“預(yù)備知識”預(yù)備什么、如何預(yù)備

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

0 開篇的話

教育部于2013年啟動了普通高中課程修訂工作，這是深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的標(biāo)志性工作.人教A版高中數(shù)學(xué)教材編委會幾乎與課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作同步，開展了全方位的教材修訂研究工作，并于2016年4月正式啟動新一輪教材的修訂與編寫工作.本次教材修訂深入總結(jié)2004年開始使用的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)(A版)》的經(jīng)驗與教訓(xùn)，充分借鑒國內(nèi)外高中數(shù)學(xué)教材改革的優(yōu)秀成果，竭盡全力將教材修訂成符合新時代中國特色社會主義需要的，反映學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)學(xué)科特點的，具有思想性、科學(xué)性、時代性、系統(tǒng)性和引領(lǐng)性的一流教材.通過構(gòu)建邏輯合理的數(shù)學(xué)“教”、“學(xué)”活動所需要的學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，使教材成為全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務(wù)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵性教學(xué)資源.

2020年秋季，全國將有20多個省份開始實施新課程、使用新教材.趁著本刊開辟“新課程新教材新教學(xué)”欄目的機會，我們以人教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)(A版)》研究與編寫過程中思考和討論的重點問題為背景，以問題解答的方式，對教材中的一些重點、難點、疑點進行較為詳細(xì)的解讀、討論，希望給廣大教師把握教材的編寫意圖，形成基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)策略與方法，開展核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)提供幫助.

本輪高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作的一個顯著特點是回歸數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，回歸數(shù)學(xué)教育的本來面目，注重發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科獨特的育人功能，這可以從課程標(biāo)準(zhǔn)凝練的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)6個要素的鮮明數(shù)學(xué)學(xué)科特征中得到反映.我們一直主張，數(shù)學(xué)育人要發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，數(shù)學(xué)教學(xué)不能搞花架子，要努力把數(shù)學(xué)教好，教好數(shù)學(xué)就是落實核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)教學(xué)要用數(shù)學(xué)的方式，要加強一般觀念的引領(lǐng)，突出數(shù)學(xué)對象的抽象過程與方法的引導(dǎo)，要使學(xué)生在掌握定義的同時知道它的來龍去脈，實現(xiàn)過程與結(jié)果的有機融合.要使學(xué)生在明確“運算中的不變性、規(guī)律性就是代數(shù)性質(zhì)”、“幾何圖形組成元素之間關(guān)系、幾何圖形之間的位置關(guān)系就是幾何性質(zhì)”等等的前提下，在把握研究數(shù)學(xué)性質(zhì)的一般套路的基礎(chǔ)上展開新知學(xué)習(xí)，從而把學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會思考落在實處.“數(shù)學(xué)的主要方法，是邏輯的推理”(陳省身)，“推理是數(shù)學(xué)的命根子”(伍鴻熙)，運算是數(shù)學(xué)的童子功，所以要十分重視推理和運算在發(fā)展學(xué)生理性思維、科學(xué)精神和個人智力中的不可替代作用，要采取有力措施提高作業(yè)設(shè)計水平，增強解題訓(xùn)練在提高邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)中的有效性.加強綜合實踐活動是落實立德樹人根本任務(wù)、促進學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵舉措，所以要認(rèn)真落實數(shù)學(xué)建模活動和數(shù)學(xué)探究活動的教材編寫任務(wù)，為高中育人方式的改革作出貢獻(xiàn).所以，我們在撰寫本欄目的文章時，特別注意加強數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、數(shù)學(xué)教育本來面目的思考，著重從挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容蘊含的育人資源角度闡釋教材的編寫意圖并提出教學(xué)建議.

以下從“預(yù)備知識”板塊的內(nèi)容設(shè)置、教材解讀和教學(xué)建議開始.

1 設(shè)置“預(yù)備知識”的必要性

為了幫助學(xué)生順利完成初高中學(xué)習(xí)的過渡，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”)中設(shè)置了“預(yù)備知識”板塊，作為高中入門階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，授課時數(shù)為18課時，要求“以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為載體，結(jié)合集合、常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為高中數(shù)學(xué)課程做好學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式和知識技能等方面的準(zhǔn)備，幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡.”([1],p.14)我們知道，學(xué)段之間的銜接歷來是課程建設(shè)的一個難點，是課程設(shè)計和教材編寫中始終要面對的問題.本輪課程標(biāo)準(zhǔn)專門設(shè)置著眼于初高中過渡的學(xué)習(xí)內(nèi)容，使“銜接教學(xué)”有章可循、有據(jù)可依，消除了五花八門的《初高中數(shù)學(xué)銜接教材》，避免了教學(xué)秩序的混亂，減輕了各方面的負(fù)擔(dān).所以，設(shè)置“預(yù)備知識”板塊，無論在課程設(shè)計理念還是在實踐操作上都具有創(chuàng)新意義.本文以課程標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計理念為指導(dǎo)，以人教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)(A版)》中“預(yù)備知識”的編寫為背景，討論初高中數(shù)學(xué)銜接的內(nèi)容和教學(xué)問題.

2 初高中數(shù)學(xué)銜接的基本任務(wù)

我們知道，影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的因素包括認(rèn)知因素和非認(rèn)知因素，因此確定初高中數(shù)學(xué)銜接任務(wù)也要從這兩個方面入手.

2.1 非認(rèn)知因素方面

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的非認(rèn)知因素，作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種心理準(zhǔn)備狀態(tài)，是長期的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的結(jié)晶，對個體的數(shù)學(xué)活動產(chǎn)生直接的或動力的影響，包括興趣、動機、性格等.興趣，在深度、廣度及穩(wěn)定性上都隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入而不斷發(fā)展，這種發(fā)展一般要經(jīng)歷對數(shù)學(xué)的新事實或有趣現(xiàn)象的直接興趣、對數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)屬性的興趣到對數(shù)學(xué)理論(各種數(shù)學(xué)事物的因果關(guān)系、數(shù)學(xué)的基本規(guī)律等)的興趣等幾種水平.動機，特別是與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)直接相關(guān)的成就動機，是追求數(shù)學(xué)能力和期望取得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的一種需要，是以取得數(shù)學(xué)成就為目標(biāo)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、動機與數(shù)學(xué)能力發(fā)展密切相關(guān)，較高的數(shù)學(xué)能力可使學(xué)生以科學(xué)的方法高質(zhì)、高效地完成學(xué)習(xí)任務(wù)，從而激發(fā)更大的興趣，進一步形成積極的、高水平的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機；反之，濃厚的興趣、積極的動機也能促進數(shù)學(xué)能力的高水平發(fā)展.性格，作為個性的核心，是人對客觀現(xiàn)實的穩(wěn)定態(tài)度以及與之相適應(yīng)的習(xí)慣化行為方式，良好的性格特征表現(xiàn)為正直誠實、實事求是、尊重理性、追求真理、堅定自信、刻苦勤奮、責(zé)任心強、勇于創(chuàng)新、百折不撓、持之以恒、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、獨立思考等.正如課程標(biāo)準(zhǔn)指出的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用”，學(xué)生的良好性格養(yǎng)成與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有密切關(guān)系，這在課程標(biāo)準(zhǔn)確定的課程目標(biāo)中得到了充分反映：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神；不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識；認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值.”([1]，p.8)

從學(xué)生的年齡特征看，高中新生處于從少年到青年的過渡期，對數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的追求會逐漸成為他們的興趣中心，成就動機也會逐步占據(jù)主導(dǎo)地位，他們渴望在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中取得成功，希望自己具有高水平數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理性成分不斷加大，這些都是由個體心理發(fā)展的年齡特征所決定的.同時，這是學(xué)習(xí)生涯的一個新起點，學(xué)生站在了一個共同起跑線上.如何抓住學(xué)段升級和學(xué)生身心發(fā)展轉(zhuǎn)折期的契機，點燃學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，促使他們以積極的態(tài)度投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從而順利實現(xiàn)初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的光滑銜接，這是高中入學(xué)教育的重要任務(wù)，是課程、教材和教學(xué)所要面對的共同問題.

