分析高中數(shù)學不等式易錯題型及解題技巧

李靜

摘 要：文章以分析高中數(shù)學不等式易錯題型及解題技巧為主要內容，以當下高中數(shù)學新課程標準需求為主要依據(jù)，從和線性規(guī)劃結合問題、高次不等式的解答方法、不等式等價轉化問題、含參不等式問題、絕對值不等式問題、不等式恒成立問題這幾方面進行深入探討和分析，其目的在于更好地解答高中數(shù)學不等式易錯題，使得學生掌握一定技巧，旨在為相關研究提供參考資料。

關鍵詞：高中數(shù)學知識;不等式問題;易錯題;解題技巧

中圖分類號：G633.6?文獻標識碼：A?文章編號：2095-624X（2020）27-0081-02

一、逐漸引入不等式概念

不等式概念中，包含了數(shù)學思考，但多數(shù)教師只是根據(jù)教學參考書以及大綱來安排教學，直接進入不等式的內容講解。筆者認為在引入不等式概念時一定要逐漸引進。在接觸不等式知識前，學生習慣用等號來連接式子兩端，突然要用“>”“<”符號連接式子，學生一下難以適應。這時可讓學生體會世上的萬物都有正、反兩面，對于數(shù)學而言，數(shù)學中有等式，也有不等式，在學習時難免會有較為“別扭”的感覺，認為不等式就是數(shù)學內容中的不和諧因素。實際上不等式也是數(shù)學的一種表達式，其以相似確定形式描述了一種無窮及不確定的數(shù)學狀態(tài)。故教師在對這部分內容講解時，引入概念時要平緩，這樣才能自然銜接，糾正學生對不等式的看法。

二、解題中所體現(xiàn)的數(shù)學思想

為了更好地幫助學生掌握不等式的有關解題方法，很多教師都絞盡腦汁，總結了很多技巧。例如，“解不等式的方法是利用函數(shù)性質，將無理不等式化成有理不等式。高向低次代，轉化步步等價……”對于這類技巧，學生如果可以掌握自然是好，但如果無法掌握也不能讓學生死記，因此硬背的方式是不可取的。只有真正掌握了不等式推導的起始過程，學生才能牢記于心里。

很多教師在講解不等式內容時，容易把這一節(jié)的內容孤立起來。事實上，不等式就是一個簡單函數(shù)，需要學生快速聯(lián)想起函數(shù)的定義域、值域等因素，特別要培養(yǎng)學生在遇到根號下整式、分式下分母、底數(shù)函數(shù)等不等式時，其腦中馬上就要想到先求出這些數(shù)學因子的定義域，在此范圍內再去尋求不等式的解。教師充分考慮各因素并形成科學數(shù)學思維，讓高中生掌握數(shù)學歸納法以及分類討論法等基本方法不等式就是這樣，在未考慮分母、底數(shù)函數(shù)是否有意義的條件下盲目尋求不等式的解，無法做到等價置換，且容易出錯。所以對于易錯題的講解，還是十分必要的。

三、易錯題型及解題技巧

1.和線性規(guī)劃結合問題

此類數(shù)學問題在高考數(shù)學教學中占據(jù)比例是比較大的，并且涉及的數(shù)學知識點也比較多，主要是值域、定義域以及面積計算等，在解答此類數(shù)學問題時，一定要尋找恰當?shù)慕忸}方法，一旦不等式和線性規(guī)劃數(shù)學性質理解不夠具體和詳細，那么解題過程將會出現(xiàn)錯誤。

比如，在學習人教版不等式知識內容時，有這樣一

道例題：下有不等式組所表示的平面區(qū)域面積

都是等于一的三角形，那么實數(shù)k的數(shù)值則為（? ?）。

A.-1B.—C.—D.1

此道數(shù)學題所要解決的難點問題，就是三條直線在x、y軸上圍成的圖形——三角形圖形面積的計算，這里也是學生最容易出現(xiàn)問題的地方，解決問題的主要方法就是將三條直線圍成的示意圖圖形面積標出來（如圖1所示），然后將A、B、C、D四個答案代入方程式中計算，就可以得到正確答案，通過計算后發(fā)現(xiàn)選項B是正確的[1]。

解決此類問題的技巧可以分為兩個形式，第一是將問題轉化為目標函數(shù)最值求解問題，解決問題的關鍵在于在紙張上繪畫出可行域，進而可以更加正確地理解目標函數(shù)的幾何意義和價值，此思路是正確解決問題的一種方式[2]。

第二則是將目標函數(shù)中的參數(shù)進行設立設置，主要目的在于提升探索問題的動態(tài)性以及問題的開放性，解決問題的關鍵在于從目標函數(shù)結論上入手，針對圖形動態(tài)關系進行分析，對于整個函數(shù)變化過程以及出現(xiàn)的各種相關量進行準確定位，進而可以從此類問題中尋找到解決問題的主要思維方法。

2.高次不等式的解答方法

高次不等式易錯點主要是學生經(jīng)常會遺忘數(shù)學知識的特殊點，一些特殊區(qū)域難免會被學生遺忘，進而無法判斷函數(shù)升降問題。人教版高中數(shù)學不等式章節(jié)知識中有一道例題是：求解（x+3）（x-2）（x-4）≤0的解集。此題解答方法和思路是可以在數(shù)軸上將方程的三個零點標記出來，分別是-3、2、4，三個零點將整個數(shù)軸分為4個區(qū)間，如圖2所示。

