基于AR模型的大跨懸索橋脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程模擬*

白 泉，徐 樊，楊少波

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

隨著橋梁結(jié)構(gòu)建設(shè)的不斷發(fā)展，大跨度橋梁不斷出現(xiàn)在人們的視野中，而懸索橋是特大跨徑橋梁的主要形式之一.該類橋梁是一種柔性風(fēng)敏結(jié)構(gòu)，其經(jīng)濟(jì)性能良好，適應(yīng)性較強(qiáng)，但由于其結(jié)構(gòu)本身的特性，該類橋梁的抗風(fēng)計(jì)算不可忽略[1].抗風(fēng)研究主要有風(fēng)洞試驗(yàn)和數(shù)值模擬兩類方法.風(fēng)洞試驗(yàn)技術(shù)要求高，經(jīng)費(fèi)高昂[2]；數(shù)值模擬方法[3]方便快捷，操作簡(jiǎn)單，可進(jìn)行多次模擬比較，得到廣泛應(yīng)用.目前，風(fēng)速時(shí)程數(shù)值模擬方法主要有諧波疊加法、線性濾波法[4]以及小波分析法等[5].每種方法都有不同的特點(diǎn)，其中，線性濾波法具有計(jì)算量小和速度快的特點(diǎn)，同時(shí)能夠考慮時(shí)間相關(guān)性，處理非線性的問(wèn)題[6-7].根據(jù)結(jié)構(gòu)特性，本文采用線性濾波法中的自回歸(AR)模型，結(jié)合AIC準(zhǔn)則確定了該模型的階數(shù)，編制了脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程模擬程序.

1 風(fēng)基本特征

(1)

1.1 平均風(fēng)

平均風(fēng)是在一定的觀測(cè)時(shí)間段內(nèi)，風(fēng)壓值大小和方向等不隨時(shí)間而改變的量.Davenport等人對(duì)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析，認(rèn)為平均風(fēng)速沿高度變化的規(guī)律可用指數(shù)函數(shù)來(lái)表示[8]，即

(2)

1.2 脈動(dòng)風(fēng)

風(fēng)的不規(guī)則性運(yùn)動(dòng)是脈動(dòng)風(fēng)形成的原因，所以脈動(dòng)風(fēng)的強(qiáng)度變化是隨機(jī)的.這種強(qiáng)度的變化通常用功率譜密度函數(shù)來(lái)表達(dá).Kaimal提出了沿高度變化的水平脈動(dòng)風(fēng)功率譜[9]，即

(3)

空間不同點(diǎn)在同一時(shí)刻，同時(shí)還具有空間相關(guān)性，對(duì)大跨度橋梁結(jié)構(gòu)而言，應(yīng)采用三維空間互相關(guān)密度函數(shù)rij(f)表示，即

(4)

式中，衰減系數(shù)cx、cy、cz分別取為16、8和10[10].

2 基于AR模型的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程模擬

脈動(dòng)風(fēng)可作為零均值的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程來(lái)考慮.脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程向量vf(x，y，z，t)可以表示為

(5)

式中：Ψk為AR模型的自回歸系數(shù)矩陣；p為AR模型階數(shù)；N(t)為給定方差的隨機(jī)過(guò)程向量；Δt為模擬風(fēng)速的時(shí)間步長(zhǎng).

AR模型模擬風(fēng)速時(shí)程采用一種處理時(shí)間序列的方法，即用同一風(fēng)速之前各個(gè)時(shí)刻的數(shù)值，來(lái)預(yù)測(cè)本時(shí)刻的表現(xiàn)，并假設(shè)它們?yōu)榫€性.其中，自回歸系數(shù)矩陣Ψk的求解是一項(xiàng)重要內(nèi)容.

2.1 求解自回歸系數(shù)Ψk

脈動(dòng)風(fēng)過(guò)程的協(xié)方差矩陣R與回歸系數(shù)矩陣Ψ之間的關(guān)系[11]為

作者縱觀漢語(yǔ)研究的歷史，從語(yǔ)匯研究和甌越語(yǔ)研究的歷史及其現(xiàn)狀入手，深刻剖析了甌越語(yǔ)語(yǔ)匯研究的歷史現(xiàn)實(shí)意義。指出從漢語(yǔ)研究歷史來(lái)看，語(yǔ)匯的研究在中國(guó)古代早有零星記載，但未形成體系，只作為詞匯研究的附屬。在現(xiàn)代語(yǔ)言學(xué)研究的早期，人們也并未將語(yǔ)匯獨(dú)立出來(lái)，而是仍將其作為詞匯研究的一部分，語(yǔ)言研究的一個(gè)子系統(tǒng)。因此長(zhǎng)期以來(lái)語(yǔ)匯研究處于漢語(yǔ)研究中相對(duì)薄弱的環(huán)節(jié)。

(6)

式中：I為M階單位矩陣；Op為零矩陣.R作為自相關(guān)矩陣，其表達(dá)式為

(7)

自相關(guān)矩陣R可由功率譜密度函數(shù)和相干函數(shù)之間滿足的維納-辛欽公式求出，即

(8)

2.2 求隨機(jī)過(guò)程N(yùn)(t)和M個(gè)隨機(jī)過(guò)程

對(duì)得到的矩陣RN進(jìn)行Cholesky分解，可得

(9)

式中，n(t)=[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T，ni(t)為均值為0、方差為1彼此相互獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程.進(jìn)而得到獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程向量N(t)，最終的M個(gè)隨機(jī)過(guò)程可以表示為

(10)

式中，當(dāng)t≤0時(shí)，v(t)=0.

