論初中方程的教育價(jià)值及其實(shí)現(xiàn)

張杏華

[摘 要]方程是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，實(shí)施有效的方程教學(xué)的前提是對(duì)方程的教育價(jià)值有正確的認(rèn)識(shí).方程的教育價(jià)值在于方程蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)三大基本思想之一——模型思想.

[關(guān)鍵詞]方程;教育價(jià)值;模型思想

[中圖分類號(hào)] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058（2020）26-0001-03

在初中學(xué)段，無(wú)論是哪個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材，方程都是核心內(nèi)容之一.因此，在實(shí)施教學(xué)前，教師有必要明確兩個(gè)問(wèn)題：1.通過(guò)方程的學(xué)習(xí)，我們最希望學(xué)生獲得的是什么？2.基于這樣的需要，我們?cè)撊绾伍_(kāi)展教學(xué)？這是實(shí)現(xiàn)方程教學(xué)有效性的前提.本文以人教版教材為例，論述初中方程的教育價(jià)值及其在教學(xué)實(shí)踐中的實(shí)現(xiàn).

一、方程的概念

方程是含有未知數(shù)的等式.例如，[3x-6=0，34+2x=5 ， x2+2x=15-x].方程體現(xiàn)的是兩個(gè)數(shù)學(xué)式（如兩個(gè)數(shù)、函數(shù)、量、運(yùn)算）之間的相等關(guān)系.

二、初中方程內(nèi)容的分布及結(jié)構(gòu)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，方程占有重要的地位.以人教版教材為例，編排了三個(gè)完整章和兩個(gè)分散節(jié)，共計(jì)十三節(jié).在內(nèi)容上，有一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程;在結(jié)構(gòu)上，分為三個(gè)板塊，即方程（方程組）的概念、方程（方程組）的解法、實(shí)際問(wèn)題與方程（方程組）.

三、初中方程的教學(xué)要求

（一）基本知識(shí)和技能

使學(xué)生能根據(jù)所研究問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，并能用方程進(jìn)行表述;掌握一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程的解法.

（二）基本思想

使學(xué)生在用方程表述數(shù)量關(guān)系的過(guò)程中體會(huì)模型思想;在解方程的過(guò)程中體會(huì)化歸思想.

（三）基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

使學(xué)生經(jīng)歷 “實(shí)際問(wèn)題—數(shù)學(xué)問(wèn)題（方程、方程組）—實(shí)際問(wèn)題”的過(guò)程，初步具備從不同角度分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力并掌握一些基本方法.

四、方程的教育價(jià)值

關(guān)于方程的教育價(jià)值，七年級(jí)上冊(cè)第三章《一元一次方程》起始節(jié)中有一句點(diǎn)睛的話—— “通過(guò)今后的學(xué)習(xí)，你會(huì)逐步認(rèn)識(shí)： 從算式到方程是數(shù)學(xué)的進(jìn)步” . 這句話的引出在教材中是有其特殊背景的. 教材給出了一個(gè)問(wèn)題：一輛客車(chē)和一輛卡車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，客車(chē)的行駛速度是[70 km/h]，卡車(chē)的行駛速度是[60 km/h]，客車(chē)比卡車(chē)早[1 h]經(jīng)過(guò)B地. A，B兩地間的路程是多少？教材先是提示學(xué)生嘗試列算式來(lái)解決，緊接著又引導(dǎo)學(xué)生利用小學(xué)的方程知識(shí)，列方程求解.

教學(xué)實(shí)踐證明，用算術(shù)的方法來(lái)解決，思維要求較高，相當(dāng)一部分學(xué)生不能順利地解出，而用方程的方法，絕大多數(shù)學(xué)生可以較容易地列出方程.教材如此編排，意圖很明顯——讓學(xué)生親身體會(huì)在解決較復(fù)雜問(wèn)題時(shí)方程優(yōu)于算式，從而對(duì)“從算式到方程是數(shù)學(xué)的進(jìn)步”有初步的感性認(rèn)識(shí).

那么，方程優(yōu)于算式僅僅在于思維更簡(jiǎn)捷嗎？ 其實(shí)不然.方程比算式的進(jìn)步在于數(shù)學(xué)思想上的進(jìn)步.作為初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，方程是解決實(shí)際問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)模型之一（中學(xué)階段常見(jiàn)的模型還有不等式、函數(shù)等），更是算術(shù)法到代數(shù)法思維提升的重要標(biāo)志. 它的進(jìn)步性在于： 算術(shù)法的解題過(guò)程中只含有已知數(shù)，而方程通過(guò)等式使得未知數(shù)與已知數(shù)產(chǎn)生聯(lián)系，未知數(shù)得以參與運(yùn)算，為解決問(wèn)題提供了更多便利.這不是簡(jiǎn)單的解題技巧，而是思維上的飛躍.