最右邊的第一個區(qū)間是正數(shù)，后邊則正負相間，在區(qū)間將正負號標記清楚，不等式小于等于0則是符號區(qū)間，進而可以得到正確答案。因此此不等式的解集則是{x|2≤x≤4或者x≤-3}。解答此類數(shù)學題型的主要技巧在于要善于使用函數(shù)圖像對區(qū)間進行劃分，在具體解決問題過程中一定要注意尋找一些特殊點，通過特殊點解決數(shù)學問題，加深對知識的理解，從而不斷提升學生解決不等式問題的效率。

3.不等式等價轉化問題

在學習人教版知識時，一道例題是：不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值是3，那么請求出p的值。學生在解決此類不等式題時容易出現(xiàn)錯誤的原因是學生并未進行等價轉化，無法理解x的最大值是3的真正內涵。

解決問題的主要步驟：因為x的最大值是3，所以x-3<0，原不等式則可以替換為等價的|x2-4x+p|-（x-3）≤5。通過化簡可以轉化為-x-2≤x2-4x+p≤x+2，最后可以得到{ ? ，假設①和②的根依次是x1、x2（x2>x1）、x2x3（x4x3），則x2=3或者x4=3，

假如x2=3，那么9-15+p-2=0，所以解得p的數(shù)值為8;

假如x4=3，那么9-9+p+2=0，所以解得p的數(shù)值為-2;

當p=-2，原不等式組無解，那么p的數(shù)值則為8。

學生在解決此類問題時，到了后面則會忘記前面的數(shù)學知識，要想真正解決此類問題，就要多做題，多練習，才能夠更好地克服和解決學習數(shù)學知識帶來的負遷移效果。學生不會等價轉化方法，就要進行針對性訓練，直到學生掌握知識內容為止。不等式是高考數(shù)學必考知識點，不等式知識掌握程度直接影響了學生數(shù)學成績，所以在平時做題過程中一定要準備好一本錯題集，將容易做錯和經(jīng)常出錯的數(shù)學題目抄寫下來，在題目旁邊一定要書寫出現(xiàn)錯誤的原因，經(jīng)常將錯題本拿出來閱讀和思考，堅決不能在同一個地方跌倒兩次。

4.含參不等式問題

通常解決含參數(shù)不等式問題時，需要用到分類討論方法，選擇恰當?shù)姆诸惙绞?。要想真正解決數(shù)學問題，就要分析參數(shù)是否為零以及不能重復和遺漏等。比如，人教版例題中關于x的不等式是ax2-2x+1>0，（a是常數(shù)，并且a∈R）。遇到此類數(shù)學問題，學生就要立即想到采用分類情況進行討論，分別是a=0、a>0和a<0三種情況，并且在a>0時還要注重有效區(qū)別▲的數(shù)值。解決此種類型的數(shù)學題目一定要記得使用的解題技巧就是參數(shù)一定要以分類形式進行討論，確保整個過程不重復，也不遺漏?；静坏仁浇鉀Q方法就是湊項，拆項，配系數(shù)，換元和取倒數(shù)的代換。

5.絕對值不等式問題

解決絕對值不等式問題可以通過變形將絕對值符號去除，然后將不等式轉化為一元一次以及一元二次不等式組，求解起來更加簡單，含有多個絕對值符號的不等式解決方法，一般可以采用零點分段方法進行求解，也可以用解決實數(shù)絕對值的方法表示的幾何意義進行求解，還要考慮不等式的最值問題。解決問題的主要思路就是通過各種方式將問題轉化為不含絕對值符號的一個簡單式子進行計算。

6.不等式恒成立問題

不等式恒成立問題一般會和高中數(shù)學知識中數(shù)列以及抽象函數(shù)結合起來，此類數(shù)學問題屬于高中數(shù)學不等式問題的難點問題，對于學生來說都是比較抽象的，容易出現(xiàn)錯誤，比如，人教版不等式例題函數(shù)f（x）-Ln（1+x）， g（x）=xf'（x），x≥0，其中f'（x）是f（x）的導函數(shù)。

（1）假設g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求出gn（x）的表達式。

（2）假設f（x）≥ag（x）恒成立，那么請求出a的取值范圍。

（3）假設n∈N+，對比g（1）+g（2）+...+g（n）和n- f（n）的大小，并通過簡單解題步驟進行證明。

此道數(shù)學例題考查的是不等式和函數(shù)導數(shù)閉區(qū)間的最值問題，依照函數(shù)單調性問題，解決此類數(shù)學問題一般要使用分離變量以及變形方案，或者使用變換主元以及構造函數(shù)的方法進行解決，還可以使用函數(shù)單調性和基本不等式形式求解，最值問題可以通過一種方式轉化為基本不等式進行求解，并且在轉化不等式過程中還要格外注意不等式等號方向，解決問題期間要注意一正二定三相等。

綜上所述，在解決高中數(shù)學問題時一定要高度重視數(shù)學實踐內容，對不等式知識內容容易出錯題型進行整理和記錄，做好不等式證明、轉化和最值求解工作，掌握具體解題技巧，從而可以更好地解決數(shù)學問題，以便于在高考中獲得更好的成績。

[參考文獻]

[1]吳建芬.高中數(shù)學不等式易錯題分析[J].中學數(shù)學，2018（13）.

[2]王 楠.高中數(shù)學不等式易錯題型及解題技巧[J].好家長，2017（40）.

課題項目：高中數(shù)學“先學后教”與“先教后學”教學模式的比較研究（20164617）。

作者簡介：李 靜（1990— ），女，吉林長春人，中學一級教師，本科，研究方向：高中數(shù)學教學。