不過，盡管非認(rèn)知因素是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力系統(tǒng)，重要性不言而喻，但空洞說教無濟于事.只有當(dāng)我們幫助學(xué)生切實解決了學(xué)習(xí)困難，使他們真正做好了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知準(zhǔn)備，能夠聽得懂、學(xué)得進、會解題，這樣才能使他們對數(shù)學(xué)內(nèi)容本身產(chǎn)生濃厚興趣，才能產(chǎn)生持久的學(xué)習(xí)動力.因此，我們要采取非認(rèn)知因素和認(rèn)知因素相融合的觀點，以加強“四基”、“四能”為抓手，使學(xué)生在打好學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、提高數(shù)學(xué)水平的過程中提升興趣及動機水平，在取得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就的同時形成良好的性格.

2.2 認(rèn)知因素方面

首先需要認(rèn)清的一個問題是，從認(rèn)知準(zhǔn)備上看，“補知識點”是不是“銜接”的主要任務(wù)？多次調(diào)研發(fā)現(xiàn)，高中教師認(rèn)為學(xué)生的“知識欠缺”比較嚴(yán)重.例如以下是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》(簡稱《標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》)在2004年開始實施后一份比較流行的“初高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)銜接問題”清單：

需要補充的內(nèi)容

立方和公式，立方差公式，十字相乘法、分組分解法，含有字母的方程，三元一次方程組，根式的分母有理化、最簡根式、根式化簡，可化為一元二次方程的分式方程，分式乘方，無理方程，高次方程，二元二次方程組，一元二次不等式，一元二次方程根的判別式，韋達(dá)定理，換元法，平行線等分線段定理、平行的傳遞性，平行線分線段成比例定理，梯形中位線，截三角形兩邊或延長線的直線平行于第三邊的判定定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，軌跡定義，圓的有關(guān)定理(垂徑定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，兩圓連心線性質(zhì)定理，兩圓公切線性質(zhì)定理)相切作圖，正多邊形的有關(guān)計算，等分圓周，三角形的內(nèi)切圓，三角函數(shù)中的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.

初中要求低，需要提高的內(nèi)容

有理數(shù)混合運算只強調(diào)三步(最多)，學(xué)生習(xí)慣性使用計算器，筆算、口算、心算能力弱；多項式相乘僅要求一次式間的相乘，無除法；因式分解只要求提取公因式法、公式法(平方差、完全平方)，直接用公式法不超過兩次；根式的運算要求低；絕對值符號內(nèi)不能含有字母；配方法要求低，只在解一元二次方程中有簡單要求，在二次函數(shù)中不要求用配方法，求頂點、最值時只要求用公式，且又不要求推導(dǎo)和記憶公式(中考試卷中會給出公式)；幾何中大大減少定理的數(shù)量，幾何證明要求低；只要求通過實例，體會反證法的含義，了解即可；輔助線，中考只要求添加一條輔助線.

顯然，如果按照這份清單進行知識點補充，那么用一個學(xué)期的時間恐怕也補不完.

我們認(rèn)為，大量補知識點既沒有時間也沒有必要.我們要區(qū)分清楚，哪些知識是高中學(xué)習(xí)必須的基礎(chǔ)、需要專門補充，哪些是“過程性”的，用到時進行即時補充、或者通過學(xué)生自學(xué)就可以解決的.例如，十字相乘法是高中教師強烈要求補充的，但從本質(zhì)上看，這種方法僅僅是針對一類特殊的二次三項式的技巧，不屬于通性通法，而且初中教材中已經(jīng)采取“拓展性資源”的方式予以解決，所以不需要進行專門補充.因為一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)在代數(shù)、函數(shù)中都具有基礎(chǔ)地位，利用二次函數(shù)研究一元二次方程和一元二次不等式，不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想和方法，而且可以讓學(xué)生理解函數(shù)在研究代數(shù)問題中的核心地位和關(guān)鍵作用，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的整體性、聯(lián)系性.討論函數(shù)定義和性質(zhì)時，一般都以二次函數(shù)作為具體的模型；在微積分初步中，一般也都以二次函數(shù)為例.因此，“三個二次”必須得到加強，應(yīng)作為重要內(nèi)容，從概念、性質(zhì)、思想和方法等進行全方位的“銜接教學(xué)”.

與“補知識點”緊密相關(guān)的另一個問題是如何加強“由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法”.面對具體問題要調(diào)用某一知識時，能夠“想得到，用得上”，這是要以理解其本質(zhì)、把握其蘊含的數(shù)學(xué)基本思想、形成基本活動經(jīng)驗為基礎(chǔ)的，否則，即使記住了也難以達(dá)到遷移運用的水平.我們知道，數(shù)學(xué)思想方法不僅蘊含在一個個概念、原理中，更體現(xiàn)在概念的體系、知識的聯(lián)系中，也就是在數(shù)學(xué)的整體性中才能更深刻地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)基本思想和基本活動經(jīng)驗的意蘊.所以，在銜接教學(xué)中，通過一定的方式對已學(xué)知識進行回顧整理，用新的語言進行再表達(dá)，形成思想性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性更強的認(rèn)識，這是更加關(guān)鍵的.

實際上，初高中數(shù)學(xué)課程真正存在“缺口”需要“硬補”的內(nèi)容很少.像老師們反響強烈的上一輪義教課標(biāo)和高中課標(biāo)不銜接的內(nèi)容，特別是韋達(dá)定理、乘法公式、十字相乘法、不等式、函數(shù)、二次函數(shù)、幾何等，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中已經(jīng)進行了修補，有的作為必學(xué)，有的作為選學(xué).在基本技能方面，整體而言，世紀(jì)之交的課改確實令我國學(xué)生的運算和推理技能有較為明顯的下降，但技能的提高不能靠短時間突擊“惡補”，這是一個潛移默化的過程.

另外，從初高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的差異看，非常主要的是初中內(nèi)容相對具體而高中內(nèi)容的抽象程度較高.導(dǎo)致這種差異的原因是多方面的，語言表達(dá)方式的差異是其中很重要的一個原因.例如函數(shù)概念，初中采用形象化的“變量說”，與學(xué)生頭腦中積累的日常經(jīng)驗比較吻合，而高中采用“對應(yīng)關(guān)系說”，不僅要用到集合的相關(guān)知識，引入抽象的符號f：A→B，y=f(x)，x∈A，而且使用邏輯用語“非空”、“任意”、“存在”、“唯一確定”等，從而使理解難度陡然上升，函數(shù)概念成為攔路虎，導(dǎo)致大量學(xué)生在高中入門階段就在數(shù)學(xué)上敗下陣來，并進而失去學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.同時，函數(shù)概念理解不到位也使高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺失了最重要的基礎(chǔ).所以，在進入函數(shù)概念學(xué)習(xí)之前，要讓學(xué)生在所需要的知識與技能、語言表達(dá)、思想方法等基礎(chǔ)方面有一個相對較長時間的準(zhǔn)備，而不是像《標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》那樣，把不等式、常用邏輯用語等都安排在函數(shù)概念之后，導(dǎo)致學(xué)生剛?cè)敫咧袥]幾天就要直接面對這個高度抽象的函數(shù)概念.