（一）方程的教育價(jià)值之一：模型思想

何謂“數(shù)學(xué)模型”？廣義地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)關(guān)系（ 包括數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、邏輯關(guān)系） 或結(jié)構(gòu)，它采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，抽象、概括地描述了特定對(duì)象的特征.數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方程以及由之構(gòu)成的算法系統(tǒng)都可以稱為數(shù)學(xué)模型.

《課標(biāo)》指出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們往往需要先剝?nèi)ゾ唧w對(duì)象的物質(zhì)性，將現(xiàn)實(shí)世界中的具體事物抽象為數(shù)學(xué)元素，再用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型來(lái)表示問(wèn)題中各相關(guān)要素的數(shù)量關(guān)系或者變化規(guī)律，接著解決與實(shí)際問(wèn)題毫無(wú)聯(lián)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后再將結(jié)果還原至實(shí)際情境中，進(jìn)行是否符合現(xiàn)實(shí)意義的驗(yàn)證.在這個(gè)過(guò)程中，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是建立模型.

下面以上述路程問(wèn)題為例，體會(huì)模型思想在解決問(wèn)題時(shí)所起的重要作用.

1.算術(shù)解法

由題意可知，因客車(chē)的時(shí)速已知，欲求路程，須求出客車(chē)的行駛時(shí)間.因?yàn)榭蛙?chē)比卡車(chē)早[1 h]到達(dá)B地，所以客車(chē)到達(dá)時(shí)卡車(chē)距B地仍有60 km（60 × 1），而每經(jīng)過(guò)一個(gè)小時(shí)，客車(chē)便比卡車(chē)多行駛10 km（70 - 60），因此可以知道客車(chē)和卡車(chē)已經(jīng)分別行駛了[6 h6010].列出的算式為[70×60×170-60=420（km）].

2.方程解法

設(shè)A，B兩地相距[x km]，從A地到B地，客車(chē)和卡車(chē)的行駛時(shí)間分別為[x70，x60]，列出的方程為[x60-x70=1].

3.兩種解法的賞析

解此題時(shí)，可以判斷學(xué)生對(duì)于“[路程=速度×?xí)r間]”或其等價(jià)變形如“[時(shí)間=路程速度]”是比較熟悉的.

采用算術(shù)法時(shí)，由于已知速度，所以必須求出總時(shí)間，基礎(chǔ)一般的學(xué)生可能會(huì)試圖去求取總路程，但總路程也是未知，因此產(chǎn)生了難度，需要挖掘更本質(zhì)的關(guān)系，即

[客車(chē)行駛的時(shí)間=客車(chē)比卡車(chē)多走的路程客車(chē)時(shí)速-卡車(chē)時(shí)速]，方可列出正確的算式，[即客車(chē)行駛的時(shí)間=60×170-60=6（h）]，進(jìn)而列出A、B兩地間的路程[=70×6=420（km）].

采用方程解法時(shí)，依據(jù)求什么就設(shè)什么的一般原則，可設(shè)[A、B兩地相距x km]，根據(jù)“[時(shí)間=路程速度]”，可知客車(chē)行駛的時(shí)間[=x70]，[卡車(chē)行駛的時(shí)間=x60]，由于[從A地到B地]，客車(chē)的行駛時(shí)間比卡車(chē)少[1 h]，所以列出方程為[x60-x70=1].

不難看出，雖然兩種解法在本質(zhì)上都是運(yùn)用了“[時(shí)間=路程速度]”這個(gè)模型，但方程解法并不必像算術(shù)解法那樣挖掘更本質(zhì)的關(guān)系，思維難度明顯降低了.

4.結(jié)論

事實(shí)上，算式的思維方式是從結(jié)果倒推的逆向思維（為了求出路程，必須求出時(shí)間; 為了求出時(shí)間，必須求出…… ），列算式時(shí)是從已知出發(fā)，追本溯源，最后才能發(fā)現(xiàn)結(jié)果.在這個(gè)過(guò)程中，思路千頭萬(wàn)緒，紛繁復(fù)雜，很難看出求解的路徑.方程則體現(xiàn)了模型思想，它最突出的優(yōu)勢(shì)是實(shí)現(xiàn)正向思考.更通俗的表述：方程法引入未知數(shù)，并把未知數(shù)視為已知數(shù)，相當(dāng)于增加了已知條件，未知數(shù)與已知數(shù)享有相同權(quán)利，一起參與正向思考，更易于找到未知數(shù)與真正的已知條件的等量關(guān)系，便于列出方程.本質(zhì)上是利用列方程求解的正向操作，回避了對(duì)問(wèn)題的逆向思考，從而降低了解決問(wèn)題的難度.

