)學家哈爾莫斯指出，問題是數(shù)學的心臟。問題的設計對表象的思維訓練及潛在的思維發(fā)展具有引領(lǐng)作用，教師要抓住某個最具價值的問題，引領(lǐng)實驗步驟，通過不同表征去層層推進，而“流程圖”能夠結(jié)合不同的目標情境，對某一程序性過程進行恰當?shù)牟襟E分解及有效歸并，引導學生在親歷探究中感受思維的脈動。

例如，運用流程圖可以預設分數(shù)除以整數(shù)的學習路徑，再根據(jù)任務序列或者例題序列，賦予實驗一定的邏輯遞進關(guān)系，并在實踐中一步步優(yōu)化。

分數(shù)除以整數(shù)的關(guān)鍵是對形如“4/5÷3”算理的理解，此時須讓學生明確三個意義：一是除法的意義，即平均分;二是分數(shù)的意義，即把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)用分數(shù)表示;三是分數(shù)乘法的意義，即求一個數(shù)的幾分之一用乘法。在實踐中，雖有三個意義保駕護航，但學生仍經(jīng)常出現(xiàn)用被除數(shù)的倒數(shù)與除數(shù)相乘的錯例。顯然學生已具備抽象的概念理解，但沒能落實到直觀的表征運用中來。

在充分認識課本例題所蘊含價值的基礎上，筆者結(jié)合原例題實驗1又設計了三個實驗，串聯(lián)起來分別是：1÷5（整數(shù)除以整數(shù)）→4/5÷2（被除數(shù)的分子能被整除的分數(shù)除法）→1/5÷2，1/5÷3（單位分數(shù)除以整數(shù)）→4/5÷3（被除數(shù)的分子不能被整除的分數(shù)除法），將實驗的焦點問題直指實驗4，并繪制了圖6。

沒有出示圖6前，學生獨立探究4/5÷2的計算，會“理所應當”地提出多種不同的計算方法，使得實驗的方向轉(zhuǎn)為關(guān)注“算法的多元化”和“必要的優(yōu)化”這兩種關(guān)系的博弈，忘記了實驗的目的是通過探究從而理解“除以一個不是0的整數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”。出示圖6后，學生可以清楚地發(fā)現(xiàn)，前三個實驗是為解決實驗4而設計的，這樣簡單的方框和箭頭就能讓學生的思維從零散走向系統(tǒng)化。

實驗1到實驗4呈現(xiàn)組塊實驗的特征，在此運用流程圖，不僅是對步驟間的先后順序進行審查，還能將碎片化的知識轉(zhuǎn)化為連貫性的想法，這種想法除了應用還需理解，確保各實驗環(huán)節(jié)的完整性。在這個意識的驅(qū)動下，筆者引導學生在圖6的基礎上接著繪制。之后在組與組的圖示比照中，學生能意識到應該在哪個實驗環(huán)節(jié)重點表現(xiàn)關(guān)鍵因素（如圖7）。

圖7的出示，是學生在焦點問題的引領(lǐng)下，運用流程圖細化了分步目標，再依據(jù)展開的問題進行遞進的實驗探索。本圖示的生成，是學生在圖6已構(gòu)建出的算式模型的基礎上自主建立的數(shù)量關(guān)系模型，展示了學生對數(shù)學概念思想、結(jié)構(gòu)聯(lián)系之間的理解。數(shù)學思維的品質(zhì)最終在于抽象思維的高低，而抽象思維的水平是以表象的質(zhì)量和數(shù)量情況為轉(zhuǎn)移的，這次流程圖的出示也印證了莊惠芬老師指出的：從學會數(shù)學地思維走向通過數(shù)學學會思維。

三、樹形圖——在猜想中嘗試推理驗證，呈現(xiàn)思維軌跡

由“形”的特征來勾畫出“數(shù)”與“式”，在聯(lián)通中發(fā)展學生的發(fā)散思維，從“點”到“網(wǎng)”，既而實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的生成與重組，這種思維的建構(gòu)過程就如同一棵樹，主題是樹干，類別是樹枝，類別中的各個項目是樹葉，再由焦點問題聯(lián)結(jié)成樹，最終形成直觀、有條理且不重復的樹形圖。樹形圖能夠為一組實驗提供多種合理的分類方式，清晰地展示分類間的相互聯(lián)系，而隨著思維的動態(tài)進程，最終形成涵蓋實驗內(nèi)容的整合性圖示，這將成為后續(xù)思辨時的鮮活資源，其建構(gòu)過程亦可見學生的思維軌跡。