總之，初高中銜接，不能以補充知識為主要任務(wù).在認(rèn)知因素方面，初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接任務(wù)應(yīng)包含知識技能、語言表達(dá)、思想方法、思維方式等方面.

如何選擇銜接的內(nèi)容載體呢？因為函數(shù)是高中的第一條主線，函數(shù)的概念與基本性質(zhì)歷來都是高中數(shù)學(xué)首先要面對的，所以可以從函數(shù)學(xué)習(xí)的需要出發(fā)進行選擇.課程標(biāo)準(zhǔn)對《標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》進行調(diào)整，將集合、常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式等初中已經(jīng)有所接觸的內(nèi)容，作為銜接的素材，讓學(xué)生用新的語言表述，用新的觀點看待與分析，并通過用等式、不等式及其性質(zhì)表示日常生活中常見的相等關(guān)系、不等關(guān)系，以及建立“三個二次”直接的聯(lián)系等，提升學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)的抽象水平的同時，提升數(shù)學(xué)思想和對數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識.所以，課程標(biāo)準(zhǔn)在這個內(nèi)容的設(shè)計上是比較合理的.

以下我們分別就這幾個內(nèi)容的課程定位、內(nèi)容理解以及教學(xué)中需要注意的問題進行討論.

3 集合

3.1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)開宗明義地指出：“在高中數(shù)學(xué)課程中，集合是刻畫一類事物的語言和工具.本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生使用集合的語言簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)的研究對象，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和交流，積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗.”內(nèi)容有集合的概念與表示、基本關(guān)系和基本運算.([1],p.15)根據(jù)這一內(nèi)容定位，教材引導(dǎo)學(xué)生通過利用集合語言對初中的一些重要概念進行再抽象并用符號表示對象(集合的元素)、對一些重要內(nèi)容(特別是方程、不等式、函數(shù))進行“再表述”等，在提高數(shù)學(xué)表達(dá)的抽象化過程中達(dá)到提升學(xué)生抽象思維水平的目的，從而為高中學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.

3.2 核心內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

3.2.1 集合的概念與表示

課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“內(nèi)容與要求”是：(1)通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系；(2)針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合；(3)在具體情境中，了解全集與空集的含義.

我們知道，集合的定義是形式化、描述性的.集合作為數(shù)學(xué)中的最基本概念，采用了“名義定義”的方式.那么，如何理解這個定義呢？

一般地，集合是由具有某種共同特征的元素組成的，只要構(gòu)成兩個集合的元素一樣，就稱這兩個集合相等.這說明，集合是由元素所唯一確定的，因此我們只關(guān)心集合中的元素是什么而不關(guān)心它們的順序.所以，理解集合的定義，首先要抓住集合中元素的特征(確定性)及元素間的基本關(guān)系(互異性、無序性).其次，要抓住元素與集合的關(guān)系，“屬于”、“不屬于”二者必居其一且只居其一(滿足“排中律”).本質(zhì)上，元素x與集合A之間的關(guān)系是指元素是否具有集合的“那個”共同特征，“是”用“x∈A”表示，“否”用“x?A”表示.

既然集合作為語言，那么學(xué)習(xí)它的最好方法是運用，所以要讓學(xué)生通過練習(xí)熟悉并能準(zhǔn)確使用集合語言.使用集合的語言簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對象，這里要表述的內(nèi)容是共性特征、規(guī)律性、關(guān)系，表述的方法有自然語言、列舉法和描述法，其中描述法是重點.因為共同特征、規(guī)律性、關(guān)系都要通過歸納而得出，并要引進適當(dāng)?shù)姆柋硎?，所以學(xué)習(xí)“集合的表示”有利于發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

這里要特別強調(diào)一下描述法{x∈A|P(x)}.首先，學(xué)生會忘記x∈A這一限制條件.

例1給定集合A={x∈N|2x<5}，1.5，2，3∈A嗎？

教學(xué)實踐表明，學(xué)生的注意力往往集中在2x<5上，所以得出1.5，2∈A，3?A.同類的錯誤表現(xiàn)在函數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往不注意函數(shù)的定義域?qū)λ懻搯栴}的限制.更一般的意義上，就是不顧討論問題的前提條件而導(dǎo)致錯誤結(jié)論.在更普遍的意義上看，就是因為不注意研究的范圍、前提條件的限制，得出南轅北轍的錯誤結(jié)論.實際上這里涉及思維習(xí)慣的培養(yǎng)，教學(xué)中要通過適當(dāng)?shù)膯栴}引起學(xué)生注意，使他們養(yǎng)成首先搞清楚問題的范圍、邊界的習(xí)慣.

其次，{x∈A|P(x)}中的P(x)是指集合中元素所具有的共同特征，解題時往往需要學(xué)生針對具體問題進行歸納，因此可以利用集合的表示來梳理已學(xué)的知識.例如，初中學(xué)習(xí)的有理數(shù)概念采用“外延描述法”：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)，正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù).整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).教材[2]利用描述法表示有理數(shù)集，對有理數(shù)概念進行了再表述([2],p.4)：

在集合的表示中，通過表示法之間的互化可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，這里需要學(xué)生首先想清楚集合中元素的共同特征是什么，然后再做其他事情.

3.2.2 集合的基本關(guān)系與基本運算

課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“內(nèi)容與要求”是：(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；(2)理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集；(3)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集；(4)能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.

集合的基本關(guān)系與實數(shù)的大小關(guān)系有點類似，所以教材注意引導(dǎo)學(xué)生通過類比實數(shù)的關(guān)系提出集合之間相互關(guān)系的問題.這里要強調(diào)一下“相等”的重要性：通過相等定義說明在所討論的對象中到底要關(guān)心什么.

在“集合的概念”中，教材說：

只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.

在“集合的基本關(guān)系”中，教材又說：

如果集合A是集合B的子集，同時集合B是集合A的子集，就稱集合A與集合B相等，記作A=B.

如何理解以上兩個“相等”？這里，前一個是“集合相等”的定義，由此知道我們只關(guān)心集合的元素而不關(guān)心其他；后一個相當(dāng)于“性質(zhì)”，它使“相等關(guān)系”具體化，具有可操作性，可用于推理證明.

研究集合基本關(guān)系的一般步驟：先搞清楚集合中元素的屬性(研究對象是什么)，再判定它們的關(guān)系.

分析集合中元素的共同特征需要調(diào)動已有知識，要有分析問題、理解內(nèi)容本質(zhì)的能力.

例3已知集合A={x|0

如何分析已知條件？

方法1：由B?A可知，?x∈B都有x∈A，于是a≥2；

方法2：借助Venn圖(圖略)，可以直觀、方便地得出結(jié)果.

這個問題看上去很簡單，但它與老師們熱衷的“恒成立”之類的問題是本質(zhì)一致的：求實數(shù)a的值，使B?A恒成立.這再一次說明，語言之間的互化對發(fā)展思維能力很重要，其實對解題也很重要.

如何理解集合的基本運算呢？首先仍然要關(guān)注兩個集合中元素的屬性.設(shè)：

A= {x∈X|P(x)}，

B= {y∈Y|Q(y)}，

要對A，B進行運算，集合X，Y應(yīng)該有共性，例如都是數(shù)，或都是點(坐標(biāo))等等.

