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    論初中方程的教育價(jià)值及其實(shí)現(xiàn)

    2020-09-26 12:02張杏華
    關(guān)鍵詞:模型思想教育價(jià)值方程

    張杏華

    [摘 要]方程是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一,實(shí)施有效的方程教學(xué)的前提是對(duì)方程的教育價(jià)值有正確的認(rèn)識(shí).方程的教育價(jià)值在于方程蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)三大基本思想之一——模型思想.

    [關(guān)鍵詞]方程;教育價(jià)值;模型思想

    [中圖分類號(hào)] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058(2020)26-0001-03

    在初中學(xué)段,無(wú)論是哪個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材,方程都是核心內(nèi)容之一.因此,在實(shí)施教學(xué)前,教師有必要明確兩個(gè)問(wèn)題:1.通過(guò)方程的學(xué)習(xí),我們最希望學(xué)生獲得的是什么?2.基于這樣的需要,我們?cè)撊绾伍_(kāi)展教學(xué)?這是實(shí)現(xiàn)方程教學(xué)有效性的前提.本文以人教版教材為例,論述初中方程的教育價(jià)值及其在教學(xué)實(shí)踐中的實(shí)現(xiàn).

    一、方程的概念

    方程是含有未知數(shù)的等式.例如,[3x-6=0,34+2x=5 , x2+2x=15-x].方程體現(xiàn)的是兩個(gè)數(shù)學(xué)式(如兩個(gè)數(shù)、函數(shù)、量、運(yùn)算)之間的相等關(guān)系.

    二、初中方程內(nèi)容的分布及結(jié)構(gòu)

    在初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中,方程占有重要的地位.以人教版教材為例,編排了三個(gè)完整章和兩個(gè)分散節(jié),共計(jì)十三節(jié).在內(nèi)容上,有一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程;在結(jié)構(gòu)上,分為三個(gè)板塊,即方程(方程組)的概念、方程(方程組)的解法、實(shí)際問(wèn)題與方程(方程組).

    三、初中方程的教學(xué)要求

    (一)基本知識(shí)和技能

    使學(xué)生能根據(jù)所研究問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程,并能用方程進(jìn)行表述;掌握一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程的解法.

    (二)基本思想

    使學(xué)生在用方程表述數(shù)量關(guān)系的過(guò)程中體會(huì)模型思想;在解方程的過(guò)程中體會(huì)化歸思想.

    (三)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

    使學(xué)生經(jīng)歷 “實(shí)際問(wèn)題—數(shù)學(xué)問(wèn)題(方程、方程組)—實(shí)際問(wèn)題”的過(guò)程,初步具備從不同角度分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力并掌握一些基本方法.

    四、方程的教育價(jià)值

    關(guān)于方程的教育價(jià)值,七年級(jí)上冊(cè)第三章《一元一次方程》起始節(jié)中有一句點(diǎn)睛的話—— “通過(guò)今后的學(xué)習(xí),你會(huì)逐步認(rèn)識(shí): 從算式到方程是數(shù)學(xué)的進(jìn)步” . 這句話的引出在教材中是有其特殊背景的. 教材給出了一個(gè)問(wèn)題:一輛客車(chē)和一輛卡車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛,客車(chē)的行駛速度是[70 km/h],卡車(chē)的行駛速度是[60 km/h],客車(chē)比卡車(chē)早[1 h]經(jīng)過(guò)B地. A,B兩地間的路程是多少?教材先是提示學(xué)生嘗試列算式來(lái)解決,緊接著又引導(dǎo)學(xué)生利用小學(xué)的方程知識(shí),列方程求解.

    教學(xué)實(shí)踐證明,用算術(shù)的方法來(lái)解決,思維要求較高,相當(dāng)一部分學(xué)生不能順利地解出,而用方程的方法,絕大多數(shù)學(xué)生可以較容易地列出方程.教材如此編排,意圖很明顯——讓學(xué)生親身體會(huì)在解決較復(fù)雜問(wèn)題時(shí)方程優(yōu)于算式,從而對(duì)“從算式到方程是數(shù)學(xué)的進(jìn)步”有初步的感性認(rèn)識(shí).

    那么,方程優(yōu)于算式僅僅在于思維更簡(jiǎn)捷嗎? 其實(shí)不然.方程比算式的進(jìn)步在于數(shù)學(xué)思想上的進(jìn)步.作為初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容,方程是解決實(shí)際問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)模型之一(中學(xué)階段常見(jiàn)的模型還有不等式、函數(shù)等),更是算術(shù)法到代數(shù)法思維提升的重要標(biāo)志. 它的進(jìn)步性在于: 算術(shù)法的解題過(guò)程中只含有已知數(shù),而方程通過(guò)等式使得未知數(shù)與已知數(shù)產(chǎn)生聯(lián)系,未知數(shù)得以參與運(yùn)算,為解決問(wèn)題提供了更多便利.這不是簡(jiǎn)單的解題技巧,而是思維上的飛躍.