例如，運用樹形圖可以有效厘清“釘子板上的多邊形”中，多邊形面積、邊上的釘子數(shù)和里面的釘子數(shù)三者之間的關(guān)系，從而助力學生在階梯式的猜想中迅速找到探究規(guī)律的切入點。

依據(jù)教材設計，本實驗分三步。第一步，探索圍成的多邊形里只有1枚釘子時的規(guī)律、只有2枚釘子時的規(guī)律、只有3枚、4枚釘子或更多釘子時的規(guī)律。由于預設到釘子數(shù)與多邊形面積之間的關(guān)系相對復雜，故設計如圖8的研究單一，幫助學生進行觀察、操作、比較，從而使學生明確：當內(nèi)部的釘子數(shù)為l時，多邊形的面積等于邊上釘子數(shù)除以2。第二步，引導學生橫向觀察，得到多邊形的面積與邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系，再啟發(fā)學生縱向思考：當邊上的釘子數(shù)依次增加1枚時，面積如何變化。

這時，教師出示樹形圖（如圖9），并結(jié)合如圖10的研究單二，引導學生通過研究現(xiàn)有的里面釘子數(shù)為1、2、3-的多個實例，對初步得出的結(jié)論進行驗證。

鄭毓信教授指出：我們不應將各個數(shù)學對象看成互不相關(guān)的獨立存在，恰恰相反，它們的性質(zhì)完全取決于它們的相互聯(lián)系。而數(shù)學本就是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，樹形圖在此的運用，是將看似獨立的點放置在系統(tǒng)中，從而使思維的軌跡可視。這個過程還可以幫助學生進行類比，找尋不同對象之間的聯(lián)系，使學生發(fā)現(xiàn)這類對象的共同點。如圖9的出示，是在“固定其他因素，只讓某個量變化，從而得到問題結(jié)果”這個策略指引下進行實驗的，當里面的釘子數(shù)為1或2時，學生通過畫一畫、數(shù)一數(shù)、算一算等思維活動驗證關(guān)系式的正確與否，然后根據(jù)已有的兩個關(guān)系式之間的聯(lián)系，猜想當里面釘子數(shù)是2、3、4……甚至是0時，又具有什么類似的關(guān)系式。當然，這些猜想并未經(jīng)過驗證，同時預設的驗證過程也并非一帆風順，筆者認為在后一階段的分工合作驗證中，讓學生體驗到小小的坎坷也是思維發(fā)展中應該經(jīng)歷的。

從抽象猜想到推理驗證，整個思維軌跡在樹形圖的驅(qū)動下逐步可視，當學生看到圖9中由自己概括提煉出的相似結(jié)構(gòu)關(guān)系式時，自會生成此類對象的“共通”關(guān)系式，最后筆者補充形成如圖11的樹形圖。這個思維結(jié)構(gòu)的建立過程也印證了鄭毓信教授的另一段話：我們由此獲得了一個既十分豐富又井然有序（或者說，具有明確數(shù)學結(jié)構(gòu)）的“數(shù)學世界”。

圖示的運用，為思維的延展提供了新的方式，筆者也在試著借此探尋學習的深處。基于對“數(shù)學實驗的內(nèi)核就是學生思維培養(yǎng)”的理解，筆者將通過對此的研學，努力找尋數(shù)學知識與數(shù)學體驗的思維結(jié)點。

[參考文獻]

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[3]潘香君，莊惠芬.構(gòu)圖，賦予學生創(chuàng)造性思維生長的力量[J].江蘇教育，2015（09）.

[4]趙國慶，楊宣洋，熊雅雯.論思維可視化工具教學應用的原則和著力點[J].電化教育研究，2019（09）.

（責編 李琪琦）