實際上，集合的運算與事物的分類有內(nèi)在聯(lián)系，或者說我們可以通過集合的運算得到分類的結(jié)果.

A∪B={x∈A或x∈B}，“或”可以細(xì)分為三類：x∈A，x?B；x?A，x∈B；x∈A，x∈B.

A∩B={x∈A且x∈B}，所以A∩B?A∪B.

全集：討論問題的范圍約定.

補集：二分法，例如把整數(shù)集Z分為奇數(shù)集A和偶數(shù)集B，則A，B互為補集.(對立事件，矛盾的對立統(tǒng)一)

例4已知集合A={(x,y)|x，y不全是正數(shù)}，試將A中元素進行分類.

分類標(biāo)準(zhǔn)不唯一，由“x，y不全是正數(shù)”，可按x<0，x=0，x>0；y<0，y=0，y>0為標(biāo)準(zhǔn).因為情況復(fù)雜，采取列表的方法：

y是正數(shù)y不是正數(shù)x是正數(shù)(+,+)(+,-),(+,0)x不是正數(shù)(0,+),(-,+)(0,-),(0,0)(-,0),(-,-)

集合A中的元素是(x,y)，所以可以將它看成是直角坐標(biāo)系中的點集.數(shù)形結(jié)合地看，集合A就是平面直角坐標(biāo)系中除第一象限外的點組成的集合.

用集合的運算表示分類結(jié)果，可以作為復(fù)習(xí)有關(guān)概念、理清數(shù)學(xué)對象之間關(guān)系的載體；分類是基本而重要的數(shù)學(xué)活動，在后續(xù)學(xué)習(xí)中要頻繁地用到.

4 常用邏輯用語

4.1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：常用邏輯用語是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具，是邏輯思維的基本語言.本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生使用常用邏輯用語表達(dá)數(shù)學(xué)對象、進行數(shù)學(xué)推理，體會常用邏輯用語在表述數(shù)學(xué)內(nèi)容和論證數(shù)學(xué)結(jié)論中的作用，提高交流的嚴(yán)謹(jǐn)性與準(zhǔn)確性.內(nèi)容有：必要條件、充分條件、充要條件，全稱量詞與存在量詞，全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.([1],p.15～16)根據(jù)這一定位，教材主要以初中學(xué)過的命題(特別是幾何命題)為載體，引導(dǎo)學(xué)生分析命題的結(jié)構(gòu)，理解數(shù)學(xué)命題的組成要素，提升命題的理解水平，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的抽象程度.

我們知道，數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)是訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維.某種意義上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)，特別是關(guān)于邏輯語言的學(xué)習(xí)與使用.“數(shù)學(xué)可以教會一個人，如何準(zhǔn)確掌握詞的含義，如何避免循環(huán)定義，如何正確運用語言來構(gòu)造命題.各種數(shù)學(xué)語言的表達(dá)都具有確切的含義.”([3]，p.85)要使數(shù)學(xué)的語言表達(dá)成為一種思維訓(xùn)練的素材，就必須依賴于數(shù)學(xué)自身的方式，聯(lián)系多方面相關(guān)背景，來獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)專門語言.其中數(shù)學(xué)概念的語言建設(shè)(也就是命題)是一個方面，量詞的明確化是另一個方面.所以，明確命題的結(jié)構(gòu)、懂得量詞的意義對理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)非常重要.例如，有大量學(xué)生對“恒成立”、“存在性”之類的問題感到困難，這是為什么呢？實際上問題就出在對命題結(jié)構(gòu)、量詞意義的理解上，還有是一些邏輯用詞的轉(zhuǎn)化問題，例如相等與不等的轉(zhuǎn)化、特殊與一般的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化、正面與反面的轉(zhuǎn)化……這些“轉(zhuǎn)化”其實都是邏輯用語的問題.

4.2 核心內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

4.2.1 必要條件、充分條件、充要條件

課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“內(nèi)容與要求”是：(1)通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系；(2)通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系；(3)通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.教材主要以平面幾何知識為載體，通過用邏輯用語梳理幾何定理，幫助學(xué)生理解有關(guān)邏輯用語，熟練使用有關(guān)符號，并使學(xué)生在用新的語言表述幾何命題的過程中加深理解幾何知識.

我們知道，所謂命題，是指用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.為了避免不必要的歧義，人教A版教科書的例子都是數(shù)學(xué)命題，其實這也是利用數(shù)學(xué)命題的確切性幫助學(xué)生理解邏輯用語的一個舉措.

數(shù)學(xué)中命題的一般形式：“若p，則q”，“如果p，那么q”，其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.“三種條件”實際上給出了“若p，則q”形式的命題中p和q的關(guān)系：

p?q：p是q的充分條件，q是p的必要條件；

p?q：p是q的充要條件.

關(guān)于“三種條件”的理解，任何一本邏輯學(xué)教材中都有，這里主要就如何引導(dǎo)學(xué)生理解“充分”、“必要”談一點想法.初次接觸時，學(xué)生的困惑在于：q明明是結(jié)論，怎么又成了條件？對此，建議從以下幾個方面進行解釋：

首先，“若p，則q”是一個整體，p是q的充分條件，則q就是p的必要條件；

第二，要通過梳理初中學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，特別是幾何知識，幫助學(xué)生加深理解命題的結(jié)構(gòu)，通過對具體命題的結(jié)構(gòu)分析(條件是什么，結(jié)論是什么，從誰推出誰等)，歸納出命題的一般形式，進而從抽象的、整體的角度認(rèn)識命題；

第三，應(yīng)通過具體例子，幫助學(xué)生理解“充分”和“必要”，例如：命題“全等三角形的周長相等”，還原為“若p：△ABC≌△DEF，則q：△ABC和△DEF的周長相等”，因為p能足以保證q，所以p是q的充分條件；同時，如果q不成立(即兩個三角形的周長不等)，那么p不可能成立(即兩個三角形不可能全等)，但q成立不能保證p成立(即周長相等的兩個三角形不一定全等)，所以q是p的必要條件.

教學(xué)時還可以通過實例，引導(dǎo)學(xué)生對“充分不必要”、“必要不充分”等進行辨析，從而加深對“三種條件”的理解.

另外，課程標(biāo)準(zhǔn)第一次對理解三種條件與性質(zhì)定理、判定定理和數(shù)學(xué)定義之間的關(guān)系提出要求，這里做一個簡要說明.

性質(zhì)定理與必要條件：任何一類數(shù)學(xué)對象都有自己特定的性質(zhì).設(shè)A是一類數(shù)學(xué)對象(如平行四邊形)的集合，它的性質(zhì)有n條，這n條性質(zhì)組成集合B(如對于平行四邊形，對邊平行、對邊相等、對角相等、鄰角互補、對角線相互平分等等).對于某一個體x，只要不滿足B中的任何一條，那么它就不可能屬于A，因此B中的任何一條都是x∈A的必要條件.例如，x是一個四邊形，如果它有一組對邊不相等，那么它就不可能是平行四邊形；但我們不能由“一組對邊相等”得出它就是平行四邊形.因此，性質(zhì)定理可以用于判定一個個體“不是”某一類，但不能用于判定它“是”某一類.

判定定理與充分條件：設(shè)A是一類數(shù)學(xué)對象的集合，判定定理給出了判定某一個體x是否屬于A的充分條件，只要滿足判定定理的條件，那么x就一定屬于A，也就是說，判定定理可以用于判定某一個體“是”某一類；但因為充分條件不唯一，所以判定定理不能用于判定某一個體“不是”某一類.

