新高次四維超混沌系統(tǒng)的廣義反同步*

鄭 莉，孫常春

(沈陽建筑大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 110168)

近十年來，混沌理論[1]得到了迅速發(fā)展.混沌系統(tǒng)的特殊性在于加入了確定性輸入后，產(chǎn)生了類似隨機(jī)的運(yùn)動，即內(nèi)隨機(jī)性.這種內(nèi)隨機(jī)性不同于一般隨機(jī)性，也不同于周期性，具有兩種特點(diǎn).經(jīng)大量研究發(fā)現(xiàn)，混沌廣泛存在于人類研究的各個領(lǐng)域.混沌現(xiàn)象不僅在流體力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)等領(lǐng)域被研究和應(yīng)用，醫(yī)學(xué)上已經(jīng)證實(shí)，麻疹的流行、血細(xì)胞生成、心肺功能的相互作用等多種人體生物現(xiàn)象也都是呈混沌態(tài)的.同時在社會科學(xué)中，混沌理論也被用來探討人口遷移和用電預(yù)測[2]等社會現(xiàn)象.已有學(xué)者提出，將混沌信號應(yīng)用在人工智能中，人類將得到更高智慧的人工智能.目前對混沌理論的研究包括：提出特殊的新系統(tǒng)，如沒有平衡點(diǎn)的系統(tǒng)[3]、多平衡點(diǎn)的系統(tǒng)[4]、具有無窮多平衡點(diǎn)的系統(tǒng)[5]、具有共存吸引子的系統(tǒng)[6]、高維系統(tǒng)[7]、高次系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)[8]、切換系統(tǒng)[9]或者兼具以上特征的多特征系統(tǒng).對這些系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)分析，證明其混沌性，挖掘其新的特征并進(jìn)行同步分析[10]和電路實(shí)現(xiàn)[11].在以往所提出的高次混沌系統(tǒng)中，含6次項的高次系統(tǒng)已經(jīng)較為特殊，本文提出了含13次項的四維超混沌系統(tǒng)，其在x1-x2-x3三維空間中呈帽子形，在x1-x2平面投影為嘴唇形.

1 四維超混沌系統(tǒng)

1.1 超混沌系統(tǒng)概述

四維超混沌系統(tǒng)的表達(dá)式為

(1)

式中，a、b、c、d、e、f、g、h、l、m、n為系統(tǒng)中的未知參數(shù).式(1)中包含了11項，其中5個1次項，3個2次項，1個3次項，1個6次項，1個13次項.

1.2 超混沌系統(tǒng)的相圖及李雅普諾夫指數(shù)譜

當(dāng)a=20，b=14，c=4，d=8，e=6，f=5，g=11，h=2.8，l=1.5，m=1，n=1且初始值取(0.01，0.01，0.01，0.01)時，系統(tǒng)(1)是混沌的，其相圖如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)(1)相圖

選取初始值為(0.01，0.01，0.01，0.01)時，系統(tǒng)(1)在1 000 s以內(nèi)的Lyapunov指數(shù)譜如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)(1)Lyapunov指數(shù)譜

式(1)狀態(tài)方程的維數(shù)為4，狀態(tài)方程的階數(shù)大于2，且LE1>0，LE2>0，LE3=0，LE4<0，LE1+LE2+LE4<0，故系統(tǒng)(1)為超混沌系統(tǒng).

2 廣義反同步控制器設(shè)計及仿真實(shí)驗

2.1 非線性廣義反同步控制器設(shè)計

響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動系統(tǒng)的軌道之間滿足某一特定函數(shù)關(guān)系的同步，稱為廣義同步，本文給出設(shè)計非線性廣義反同步控制器的方法.指定系統(tǒng)(1)為驅(qū)動系統(tǒng)，則響應(yīng)系統(tǒng)為

(2)

令

(3)

將式(2)與式(1)相加，可得

(4)

令非線性控制器為

(5)

將式(5)代入式(4)，則有

(6)

e1(-ae2+ω1)+e2(de2+ω2)+

e3(-ge3+ω3)+e4(me1+ne4+ω4)

(7)

2.2 仿真實(shí)驗

在Matlab平臺下，取誤差為10-6，x1(0)=0.01，x2(0)=0.01，x3(0)=0.01，x4(0)=0.01，y1(0)=0.02，y2(0)=0.02，y3(0)=0.02，y4(0)=0.02，在非線性控制器作用下，驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)能迅速同步.圖3為加入控制器時系統(tǒng)(1)和(2)的反同步誤差曲線.

圖3 加入控制器時系統(tǒng)(1)和(2)的反同步誤差曲線

3 結(jié) 論

本文提出了含超高次項四維超混沌系統(tǒng)，在非線性反同步控制器作用下，驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)能夠迅速同步.因該超混沌系統(tǒng)具有一定的特殊性，在保密通信及圖像加密中具有更高的實(shí)用價值.