從課本中汲取解題營養(yǎng)

張 俊

(江蘇省興化市第一中學(xué) 225700)

由于高考最終以試題的形式出現(xiàn)，因而在高三復(fù)習(xí)中，很多教師往往把提高學(xué)生的解題能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的中心任務(wù)．這本無可厚非，但筆者在調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，不少老師往往拋開課本，或圍繞一本復(fù)習(xí)資料，或圍繞備課組自編的講義組織復(fù)習(xí)，講練題目．在與不少老師的交流中，筆者了解到下面的想法頗為流行：教材只是講授知識的載體，對指導(dǎo)怎樣解題作用不大．事實(shí)上，勿論知識傳授與解題本身并不割裂，即便單純地從指導(dǎo)解題出發(fā)，教材中同樣蘊(yùn)含著豐富的解題營養(yǎng)．只要深入地研究課本，就能汲取課本中富含的養(yǎng)分，提高解題技能，充分發(fā)揮其應(yīng)有的價值．

限于篇幅，本文所舉案例皆來源于蘇教版必修4、必修5中“三角恒等變換”、“解三角形”兩個章節(jié)．

1 擴(kuò)大課本中例習(xí)題的應(yīng)用范圍

課本中除了必須掌握的定理、公式、法則外，還有很多的例題、習(xí)題．它們散落在課本中，其中不少題目的結(jié)論或簡潔深刻，或內(nèi)涵豐富，是經(jīng)典命題．由于各種原因所限，它們只能以例習(xí)題的形式屈居在課本中．比如向量的定比分點(diǎn)公式、三角形內(nèi)外角平分線定理、海倫公式等，它們本身都是著名的結(jié)果，熟知它們，解題時猶如多了克敵制勝的法寶，對跨越思維障礙，迅速解決問題幫助很大．

案例1蘇教版(必修4)中有一道習(xí)題：求證：sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β.

這道題形式簡潔，結(jié)構(gòu)整齊，與平方差公式交相輝映，極富美感，不僅便于記憶，而且應(yīng)用方便，我們不妨稱之為“正弦平方差公式”．

題1(2017屆南通揚(yáng)州泰州二模)：在△ABC中，已知AB=2,AC2-BC2=6，則tanC的最大值是．

題2(2019屆無錫高三零模：)在銳角ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，則

類似于正弦平方差公式這般的經(jīng)典結(jié)論課本中俯拾皆是，我們切忌不加選擇地強(qiáng)行推銷給學(xué)生．只有那些便于記憶便于運(yùn)用的我們才可擇其精者教給學(xué)生，而且還要注意時機(jī)和學(xué)生水平，否則不僅未曾變成學(xué)生降服難題的倚天劍，反而徒增他們的負(fù)擔(dān)而已．

2 發(fā)揮課本中例習(xí)題的題根功能

雅諾夫斯卡婭有句名言：“解題就是把題目化歸為已經(jīng)解過的題”．課本中的很多題目歷經(jīng)歲月的錘煉，發(fā)展空間大，變化方向多，是很多試題的題根．一方面，解題時我們可以通過聯(lián)想、構(gòu)造、連續(xù)轉(zhuǎn)化等手段將其化生為熟，另一方面，我們面對課本題時要在領(lǐng)悟本質(zhì)的基礎(chǔ)上，主動變式， 從而獲得對問題的全方位認(rèn)識．

此題是2019年高考江蘇卷中的一道把關(guān)題，有一定難度．事實(shí)上，它是蘇教版(必修4)中一道例題的改編，即，

所以sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

題5(蘇教版(必修5)例題)：在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，試判斷該三角形的形狀．

3 善用公式定理證明中的變形手段

課本中的很多公式、定理本身就是解題教學(xué)的良好范例，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)解題方法、技能、策略等．教學(xué)中我們要將它們充分地挖掘并展示出來，杜絕那種拋售結(jié)論后就匆忙應(yīng)用的功利性教學(xué)方式．還要注意是，一定要讓學(xué)生全程參與，仔細(xì)體會，認(rèn)真消化，并嘗試將它們應(yīng)用到解題實(shí)踐中．

題6(2016年高考江蘇卷第14題)：在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是．

有趣的是，題6可看作案例2中題5的變式，這樣我們就看到了這些形式各異的問題之間的聯(lián)系，揭示了它們的本質(zhì)，類似的問題隨手可編，比如：

題7：在銳角三角形ABC中，cosA=2cosBcosC，求tanAtanBtanC的最小值．

題8：在△ABC中，已知BC2+4AC2=AB2，求tanA+2tanB+3tanC的最小值．

4 領(lǐng)悟公式定理證明中的思想方法

作為傳遞數(shù)學(xué)知識的載體，課本中孕育著豐富的思想方法．除了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、化歸轉(zhuǎn)化等耳熟能詳?shù)乃枷敕椒ㄍ猓覀冞€要善于提取一些隱藏于所學(xué)習(xí)知識和例題習(xí)題中，對解題有直接幫助的的思想方法．它們以內(nèi)隱的形式躲在幕后，卻往往是解決問題的關(guān)鍵．比如對數(shù)公式證明中的取對數(shù)方法；等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)中的累加法、疊乘法，再如課本中散落著很多的題、定理和公式，它們的形式或結(jié)構(gòu)或解決方法無不指向一個共同的本質(zhì)：齊次，而化非齊次式為齊次式是解決很多問題的一種重要策略．這些閃爍著智慧光芒的東西，躲在知識定理公式題目的背后，熠熠生輝．它們是高級的解題武器．但需要我們沉入教材才能找到它們，并將之用于解題實(shí)踐．

案例4題9(2018年高考江蘇卷第13題)：在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為．

相距十年，同一位置(第13題)，同以三角形為背景，基于同一思想，我們給出了它們優(yōu)雅的解答，也許這就是冥冥之中的巧合吧！

圖1

=2mRcos∠ADB=2mRcosC，

故m=sinA=sinθ．

課本為什么要在“三角函數(shù)”與“三角恒等變換”這兩個三角章節(jié)之間插入“平面向量”一章呢？顯然是想凸顯向量的工具性作用，我們要深刻體會這一點(diǎn)，對于可用向量處理的內(nèi)容，在教學(xué)時千萬不能輕易滑過，要舍得花力氣，盡量突出向量方法的優(yōu)越性．

代入數(shù)據(jù)即可算得答案，一道難題談笑間灰飛煙滅.

兩邊平方實(shí)現(xiàn)向量等式數(shù)量化的方法也可以用于題11的解決，限于篇幅，不在贅述．經(jīng)歷了前面兩道題目的解決過程，我們對課本正弦定理證明處的一段旁白也許會有更深的理解，這段話是：向量的數(shù)量積是將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式的常用工具．

圖2

據(jù)此求得m+n=3．

解題是教師普遍關(guān)心的話題，怎樣學(xué)習(xí)解題，我們往往求助于各種所謂的解題寶典、秘笈，卻忽視向課本學(xué)習(xí)，從中汲取解題營養(yǎng)．對課本的研究越深，越覺其包羅萬象，博大精深．作為教學(xué)的首席資料，課本不僅是我們教知識的載體，同樣也能教我們怎樣去解題．誠愿我們每位數(shù)學(xué)老師讀好課本，學(xué)好課本，用好課本，充分發(fā)揮其應(yīng)有的價值．正是：解題寶典何處尋？教材博大孕乾坤.外接古今群賢智，內(nèi)含數(shù)學(xué)思想魂.千招萬式源不盡，妙法巧思趨無窮.恰如方程求善解，朝研暮究道方通.