數(shù)學(xué)定義與充要條件：數(shù)學(xué)定義給出了一類數(shù)學(xué)對象的共同本質(zhì)特征.設(shè)A是一類數(shù)學(xué)對象的集合，B是由定義給出的特征的集合，由定義可知，如果x∈A，那么x一定具有B中每一條特征；反之，如果x具有B中每一條特征，那么x∈A.所以，數(shù)學(xué)定義是充要條件，它給出了區(qū)分此類對象與它類對象的精確標(biāo)準(zhǔn).需要注意的是，定義所給的充要條件不一定是“不多不少”的，也就是說定義可以有“冗余條件”.例如，全等三角形的定義要求的是對應(yīng)邊、對應(yīng)角都相等.因為要求的條件具有一般性，所以定義往往“不好用”.為此，需要進一步研究“條件不多不少”的充分條件，從而得出“好用”的判定定理，例如全等三角形的判定定理SAS，ASA，SSS等.另外，定義所界定的一類對象的共同特征是這類對象的最基本性質(zhì)，為了全面、深入地認(rèn)識這類對象，我們需要從定義出發(fā)進一步地探究它的其他性質(zhì)，進而得出性質(zhì)定理.

還有一點需要說明的是，研究一類數(shù)學(xué)對象，定義是出發(fā)點，通過定義明確研究范圍，性質(zhì)、判定則是對定義“圈定”的范圍內(nèi)的對象展開研究.例如，以“有兩條邊相等的三角形是等腰三角形”為定義，再研究等腰三角形這類圖形的性質(zhì)，就是要以三角形的兩邊相等為前提條件，對三角形的邊、角、高、角平分線、中線等之間的關(guān)系展開研究.

4.2.2 全稱量詞與存在量詞

課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“內(nèi)容與要求”是：通過已知的數(shù)學(xué)實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.

全稱量詞，它表示在一個命題中對主項的全部外延作了斷定，通常用“所有”、“一切”來表示.在命題的語言表達(dá)中，全稱量詞的語言標(biāo)志(“所有”、“一切”等)可以省略.例如，“所有菱形是平行四邊形”中的“所有”可以省略.

存在量詞，它表示在一個命題中對主項作了斷定，但未對主項的全部外延作出斷定，通常用“有的”、“有些”來表示.在命題的語言表達(dá)中，存在量詞的語言標(biāo)志(“有的”等)不能省略.例如，“有的三角形不是等腰三角形”中，“有的”不能省略.

將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示.全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x).存在量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x).

以上內(nèi)容，引進了抽象符號表示.教學(xué)中首先要通過梳理初中學(xué)過的知識，并用這些符號進行表示，從而讓學(xué)生熟悉符號；并要通過運用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的抽象水平.

要判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中每個元素x，證明p(x)成立；如果在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)不成立，那么這個全稱量詞命題就是假命題.

要判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個存在量詞命題是假命題.

教學(xué)中，要通過具體例子讓學(xué)生感受邏輯的力量，這也是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的契機，其中反映的思維方式需要重視.

4.2.3 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“內(nèi)容與要求”是：(1)能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定，(2)能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定.

在面對具體問題時，學(xué)生的疑問是到底要“否定”什么？

首先，這里的依據(jù)是形式邏輯中的排中律：一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假.

要否定的是“量詞”：通過否定全稱量詞，將全稱量詞命題轉(zhuǎn)化為存在量詞命題；通過否定存在量詞，將存在量詞命題轉(zhuǎn)化為全稱量詞命題.

對于含有一個量詞的全稱量詞命題的否定，有下面的結(jié)論：

對全稱量詞命題與存在量詞命題的否定，教學(xué)中要加強用“等值語言”轉(zhuǎn)換的訓(xùn)練，即要引導(dǎo)學(xué)生多用“也就是說”的方式對命題進行重新敘述.例如，集合A={(x,y)|x，y不全是正數(shù)}，這是用全稱量詞命題的否定形式表述的，設(shè)集合B={(x,y)|x，y全是正數(shù)}，那么集合A是集合B的補集.

5 小結(jié)

課程標(biāo)準(zhǔn)安排“預(yù)備知識”，以“語言”、“工具”為關(guān)鍵詞，讓學(xué)生在集合、常用邏輯用語的學(xué)習(xí)中，以一種新的語言表達(dá)方式梳理已學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容，通過掌握一些簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言，提升學(xué)生用抽象符號語言進行數(shù)學(xué)表達(dá)的水平，從而提高數(shù)學(xué)推理論證的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性.

因為語言是思維的載體，所以在學(xué)習(xí)利用集合、常用邏輯用語等“專業(yè)術(shù)語”進行數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的過程中，數(shù)學(xué)思維的抽象水平也會得到提高，從而就使學(xué)生的理性思維在潛移默化中得到發(fā)展.

總之，“預(yù)備知識”預(yù)備了高中數(shù)學(xué)課程所需要的數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)推理的表達(dá)工具.教學(xué)中要根據(jù)語言學(xué)習(xí)的規(guī)律，讓學(xué)生用集合、常用邏輯用語對初中的典型內(nèi)容進行再理解、再表達(dá)，使學(xué)生在熟練運用集合語言和常用邏輯用語的過程中，加強思維的概括性、間接性和邏輯性，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.

前面就如何根據(jù)“集合與常用邏輯用語”單元的課程定位和內(nèi)容要求，以教材為依托，抓住“數(shù)學(xué)語言”這個要點，在掌握集合語言、常用邏輯用語的過程中對初中的相關(guān)知識進行梳理，在用集合語言、常用邏輯用語重新表達(dá)已學(xué)知識的過程中，提升抽象思維水平，從而為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.接下來討論如何根據(jù)“相等關(guān)系與不等關(guān)系”、“從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式”的課程定位和內(nèi)容要求，在掌握不等式的性質(zhì)、以二次函數(shù)為紐帶建立“三個二次”知識體系的過程中，促進學(xué)生用聯(lián)系的觀點看待問題，體會數(shù)學(xué)的整體性，提升思維嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯推理能力等.

6 相等關(guān)系與不等關(guān)系

6.1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為，相等關(guān)系、不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建方程、不等式的基礎(chǔ).本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生通過類比，理解等式和不等式的共性與差異，掌握基本不等式.內(nèi)容包括：等式與不等式的性質(zhì)、基本不等式.([1],p.16)根據(jù)這一定位，人教A版教材注重利用學(xué)生在日常生活中積累的大量關(guān)于相等關(guān)系和不等關(guān)系的直覺經(jīng)驗，發(fā)揮初中已學(xué)的等式的基本性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)的作用，以代數(shù)學(xué)的一般觀念和通性通法為指導(dǎo)，圍繞“運算”這一核心，引導(dǎo)學(xué)生歸納等式性質(zhì)中蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，類比等式的性質(zhì)猜想和證明不等式的性質(zhì)，然后用于研究基本不等式，并通過應(yīng)用加深理解，從而為研究函數(shù)等做好準(zhǔn)備.

6.2 核心內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

6.2.1 等式與不等式的性質(zhì)

課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“內(nèi)容與要求”是：梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì).這里，“梳理等式的性質(zhì)”意味著學(xué)生已經(jīng)學(xué)了等式的性質(zhì)，現(xiàn)在要對這些性質(zhì)進行梳理，使其系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，為學(xué)習(xí)不等式做好準(zhǔn)備；“理解不等式概念，掌握不等式的性質(zhì)”意味著不等式的概念和性質(zhì)是新內(nèi)容，要通過類比等式的概念和性質(zhì)展開學(xué)習(xí).所以，這一單元的核心內(nèi)容是不等式的概念和性質(zhì).