    (一)方程的教育價(jià)值之一:模型思想

    何謂“數(shù)學(xué)模型”?廣義地說(shuō),數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)關(guān)系( 包括數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、邏輯關(guān)系) 或結(jié)構(gòu),它采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,抽象、概括地描述了特定對(duì)象的特征.數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方程以及由之構(gòu)成的算法系統(tǒng)都可以稱為數(shù)學(xué)模型.

    《課標(biāo)》指出:模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),人們往往需要先剝?nèi)ゾ唧w對(duì)象的物質(zhì)性,將現(xiàn)實(shí)世界中的具體事物抽象為數(shù)學(xué)元素,再用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型來(lái)表示問(wèn)題中各相關(guān)要素的數(shù)量關(guān)系或者變化規(guī)律,接著解決與實(shí)際問(wèn)題毫無(wú)聯(lián)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題,最后再將結(jié)果還原至實(shí)際情境中,進(jìn)行是否符合現(xiàn)實(shí)意義的驗(yàn)證.在這個(gè)過(guò)程中,關(guān)鍵環(huán)節(jié)是建立模型.

    下面以上述路程問(wèn)題為例,體會(huì)模型思想在解決問(wèn)題時(shí)所起的重要作用.

    1.算術(shù)解法

    由題意可知,因客車(chē)的時(shí)速已知,欲求路程,須求出客車(chē)的行駛時(shí)間.因?yàn)榭蛙?chē)比卡車(chē)早[1 h]到達(dá)B地,所以客車(chē)到達(dá)時(shí)卡車(chē)距B地仍有60 km(60 × 1),而每經(jīng)過(guò)一個(gè)小時(shí),客車(chē)便比卡車(chē)多行駛10 km(70 - 60),因此可以知道客車(chē)和卡車(chē)已經(jīng)分別行駛了[6 h6010].列出的算式為[70×60×170-60=420(km)].

    2.方程解法

    設(shè)A,B兩地相距[x km],從A地到B地,客車(chē)和卡車(chē)的行駛時(shí)間分別為[x70,x60],列出的方程為[x60-x70=1].

    3.兩種解法的賞析

    解此題時(shí),可以判斷學(xué)生對(duì)于“[路程=速度×?xí)r間]”或其等價(jià)變形如“[時(shí)間=路程速度]”是比較熟悉的.

    采用算術(shù)法時(shí),由于已知速度,所以必須求出總時(shí)間,基礎(chǔ)一般的學(xué)生可能會(huì)試圖去求取總路程,但總路程也是未知,因此產(chǎn)生了難度,需要挖掘更本質(zhì)的關(guān)系,即

    [客車(chē)行駛的時(shí)間=客車(chē)比卡車(chē)多走的路程客車(chē)時(shí)速-卡車(chē)時(shí)速],方可列出正確的算式,[即客車(chē)行駛的時(shí)間=60×170-60=6(h)],進(jìn)而列出A、B兩地間的路程[=70×6=420(km)].

    采用方程解法時(shí),依據(jù)求什么就設(shè)什么的一般原則,可設(shè)[A、B兩地相距x km],根據(jù)“[時(shí)間=路程速度]”,可知客車(chē)行駛的時(shí)間[=x70],[卡車(chē)行駛的時(shí)間=x60],由于[從A地到B地],客車(chē)的行駛時(shí)間比卡車(chē)少[1 h],所以列出方程為[x60-x70=1].

    不難看出,雖然兩種解法在本質(zhì)上都是運(yùn)用了“[時(shí)間=路程速度]”這個(gè)模型,但方程解法并不必像算術(shù)解法那樣挖掘更本質(zhì)的關(guān)系,思維難度明顯降低了.

    4.結(jié)論

    事實(shí)上,算式的思維方式是從結(jié)果倒推的逆向思維(為了求出路程,必須求出時(shí)間; 為了求出時(shí)間,必須求出…… ),列算式時(shí)是從已知出發(fā),追本溯源,最后才能發(fā)現(xiàn)結(jié)果.在這個(gè)過(guò)程中,思路千頭萬(wàn)緒,紛繁復(fù)雜,很難看出求解的路徑.方程則體現(xiàn)了模型思想,它最突出的優(yōu)勢(shì)是實(shí)現(xiàn)正向思考.更通俗的表述:方程法引入未知數(shù),并把未知數(shù)視為已知數(shù),相當(dāng)于增加了已知條件,未知數(shù)與已知數(shù)享有相同權(quán)利,一起參與正向思考,更易于找到未知數(shù)與真正的已知條件的等量關(guān)系,便于列出方程.本質(zhì)上是利用列方程求解的正向操作,回避了對(duì)問(wèn)題的逆向思考,從而降低了解決問(wèn)題的難度.