3 AR模型階數(shù)p的確定

根據(jù)AIC準(zhǔn)則，又稱為最小信息準(zhǔn)則[12]，脈動(dòng)模擬風(fēng)速時(shí)程模擬優(yōu)先考慮AIC值最小的那一階，因此，從p=1時(shí)開始試算，經(jīng)過(guò)迭代法試算，隨著p的增大，AIC值會(huì)逐漸減小，當(dāng)其值趨于穩(wěn)定時(shí)，p值即為所求模型的階數(shù).AIC準(zhǔn)則函數(shù)為

AIC(p)=Qln(σ2)+2p

(11)

式中：Q=T，T為周期；σ2=2R(0)-R(Q).

4 工程實(shí)例模擬

沈陽(yáng)東塔自錨式懸索橋的主橋部分長(zhǎng)400 m，主橋?yàn)槿缱藻^式懸索橋，主塔從橋面算起高50 m.基于MATLAB平臺(tái)，依據(jù)前文所述過(guò)程和方法，編制模擬程序，對(duì)該橋的主梁、主纜及橋塔上的多點(diǎn)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程進(jìn)行數(shù)值模擬.

該工程地處沈陽(yáng)市王家灣橋下游2 km處，地形平坦，地貌單元屬河流沖積階地，周圍有莊稼地，未有高樓林立，MATLAB平臺(tái)模擬需要的主要參數(shù)，均參考該工程實(shí)際得到，如表1所示.

表1 主要參數(shù)

為了與模擬多點(diǎn)的特性相符，本文目標(biāo)譜采用Kaimal譜.根據(jù)結(jié)構(gòu)分析需要，共模擬了78個(gè)點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程，點(diǎn)的位置如圖1所示.圖1中主橋部分共模擬了78個(gè)點(diǎn)，包括主梁、主纜各37個(gè)點(diǎn)，兩主塔塔底和塔頂4個(gè)點(diǎn)，本文列出了其中幾個(gè)點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程.根據(jù)AIC準(zhǔn)則，確定模型階數(shù)，針對(duì)階數(shù)1～8進(jìn)行計(jì)算，繪制出AIC值的變化曲線，如圖2所示.從圖2中可以看出，當(dāng)p=4時(shí)，AIC值趨于穩(wěn)定，所以本文AR模型階數(shù)取p=4.

圖1 懸索橋主橋風(fēng)速模擬節(jié)點(diǎn)圖

圖2 AIC值變化曲線

4.1 關(guān)鍵點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程曲線

圖3～5分別為橋梁的主梁、主塔及主纜的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程曲線.

圖3 20點(diǎn)(主梁中)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程曲線

4.2 功率譜密度函數(shù)對(duì)比

圖6～8分別為主梁中點(diǎn)、主纜中點(diǎn)及主塔頂點(diǎn)功率譜密度函數(shù)的模擬譜與目標(biāo)譜的比較.從圖中可以看出，擬合較好.

4.3 互相關(guān)函數(shù)對(duì)比

圖9為主梁上18點(diǎn)與20點(diǎn)的互相關(guān)函數(shù)曲線.從圖9中可以看出，互相關(guān)系數(shù)的最大值約為0.51，對(duì)模擬值和目標(biāo)值進(jìn)行了對(duì)比，曲線擬合較好，模擬的空間相關(guān)性合理.圖10為主梁18點(diǎn)和27點(diǎn)的互相關(guān)函數(shù)目標(biāo)值和模擬值對(duì)比曲線，可以看出相關(guān)性同樣合理，最大值約為0.40，由此可知，距離越近的兩個(gè)點(diǎn)空間相關(guān)性越強(qiáng).

圖4 59點(diǎn)(主纜中)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程曲線

圖5 71點(diǎn)(主塔頂)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程曲線

圖6 20點(diǎn)(主梁中)功率譜

圖7 59點(diǎn)(主纜中)功率譜

圖8 71點(diǎn)(主塔頂)功率譜

圖9 主梁18和20點(diǎn)互相關(guān)函數(shù)

圖10 主梁18和27點(diǎn)互相關(guān)函數(shù)

5 結(jié) 論

本文基于線性濾波法，編制了具有時(shí)間和空間相關(guān)性的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程程序，根據(jù)工程實(shí)際確定了特定參數(shù)的取值，算例表明：

1)該程序采用AR模型計(jì)算速度快，使用方便，功率譜密度函數(shù)模擬譜與目標(biāo)譜擬合較好，模擬精確；

2)模擬的脈動(dòng)風(fēng)互相關(guān)系數(shù)同目標(biāo)互相關(guān)系數(shù)擬合較好，距離近的兩點(diǎn)相關(guān)系數(shù)越大，空間相關(guān)性越強(qiáng)，距離越遠(yuǎn)的兩點(diǎn)相關(guān)系數(shù)越小，空間相關(guān)性越弱；

3)用AIC準(zhǔn)則確定了模型階數(shù)，使得模擬更加準(zhǔn)確、高效；

4)該方法可以推廣到此類吊索結(jié)構(gòu)和大跨度結(jié)構(gòu)風(fēng)速時(shí)程模擬，為工程結(jié)構(gòu)抗風(fēng)分析提供荷載輸入.