當(dāng)問(wèn)題的各相關(guān)要素關(guān)系復(fù)雜時(shí)，與算術(shù)法相比，方程法是一種思路更清晰的解法.方程法的兩個(gè)步驟： （1）翻譯.實(shí)現(xiàn)從文字語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化.即用方程來(lái)表述問(wèn)題中的等量關(guān)系;（2）解方程. 由于解方程有機(jī)械方法（程序性），故方程法的真正難點(diǎn)在第一步，與算式法相比，思維難度不可同日而語(yǔ). 方程可以使用簡(jiǎn)單的等量關(guān)系，付出相對(duì)復(fù)雜的計(jì)算的代價(jià)來(lái)解決問(wèn)題.算術(shù)方法則相反， 必須挖掘出更本質(zhì)的等量關(guān)系，思維的難度顯然要大得多，得到的回報(bào)是計(jì)算容易了.

（二）方程的教育價(jià)值之二：化歸思想

化歸，就是在研究問(wèn)題時(shí)，把待解決的研究對(duì)象，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或可能更容易解決的問(wèn)題中去，最終使原問(wèn)題得到解決的思維方法.化歸思想的精髓在于對(duì)各種數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行合理變換，從而達(dá)到化陌生為熟悉、化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化抽象為具體的目的.

化歸思想主要體現(xiàn)在解方程的過(guò)程中.

解一元一次方程的過(guò)程是利用等式的性質(zhì)及運(yùn)算律使方程形式逐步化簡(jiǎn)，直至化為[x=a]（a為已知數(shù)）. 在此過(guò)程中，化歸思想起了重要作用.

解二元一次方程組時(shí)，通過(guò)消元，把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了化歸思想.

解一元二次方程的基本思路則是把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解.具體做法是利用配方、因式分解等方法達(dá)到“降次”的目的.

解分式方程時(shí)，關(guān)鍵步驟在于將分式方程化歸為整式方程，最常用的辦法是去分母.

五、方程的教育價(jià)值的實(shí)現(xiàn)

著名荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)中最主要的成分始終是思想方法，真正能夠指導(dǎo)思維訓(xùn)練作用的是數(shù)學(xué)方法而不是具體的題材，因而必須強(qiáng)調(diào)方法，并盡可能使之明確. 因此，在方程的教學(xué)中，應(yīng)設(shè)法提供足夠多的機(jī)會(huì)讓學(xué)生親身體會(huì)模型思想和化歸思想.

以下以筆者的一次教學(xué)實(shí)踐為例，闡述如何開(kāi)發(fā)現(xiàn)有教學(xué)材料，讓學(xué)生充分體會(huì)模型思想.

原題：幾個(gè)人共同種一批樹(shù)苗，如果每人種10棵，則剩下6棵樹(shù)苗未種;如果每人種12棵，則缺6棵樹(shù)苗.求參與種樹(shù)的人數(shù).

此題是人教版七年級(jí)上冊(cè)第三章《一元一次方程》第二節(jié)《解一元一次方程（一）》的課后習(xí)題.由于剛剛學(xué)習(xí)了一元一次方程的概念和解法，為了達(dá)到及時(shí)鞏固新知識(shí)和熟練掌握新技能的目的，大多數(shù)教師對(duì)此題的處理都是要求學(xué)生列方程求解，不鼓勵(lì)甚至不允許學(xué)生列算式求解. 筆者認(rèn)為，這是一道值得深挖內(nèi)在價(jià)值的好題目，無(wú)論是用算式求解還是方程求解，都繞不開(kāi)數(shù)學(xué)模型，可以讓學(xué)生充分地體會(huì)模型思想.因此，筆者做了如下的教學(xué)設(shè)計(jì).

環(huán)節(jié)一：請(qǐng)用算式和方程分別求解.

算式：[6-（-6）12-10=6（人）].

方程：設(shè)有[x]人種樹(shù)，則[10x+6=12x-6].

分析：

（1）算術(shù)法的思路：欲求人數(shù)，須求樹(shù)苗總棵數(shù);樹(shù)苗總棵數(shù)難求，但兩次種樹(shù)的人均種樹(shù)棵數(shù)有差異，導(dǎo)致總棵數(shù)也有差異，根據(jù)這個(gè)隱含的條件可以不必求出總棵數(shù)而求出人數(shù).