(1)如何構(gòu)建本單元的結(jié)構(gòu)體系？

根據(jù)上述分析，本單元應(yīng)圍繞不等式的概念和性質(zhì)構(gòu)建教材體系.

因為不等式是刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，所以不等式概念的抽象應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷從現(xiàn)實中的不等關(guān)系到數(shù)學(xué)中的不等式的過程.同時，根據(jù)概念學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實例的屬性分析到不同實例共同屬性的歸納，再概括到一般的不等關(guān)系中去，進而獲得不等式概念的過程.

類比解方程要用等式的性質(zhì)，可知解不等式要用不等式的性質(zhì)，因此要先安排不等式的性質(zhì)，再安排解不等式.

因為不等式表示的是式的大小關(guān)系，而式的大小關(guān)系是實數(shù)大小關(guān)系的一般化，所以研究不等式的性質(zhì)要以實數(shù)大小關(guān)系的基本事實為邏輯基礎(chǔ).

由上述分析可知，本單元的結(jié)構(gòu)體系應(yīng)該是：

現(xiàn)實中的不等關(guān)系→不等式概念→實數(shù)大小關(guān)系的基本事實→不等式的性質(zhì).

為了給研究不等式的性質(zhì)提供類比基礎(chǔ)，應(yīng)在不等式的性質(zhì)之前安排“梳理等式的性質(zhì)”這一內(nèi)容.

(2)等式與不等式的性質(zhì)所研究的問題是什么？

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過對問題的分析與歸納，明確要研究的具體內(nèi)容，這是非常重要的一步.這樣才能使學(xué)習(xí)方向明確、有的放矢，避免盲目學(xué)習(xí)、被動學(xué)習(xí).

首先，等式是兩個式的相等關(guān)系，不等式是兩式的不等關(guān)系，這種“關(guān)系”有什么特性？

其次，代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運算；解決各種各樣的代數(shù)問題時，我們總是運用各種代數(shù)運算來分析量與量之間的代數(shù)關(guān)聯(lián).以“運算”為導(dǎo)向觀察等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，歸納它們的共性，可以發(fā)現(xiàn)，這些性質(zhì)反映的是“運算中的不變性、規(guī)律性”.

因此，等式、不等式自身有怎樣的特性，它們在運算中有怎樣的不變性、規(guī)律性，就是“性質(zhì)”所要研究的問題.

(3)研究等式與不等式性質(zhì)的出發(fā)點在哪里？

我們知道，實數(shù)之間的關(guān)系，基本而重要的是大小關(guān)系，其現(xiàn)實原型是事物數(shù)量的多少關(guān)系.實際上，將數(shù)量抽象成自然數(shù)的過程中，人們不僅用符號1，2，3，……來表示事物的量，同時也從數(shù)量的多少關(guān)系中抽象出了自然數(shù)的大小關(guān)系，這一點可以從自然數(shù)系的結(jié)構(gòu)中得到反映：自然數(shù)系是人們用來數(shù)“個數(shù)”的工具，其本質(zhì)是一個順序排列的體系，它是以0為起點，然后順序地“后繼者”表示比“前者”多1個，即1=0+1，2=1+1，3=2+1，4=3+1，…….在將數(shù)的范圍從自然數(shù)系逐步擴充到實數(shù)系的過程中，數(shù)的這種“順序”特性一直都得以保持.

因為式的關(guān)系是數(shù)的關(guān)系的抽象化、一般化、類化，所以由實數(shù)的有序性得出的兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實就成為研究式的關(guān)系的邏輯基礎(chǔ).

因此，兩個實數(shù)大小的基本事實是研究等式與不等式的性質(zhì)的出發(fā)點.

(4)兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實說了什么？

從整體上觀察“基本事實”：

a>b?a-b>0；

a=b?a-b=0；

a

可以發(fā)現(xiàn)它們的共性是把實數(shù)a，b的大小關(guān)系統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成了a-b與0的大小關(guān)系.這一轉(zhuǎn)化看似簡單但蘊含了深刻的代數(shù)思想.“要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小”這是對基本事實共性的歸納、思想的挖掘，不僅可以加深理解其本質(zhì)，而且指出了如何運用：通過做差運算，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化——統(tǒng)一地與0比大小.正如教科書指出的，“0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點，它為實數(shù)比較大小提供了‘標(biāo)桿’”([2],p.38).因此，教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會這句話，使他們感悟“運算”在解決不等式問題中的作用.

(5)“梳理等式的性質(zhì)”要梳理什么？

一般而言，對已學(xué)知識進行梳理，其目的是更深入的理解內(nèi)容的本質(zhì)、思想方法，通過建立知識的內(nèi)外聯(lián)系形成結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的知識，從而優(yōu)化學(xué)生頭腦中數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高知識的清晰性、可辨別性和可利用性水平.具體可以從如下幾個角度展開：

①知識內(nèi)容(是什么)；

②由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法——同類知識的共性；

③相關(guān)知識的聯(lián)系，可以從知識的發(fā)生發(fā)展過程入手(怎么來的).

這里的“梳理”還有一個目的：從中得到研究不等式性質(zhì)所需的一般觀念、研究內(nèi)容、研究路徑、研究方法等方面的啟迪.教科書正是按這一思路編寫的：

首先，以“不等式與等式一樣，都是對式的大小關(guān)系的刻畫，所以我們可以從等式的性質(zhì)及其研究方法中獲得啟發(fā)”為引導(dǎo)，提出任務(wù)：

請你先梳理等式的基本性質(zhì)，再觀察它們的共性．你能歸納一下發(fā)現(xiàn)等式基本性質(zhì)的方法嗎？

然后，列舉等式的5條基本性質(zhì)，并以“運算中的不變性就是性質(zhì)”引導(dǎo)學(xué)生思考.

最后，給出“發(fā)現(xiàn)”：性質(zhì)1，2反映了相等關(guān)系自身的特性，性質(zhì)3，4，5是從運算的角度提出的，反映了等式在運算中保持的不變性.

(6)不等式的性質(zhì)有怎樣的結(jié)構(gòu)？

任何一個(類)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)都有層次性，這是數(shù)學(xué)對象的構(gòu)成元素、相關(guān)要素之間關(guān)系以及與同類對象之間聯(lián)系的反映，是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系的具體化.定義給出了一類數(shù)學(xué)對象的內(nèi)涵，是這類對象的基本特性，處于性質(zhì)的“內(nèi)核”，是研究其他性質(zhì)的出發(fā)點(例如兩個實數(shù)大小的基本事實是研究等式、不等式性質(zhì)的出發(fā)點)；由定義直接推出的性質(zhì)，往往稱為基本性質(zhì)；接著是對象的相關(guān)要素之間的關(guān)系，以及通過建立相關(guān)知識之間的聯(lián)系而得出的性質(zhì)，這種聯(lián)系有“遠(yuǎn)近”之分.所以，數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)一般都是一個有序多級的系統(tǒng).

教科書中給出的不等式性質(zhì)分為三個層次：

第一層次：性質(zhì)1(自反性)、性質(zhì)2(傳遞性)，這是不等式自身的特性，是實數(shù)順序性的規(guī)律反映.

等式與不等式的自反性、傳遞性是代數(shù)推理的邏輯基礎(chǔ).因為它“太基本”，在高一新生這個年齡段一般會“視而不見”，在他們看來甚至是有點“沒事找事”，所以這兩條性質(zhì)學(xué)生不容易自主發(fā)現(xiàn).教學(xué)時可以由教師直接提出來，并結(jié)合初中的相關(guān)知識讓學(xué)生體會其必要性(如乘法公式和用公式法分解因式).