    當(dāng)問(wèn)題的各相關(guān)要素關(guān)系復(fù)雜時(shí),與算術(shù)法相比,方程法是一種思路更清晰的解法.方程法的兩個(gè)步驟: (1)翻譯.實(shí)現(xiàn)從文字語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化.即用方程來(lái)表述問(wèn)題中的等量關(guān)系;(2)解方程. 由于解方程有機(jī)械方法(程序性),故方程法的真正難點(diǎn)在第一步,與算式法相比,思維難度不可同日而語(yǔ). 方程可以使用簡(jiǎn)單的等量關(guān)系,付出相對(duì)復(fù)雜的計(jì)算的代價(jià)來(lái)解決問(wèn)題.算術(shù)方法則相反, 必須挖掘出更本質(zhì)的等量關(guān)系,思維的難度顯然要大得多,得到的回報(bào)是計(jì)算容易了.

    (二)方程的教育價(jià)值之二:化歸思想

    化歸,就是在研究問(wèn)題時(shí),把待解決的研究對(duì)象,通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程,歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或可能更容易解決的問(wèn)題中去,最終使原問(wèn)題得到解決的思維方法.化歸思想的精髓在于對(duì)各種數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行合理變換,從而達(dá)到化陌生為熟悉、化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化抽象為具體的目的.

    化歸思想主要體現(xiàn)在解方程的過(guò)程中.

    解一元一次方程的過(guò)程是利用等式的性質(zhì)及運(yùn)算律使方程形式逐步化簡(jiǎn),直至化為[x=a](a為已知數(shù)). 在此過(guò)程中,化歸思想起了重要作用.

    解二元一次方程組時(shí),通過(guò)消元,把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”,二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程,這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了化歸思想.

    解一元二次方程的基本思路則是把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解.具體做法是利用配方、因式分解等方法達(dá)到“降次”的目的.

    解分式方程時(shí),關(guān)鍵步驟在于將分式方程化歸為整式方程,最常用的辦法是去分母.

    五、方程的教育價(jià)值的實(shí)現(xiàn)

    著名荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò):數(shù)學(xué)中最主要的成分始終是思想方法,真正能夠指導(dǎo)思維訓(xùn)練作用的是數(shù)學(xué)方法而不是具體的題材,因而必須強(qiáng)調(diào)方法,并盡可能使之明確. 因此,在方程的教學(xué)中,應(yīng)設(shè)法提供足夠多的機(jī)會(huì)讓學(xué)生親身體會(huì)模型思想和化歸思想.

    以下以筆者的一次教學(xué)實(shí)踐為例,闡述如何開(kāi)發(fā)現(xiàn)有教學(xué)材料,讓學(xué)生充分體會(huì)模型思想.

    原題:幾個(gè)人共同種一批樹(shù)苗,如果每人種10棵,則剩下6棵樹(shù)苗未種;如果每人種12棵,則缺6棵樹(shù)苗.求參與種樹(shù)的人數(shù).

    此題是人教版七年級(jí)上冊(cè)第三章《一元一次方程》第二節(jié)《解一元一次方程(一)》的課后習(xí)題.由于剛剛學(xué)習(xí)了一元一次方程的概念和解法,為了達(dá)到及時(shí)鞏固新知識(shí)和熟練掌握新技能的目的,大多數(shù)教師對(duì)此題的處理都是要求學(xué)生列方程求解,不鼓勵(lì)甚至不允許學(xué)生列算式求解. 筆者認(rèn)為,這是一道值得深挖內(nèi)在價(jià)值的好題目,無(wú)論是用算式求解還是方程求解,都繞不開(kāi)數(shù)學(xué)模型,可以讓學(xué)生充分地體會(huì)模型思想.因此,筆者做了如下的教學(xué)設(shè)計(jì).

    環(huán)節(jié)一:請(qǐng)用算式和方程分別求解.

    算式:[6-(-6)12-10=6(人)].

    方程:設(shè)有[x]人種樹(shù),則[10x+6=12x-6].

    分析:

    (1)算術(shù)法的思路:欲求人數(shù),須求樹(shù)苗總棵數(shù);樹(shù)苗總棵數(shù)難求,但兩次種樹(shù)的人均種樹(shù)棵數(shù)有差異,導(dǎo)致總棵數(shù)也有差異,根據(jù)這個(gè)隱含的條件可以不必求出總棵數(shù)而求出人數(shù).

    運(yùn)用的數(shù)學(xué)模型是:

    [種樹(shù)人數(shù)=第二次所有人多種的棵數(shù)總數(shù)第二次每人多種的棵數(shù)]

    需要注意的是,此解法有一個(gè)“假設(shè)前提”,即第一種種樹(shù)方式要假設(shè)把剩下的6棵樹(shù)苗也種上,第二種種樹(shù)方式則要假設(shè)缺少的6棵數(shù)也要補(bǔ)種,這是算術(shù)解法繼如上分析需要挖出隱含條件后的第二個(gè)障礙.