運(yùn)用的數(shù)學(xué)模型是：

[種樹(shù)人數(shù)=第二次所有人多種的棵數(shù)總數(shù)第二次每人多種的棵數(shù)]

需要注意的是，此解法有一個(gè)“假設(shè)前提”，即第一種種樹(shù)方式要假設(shè)把剩下的6棵樹(shù)苗也種上，第二種種樹(shù)方式則要假設(shè)缺少的6棵數(shù)也要補(bǔ)種，這是算術(shù)解法繼如上分析需要挖出隱含條件后的第二個(gè)障礙.

（2）方程法的思路：找到等量關(guān)系，經(jīng)過(guò)“翻譯”，列方程.

運(yùn)用的數(shù)學(xué)模型是“第一次的樹(shù)苗數(shù)=第二次的樹(shù)苗數(shù)”.

環(huán)節(jié)二：

變式一：幾個(gè)人共同種一批樹(shù)苗，如果每人種10棵，則剩下6棵樹(shù)苗未種;如果每人種11棵，則正好種完.求參與種樹(shù)的人數(shù).要求用算式和方程分別求解.

算式：[6-011-10=6].

方程：設(shè)有[x]人種樹(shù)，則[10x+6=11x].

分析：思路與原題完全一致.變式的目的是鞏固算術(shù)法和方程法的模型，強(qiáng)化模型意識(shí)，為變式二做準(zhǔn)備.

環(huán)節(jié)三：

變式二：幾個(gè)人共同種一批樹(shù)苗，如果每人種11棵，正好種完;如果其中2人各種7棵，其余每人種13棵，也正好種完.求參與種樹(shù)的人數(shù).要求用算式和方程分別求解.

算式：[2+（11-7）×213-11=6].

方程：設(shè)有[x]人種樹(shù)，則[11x=2×7+13（x-2）].

分析：

（1）算術(shù)法

由于第二次種樹(shù)時(shí)2人少種，其他人多種，因此雖然算術(shù)法運(yùn)用的數(shù)學(xué)模型表面仍然是[“種樹(shù)人數(shù)=第二次多種的總棵數(shù)第二次每人多種的棵數(shù)”]，但這個(gè)模型本質(zhì)上應(yīng)該修正為[“種樹(shù)人數(shù)=第二次與第一次的總棵數(shù)差第二次與第一次的每人棵數(shù)差”]，難度隨之增大.

（2）方程法

運(yùn)用的數(shù)學(xué)模型仍然是[“第一次的樹(shù)苗數(shù)=第二次的樹(shù)苗數(shù)”]，難度并沒(méi)有隨種樹(shù)方式趨于復(fù)雜而增加.

環(huán)節(jié)四：

請(qǐng)歸納出此類題型的算式模型、方程模型，并體會(huì)這兩種模型的優(yōu)劣.

此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生親身體會(huì)模型思想并不是方程特有的，學(xué)生在小學(xué)階段曾經(jīng)非常熟悉的算式也是蘊(yùn)含著模型思想的.但經(jīng)過(guò)對(duì)比，學(xué)生可以體會(huì)到方程在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用模型思想的思維簡(jiǎn)約美，并初步具備建模的意識(shí)和主動(dòng)建模的意愿.

六、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)是在對(duì)客觀世界進(jìn)行不斷抽象概括的過(guò)程中逐漸形成的科學(xué)語(yǔ)言與工具.數(shù)學(xué)在人類社會(huì)的高速發(fā)展進(jìn)程中發(fā)揮著越來(lái)越大的作用.數(shù)學(xué)也在不斷地發(fā)展、進(jìn)步.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從根本上講是要獲得數(shù)學(xué)的思想和方法.從算式到方程之所以是數(shù)學(xué)的進(jìn)步，是因?yàn)榉匠梯^之算式不但是技能上的進(jìn)步，更是數(shù)學(xué)思想上的飛躍.初中方程的教育價(jià)值在于方程蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想.因此，在方程的教學(xué)中，基本知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練固然不可缺失，但數(shù)學(xué)思想方法的揭示和提煉更重要.深刻理解方程的教育價(jià)值，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，進(jìn)行符合認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)心理的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生充分體會(huì)方程的思想并形成主動(dòng)運(yùn)用方程的意識(shí)，才能夠從根本上實(shí)現(xiàn)方程教學(xué)的課程目標(biāo).

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ]

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（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）