這里的另一個問題是這兩條性質(zhì)的證明.學(xué)生在初中代數(shù)學(xué)習(xí)中，數(shù)與式的運算是主旋律，嚴(yán)格的代數(shù)推理證明訓(xùn)練不多.例如，有學(xué)生對“自反性”的證明如下：

要證b

因為a>b，所以a-b>0.

兩邊同乘-1，得-(a-b)<0.(*)

所以b-a<0.

同理可證：如果bb.

所以，a>b?b

其中步驟(*)的依據(jù)是什么？學(xué)生往往說：以初中學(xué)過的“不等式兩邊同乘一個負(fù)數(shù)，不等號反向”為依據(jù).但這是不可以的，這里只能用“基本事實”.所以，本單元是培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)的一個契機，教學(xué)時可以利用學(xué)生中出現(xiàn)的上述類似問題引導(dǎo)學(xué)生思考、辨析，以使他們逐步理解代數(shù)推理的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性要求.

第二層次：性質(zhì)3(加法運算)、性質(zhì)4(乘法運算)稱為基本性質(zhì).

因為在數(shù)的運算中，加法、乘法是最基本的運算，所以在加法、乘法運算中的不變性、規(guī)律性是基本性質(zhì).

第三層次：由實數(shù)的性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)推出的常用性質(zhì).

為什么要研究“常用性質(zhì)”？這里我們給出一些理由：

首先，“常用性質(zhì)”可以看成是基本事實、基本性質(zhì)的推廣、應(yīng)用，它們豐富了不等式性質(zhì)的內(nèi)涵.例如，性質(zhì)5“如果a>b，c>d，那么a+c>b+d”是性質(zhì)3“如果a>b，那么a+c>b+c”的推廣，性質(zhì)6“如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd”是性質(zhì)4“如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)”又是性質(zhì)6的特殊化.

其次，這些性質(zhì)由基本事實、基本性質(zhì)推出，它們離具體問題“更近”，所以“更好用”.

再次，它們更深入地體現(xiàn)了“運算中的不變性、規(guī)律性”；等等.

實際上還可以有一些“常用性質(zhì)”，教學(xué)中可作為用不等式的性質(zhì)進行證明的例題，也可以作為探究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生自己進行猜想、證明.例如：

(7)如何在不等式性質(zhì)的教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)？

從前面的討論可以看到，不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)得到發(fā)展.整體上看，本單元內(nèi)容是按公理化思想編排的，所以有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性.正如教材的小結(jié)中指出的：以實數(shù)大小關(guān)系的基本事實為基礎(chǔ)，先通過類比，歸納猜想出不等式性質(zhì)，再運用邏輯推理證明之，這個過程不僅可以使我們學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系、規(guī)律的方法，而且可以培養(yǎng)借助直觀理解數(shù)學(xué)內(nèi)容、通過邏輯推理證明數(shù)學(xué)結(jié)論的思維習(xí)慣.([2],p.56)

6.2.2 基本不等式

(1)如何理解基本不等式的“基本”？

另外，從運算的角度，基本不等式是兩個正數(shù)在運算中出現(xiàn)的大小關(guān)系變化規(guī)律，是“運算中的規(guī)律性”.

根據(jù)以上認(rèn)識，教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生對基本不等式的各種變式及其推廣、幾何意義等展開探究，努力使學(xué)生搞清楚相關(guān)的各種命題及其相互聯(lián)系，形成以基本不等式為核心的結(jié)構(gòu)體系(當(dāng)然，有些內(nèi)容需要隨著學(xué)習(xí)的深入而不斷補充、加強，例如兩個正數(shù)的等差中項、等比中項及其關(guān)系等).

(2)如何引導(dǎo)學(xué)生探索基本不等式？

對于這樣的處于基礎(chǔ)而重要的位置，因為基本思想和基本活動經(jīng)驗準(zhǔn)備不足而導(dǎo)致“想不到”，從而出現(xiàn)學(xué)習(xí)困難的問題，解決的途徑大致有兩種：一種是提供具體背景，使學(xué)生形成一定的直觀經(jīng)驗基礎(chǔ)，再進行歸納，抽象出結(jié)論，例如，有的教材設(shè)置不標(biāo)準(zhǔn)天枰稱重問題、購物問題等，或者給一些具體數(shù)據(jù)讓學(xué)生計算算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出猜想；另一種是直接從a2+b2≥2ab進行變形，從一般到特殊地推出基本不等式.

顯然，“發(fā)現(xiàn)”基本不等式的不同設(shè)計各有千秋.考慮到學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的難度、預(yù)備知識的教學(xué)任務(wù)以及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，人教A版采用從代數(shù)公式在代數(shù)運算中的重要作用角度提出問題：“是否存在與乘法公式類似重要不等式”？再從a2+b2≥2ab變形得出基本不等式，把重點放在不同證明方法和幾何意義的探索上，幫助積累代數(shù)證明的經(jīng)驗，理解“幾何平均”的含義等.同時，證明方法側(cè)重在“用分析法探路，用綜合法表達(dá)”上，這種“執(zhí)果索因”、“由因?qū)Ч钡姆椒ㄊ浅Ｓ玫?，有利于發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).教學(xué)中要重視教材中的證明方法，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會并掌握書寫格式.另外，可以讓學(xué)生構(gòu)造不同的幾何圖形解釋基本不等式.

(3)教材中4個例子有怎樣的教學(xué)功能？

教材所選的4個非常典型，有“數(shù)學(xué)模型”的味道.

例2已知x，y都是正數(shù)，求證：

某種意義上，這個命題可以作為一個定理.從這個題目可以概括出“一正二定三相等”.

與基本不等式相關(guān)的代數(shù)變形非常靈活，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算能力的好素材，應(yīng)配套一些練習(xí)，使學(xué)生對一些基本變形達(dá)到“自動化”運用的水平.

例3、例4都是實際問題，通過建模，可以轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題.教科書重視通過語言轉(zhuǎn)換、數(shù)學(xué)符號的運用等明確題意，例如對例3，教科書在“分析”中給出：

(1)矩形菜園的面積是矩形的兩鄰邊之積，于是問題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之積為定值，邊長多大時周長最短.

(2)矩形菜園的周長是矩形兩鄰邊之和的2倍，于是問題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之和為定值，邊長多大時面積最大.

這樣的轉(zhuǎn)換，不僅使題意更加清楚了，而且也得出了一個更具普遍性的數(shù)學(xué)結(jié)論.

這里需要注意的問題是把握好基本不等式訓(xùn)練的“度”，不要急于把復(fù)雜的變式、變形技巧很強的問題布置給學(xué)生.這里的訓(xùn)練主要從代數(shù)角度進行，與不等式的性質(zhì)相聯(lián)系，通過代數(shù)變換解決有關(guān)問題.所涉及的題目，應(yīng)該是用基本不等式就能解決的.教材的例題、習(xí)題中給出了與基本不等式相關(guān)的主要變形，把這些題目處理好就可以了.

7 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

7.1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，用函數(shù)理解方程和不等式是數(shù)學(xué)的基本思想方法.通過本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生用一元二次函數(shù)認(rèn)識一元二次方程和一元二次不等式.通過梳理初中數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，理解函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的整體性.內(nèi)容包括：從函數(shù)觀點看一元二次方程、從函數(shù)觀點看一元二次不等式.可以發(fā)現(xiàn)，這一內(nèi)容的課程定位與前面幾個單元都有差異，強調(diào)了從知識的聯(lián)系性出發(fā)梳理相關(guān)內(nèi)容，從數(shù)學(xué)的整體性上提高認(rèn)識.顯然，這是從看問題的觀點、數(shù)學(xué)基本思想上提出的明確要求.