    (2)方程法的思路:找到等量關(guān)系,經(jīng)過(guò)“翻譯”,列方程.

    運(yùn)用的數(shù)學(xué)模型是“第一次的樹(shù)苗數(shù)=第二次的樹(shù)苗數(shù)”.

    環(huán)節(jié)二:

    變式一:幾個(gè)人共同種一批樹(shù)苗,如果每人種10棵,則剩下6棵樹(shù)苗未種;如果每人種11棵,則正好種完.求參與種樹(shù)的人數(shù).要求用算式和方程分別求解.

    算式:[6-011-10=6].

    方程:設(shè)有[x]人種樹(shù),則[10x+6=11x].

    分析:思路與原題完全一致.變式的目的是鞏固算術(shù)法和方程法的模型,強(qiáng)化模型意識(shí),為變式二做準(zhǔn)備.

    環(huán)節(jié)三:

    變式二:幾個(gè)人共同種一批樹(shù)苗,如果每人種11棵,正好種完;如果其中2人各種7棵,其余每人種13棵,也正好種完.求參與種樹(shù)的人數(shù).要求用算式和方程分別求解.

    算式:[2+(11-7)×213-11=6].

    方程:設(shè)有[x]人種樹(shù),則[11x=2×7+13(x-2)].

    分析:

    (1)算術(shù)法

    由于第二次種樹(shù)時(shí)2人少種,其他人多種,因此雖然算術(shù)法運(yùn)用的數(shù)學(xué)模型表面仍然是[“種樹(shù)人數(shù)=第二次多種的總棵數(shù)第二次每人多種的棵數(shù)”],但這個(gè)模型本質(zhì)上應(yīng)該修正為[“種樹(shù)人數(shù)=第二次與第一次的總棵數(shù)差第二次與第一次的每人棵數(shù)差”],難度隨之增大.

    (2)方程法

    運(yùn)用的數(shù)學(xué)模型仍然是[“第一次的樹(shù)苗數(shù)=第二次的樹(shù)苗數(shù)”],難度并沒(méi)有隨種樹(shù)方式趨于復(fù)雜而增加.

    環(huán)節(jié)四:

    請(qǐng)歸納出此類題型的算式模型、方程模型,并體會(huì)這兩種模型的優(yōu)劣.

    此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生親身體會(huì)模型思想并不是方程特有的,學(xué)生在小學(xué)階段曾經(jīng)非常熟悉的算式也是蘊(yùn)含著模型思想的.但經(jīng)過(guò)對(duì)比,學(xué)生可以體會(huì)到方程在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí),運(yùn)用模型思想的思維簡(jiǎn)約美,并初步具備建模的意識(shí)和主動(dòng)建模的意愿.

    六、結(jié)語(yǔ)

    數(shù)學(xué)是在對(duì)客觀世界進(jìn)行不斷抽象概括的過(guò)程中逐漸形成的科學(xué)語(yǔ)言與工具.數(shù)學(xué)在人類社會(huì)的高速發(fā)展進(jìn)程中發(fā)揮著越來(lái)越大的作用.數(shù)學(xué)也在不斷地發(fā)展、進(jìn)步.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),從根本上講是要獲得數(shù)學(xué)的思想和方法.從算式到方程之所以是數(shù)學(xué)的進(jìn)步,是因?yàn)榉匠梯^之算式不但是技能上的進(jìn)步,更是數(shù)學(xué)思想上的飛躍.初中方程的教育價(jià)值在于方程蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想.因此,在方程的教學(xué)中,基本知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練固然不可缺失,但數(shù)學(xué)思想方法的揭示和提煉更重要.深刻理解方程的教育價(jià)值,結(jié)合學(xué)生實(shí)際,進(jìn)行符合認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)心理的教學(xué)設(shè)計(jì),使學(xué)生充分體會(huì)方程的思想并形成主動(dòng)運(yùn)用方程的意識(shí),才能夠從根本上實(shí)現(xiàn)方程教學(xué)的課程目標(biāo).

    [ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ]

    [1] ?教育部.義務(wù)教育教科書(shū):數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)[M].北京:人民教育出版社,2012.

    [2] ?李靜.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)的關(guān)鍵詞與初中數(shù)學(xué)教學(xué)[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2015.

    [3] ?楊承軍.義務(wù)教育階段滲透數(shù)學(xué)模型思想的意義與策略探究[J].教育評(píng)論,2014(4):117-119.

    [4] ?中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

    [5] ?明清河.數(shù)學(xué)分析的思想與方法[M].濟(jì)南:山東大學(xué)出版社,2004.

    (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

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