7.2 核心內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

課程標(biāo)準(zhǔn)提出的內(nèi)容與要求是：(1)從函數(shù)觀點看一元二次方程，會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù)，了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.(2)從函數(shù)觀點看一元二次不等式，①經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.②借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.可以看到，課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)在二次函數(shù)的統(tǒng)領(lǐng)下研究相應(yīng)的方程、不等式，其中特別注重發(fā)揮圖象的作用，強調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

1.如何理解“從函數(shù)觀點看”？

這里我們需要思考的問題包括：什么叫“函數(shù)的觀點”？“從函數(shù)觀點看”，看什么？如何看？

一般而言，函數(shù)觀點是指運動變化觀點、對應(yīng)思想、聯(lián)系的觀點、數(shù)形結(jié)合思想等等.

從函數(shù)觀點看方程、不等式：解方程、解不等式是求未知數(shù)的值或范圍，將未知數(shù)看成自變量，f(x)=0、f(x)>0、f(x)<0就是函數(shù)y=f(x)的三類狀態(tài)，并以f(x)=0為分界點.如果我們已經(jīng)對函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)了解清楚了，那么就可以利用函數(shù)的變化規(guī)律解決相應(yīng)的方程、不等式問題.顯然，這是一種聯(lián)系的觀點.

從函數(shù)觀點看方程：方程的解是與函數(shù)值為0時所對應(yīng)的自變量的值(數(shù))，是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)(形)；

從函數(shù)觀點看不等式：與函數(shù)值在某個范圍時相對應(yīng)的自變量集合(數(shù))，是函數(shù)圖象位于某個區(qū)域(如x軸上方或下方)時所對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)集合(形).

“函數(shù)觀點”帶來的好處是可以借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一般性地、程序化地解方程和不等式問題.這里，借助二次函數(shù)的圖象和一元二次方程的解，可以“以靜制動”，直觀得出一元二次不等式的解，這比用代數(shù)方法解不等式要方便得多，由此可以讓學(xué)生體會如何利用函數(shù)觀點、數(shù)形結(jié)合的思想方法解決有關(guān)方程與不等式問題，體會數(shù)學(xué)的整體性、聯(lián)系性.

2.學(xué)生的認(rèn)知困難在哪里？

函數(shù)觀點屬于數(shù)學(xué)思想層面.觀念、思想之類的東西具有概括性、統(tǒng)攝性，往往是“可以意會不可言傳”，用抽象語言說清楚是比較困難的，需要借助具體背景.所以，從內(nèi)容本身看，需要學(xué)生積累較多的經(jīng)驗才能領(lǐng)悟“函數(shù)觀點”的內(nèi)涵.

學(xué)生的問題是“想不到那里去”，給出明確的提示后會有恍然大悟之感.這種“不是做不到，而是想不到”的狀態(tài)就是素養(yǎng)不夠的表現(xiàn).所以，從認(rèn)知過程角度，“函數(shù)觀點”需要經(jīng)歷“滲透—明確—運用”的過程，最終要使學(xué)生達(dá)到“自動化”運用的程度.正因為如此，課程標(biāo)準(zhǔn)在這里讓“函數(shù)觀點”小試牛刀，在后面學(xué)習(xí)冪、指、對函數(shù)，掌握了更多類型的函數(shù)，積累了更豐富的函數(shù)知識后，將安排一般性的“二分法與求方程近似解”.

3.如何引導(dǎo)學(xué)生“從函數(shù)的觀點看”？

學(xué)生學(xué)習(xí)本單元的知識基礎(chǔ)有：一元二次方程、二次函數(shù)的有關(guān)知識，從一次函數(shù)的觀點看一元一次方程、一元一次不等式.所以，教材通過以下環(huán)節(jié)展開本單元內(nèi)容：

首先，設(shè)計具體情境，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，抽象出一元二次不等式的定義.

然后，以“在初中，我們學(xué)習(xí)了從一次函數(shù)的觀點看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．類似地，能否從二次函數(shù)的觀點看一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法呢？”引導(dǎo)學(xué)生進行類比，明確研究思路.

接著，以一元二次不等式x2-12x+20<0與二次函數(shù)y=x2-12x+20之間的關(guān)系為例引入二次函數(shù)的零點，研究如何利用二次函數(shù)的零點求不等式解集.

最后，得出用二次函數(shù)解一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的一般步驟：

(1)觀察二次項系數(shù)a的符號，對于a<0的一元二次不等式，把它的二次項系數(shù)化為正數(shù)；

(2)計算判別式Δ=b2-4ac的值，如果Δ≥0，求方程ax2+bx+c=0的根；如果Δ<0，說明方程ax2+bx+c=0無實數(shù)根；

(3)畫出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，結(jié)合圖象得不等式的解集.

上述過程，以二次函數(shù)為紐帶，把“三個二次”聯(lián)系起來，借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一般性地、程序化地解一元二次方程和不等式問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性、聯(lián)系性.

要注意，將ax2+bx+c=0、ax2+bx+c<0、ax2+bx+c<0(a≠0)統(tǒng)一起來，引入y=ax2+bx+c，對剛上高一的學(xué)生而言并不容易，需要加強引導(dǎo).

8 小結(jié)

整體上看，本單元的知識結(jié)構(gòu)是：

這里我們以“關(guān)系”、“聯(lián)系”、“基本思想和方法”等為關(guān)鍵詞，讓學(xué)生通過類比，理解等式與不等式的共性和差異性，掌握不等式的性質(zhì)及其蘊含的數(shù)學(xué)基本思想和方法，體會“運算”在研究代數(shù)性質(zhì)中的作用；用函數(shù)的觀點看方程和不等式，把一元二次方程、一元二次不等式統(tǒng)一為相應(yīng)的二次函數(shù)變化情況，建立函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系，這是用新思想、新觀點看舊問題，是認(rèn)識層次的提高，可以使學(xué)生體會數(shù)學(xué)的整體性，感悟函數(shù)的重要性，體驗到數(shù)學(xué)的思考方式，并提升發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力.在此過程中，學(xué)生的思維抽象水平和邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性都會得到提高，從而就在潛移默化中實現(xiàn)了學(xué)習(xí)方法、思考習(xí)慣的過渡.

再次強調(diào)，初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差異是由學(xué)習(xí)內(nèi)容的抽象程度所決定的，相伴相隨的是對邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性要求的提高.但從認(rèn)知規(guī)律看，數(shù)學(xué)概念、定理的形成一般是“起始于直覺，完成于邏輯”，因此“思想先行于邏輯，推理緊跟著直覺”，使學(xué)生有一個逐步走向嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程，不僅符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也與數(shù)學(xué)知識發(fā)展規(guī)律相吻合.

把課程內(nèi)容與學(xué)生感興趣的事物以及已具備的知識經(jīng)驗聯(lián)系起來，這樣才能使學(xué)生在面對學(xué)習(xí)任務(wù)時產(chǎn)生有數(shù)學(xué)意義的心理過程，在學(xué)習(xí)活動中將思考、感受和行動融合起來，使學(xué)生在克服困難、掌握知識、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提高數(shù)學(xué)能力的過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，這是安排“預(yù)備知識”的價值所在.