在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思中促進(jìn)學(xué)習(xí)力成長

胡子豐

摘要：復(fù)習(xí)的目的在于通過不同方式對已有知識進(jìn)行回顧，達(dá)到“二次成長”。把數(shù)學(xué)解題中需要的一些數(shù)學(xué)思想和基本思維模式當(dāng)成一種習(xí)慣來培養(yǎng)和提高。要以復(fù)習(xí)課為載體，以知識的發(fā)展為線索，開展主題研修式課堂學(xué)習(xí)，通過問題背景來構(gòu)思數(shù)學(xué)思想，以指導(dǎo)解題過程的開展，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力。

關(guān)鍵詞：二次成長;復(fù)習(xí)課模式;數(shù)學(xué)思想;思維模式;數(shù)學(xué)學(xué)力

古語有云：“溫故而知新。”復(fù)習(xí)的目的在于讓學(xué)生通過不同方式對已有知識進(jìn)行回顧，實(shí)現(xiàn)“二次成長”。學(xué)生的知識成長主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一，知識的積累;第二，學(xué)習(xí)方法和能力的提升。而課堂作為教學(xué)主陣地，常見的復(fù)習(xí)課主要有三種模式：基礎(chǔ)性復(fù)習(xí)課、專題復(fù)習(xí)課及試卷講評課。三種模式的復(fù)習(xí)課形式上相對獨(dú)立，差異與共性共存。復(fù)習(xí)課是我們教學(xué)工作中的一種重要課型，它因時(shí)段、學(xué)情不同而表現(xiàn)為不同的課型，如一題一課、一圖一課、主題研修課等。筆者在日常教學(xué)研討活動中發(fā)現(xiàn)：部分年輕教師上復(fù)習(xí)課，糾結(jié)于問題的解決，重在闡述題目的解題過程，而缺乏問題的剖析和方法的提煉，結(jié)果只是自己帶著學(xué)生走進(jìn)“茫茫題海”;部分老教師解決問題輕車熟路，對解題夸夸其談，而缺乏對學(xué)生的學(xué)情分析，缺乏知識生長的換位思考，是“解題高手”卻不是“教學(xué)能手”。那么，如何更好地開展復(fù)習(xí)課教學(xué)，進(jìn)一步強(qiáng)化深度學(xué)習(xí)？下面，筆者結(jié)合自身教學(xué)做如下思考。

一、明晰三種模式復(fù)習(xí)課的特征

基礎(chǔ)性復(fù)習(xí)課注重知識點(diǎn)的落實(shí)，側(cè)重于通過復(fù)習(xí)讓學(xué)生更加明確知識點(diǎn)的認(rèn)知和熟練程度，通常會更注重利用同類練習(xí)加強(qiáng)鞏固;專題復(fù)習(xí)課偏向于學(xué)生能力的提升，常以某個(gè)知識點(diǎn)為背景，注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)問題分析解決能力，刻畫數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力;試卷講評課則更注重“實(shí)戰(zhàn)性”，針對性更強(qiáng)，在查漏補(bǔ)缺的同時(shí)，要能引領(lǐng)學(xué)生更多地去總結(jié)和進(jìn)行問題遷移，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。這是在我們的教學(xué)中非常重要的三種復(fù)習(xí)課模式，對提高教學(xué)質(zhì)量有著舉足輕重的作用。在不同的教學(xué)階段，選擇哪種課型來完成復(fù)習(xí)任務(wù)需要合理地設(shè)計(jì)，適時(shí)而為。

二、注重學(xué)法指導(dǎo)，提高復(fù)習(xí)課效率

心理學(xué)研究表明：學(xué)生將已學(xué)的知識和技能應(yīng)用到新的問題背景中去，這種能力不是自發(fā)形成的，是需要培養(yǎng)的。回顧這幾年來的復(fù)習(xí)課教學(xué)，筆者主要經(jīng)歷了兩個(gè)階段。

第一階段，給課堂“增容”。思考：設(shè)計(jì)怎樣的課堂能教給學(xué)生更多的知識，達(dá)到全面復(fù)習(xí)的目的？筆者效仿了很多復(fù)習(xí)課課型，也曾給自己定過復(fù)習(xí)課的一些條條框框。其中“一題一課”的復(fù)習(xí)課模式是我比較喜歡用的一種復(fù)習(xí)方式。這種復(fù)習(xí)方式能串聯(lián)知識，也能開展一題多解，開展變式訓(xùn)練，將問題挖深挖透，但這種課型多應(yīng)用于幾何問題的復(fù)習(xí)，有一定的局限性。筆者也思考過應(yīng)用到一些純代數(shù)問題的單元復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)，效果不是很好。交叉采用多種授課模式，確實(shí)讓課堂變得“結(jié)實(shí)”“精準(zhǔn)”、覆蓋面廣。但為了達(dá)到這些效果卻忽略很多細(xì)節(jié)因素，結(jié)果是：老師設(shè)計(jì)得很辛苦，為追求環(huán)節(jié)的完整性而忙碌勞累，學(xué)生卻沒了“感覺”。

第二階段，尋求課堂“思維火花的碰撞”。教和學(xué)本身就是兩個(gè)相對獨(dú)立而又相互依存的過程。有效的授課模式固然很重要，但不管用哪種方式去授課，都不能忽視課堂的實(shí)際效果。有一個(gè)話題困擾我多年：考試結(jié)束后與部分學(xué)生交流，學(xué)生總會說：“上課我都聽懂了，但考試的時(shí)候卻又不會做了?！睘榇?，我在課堂上對這類學(xué)生給予重點(diǎn)關(guān)注，發(fā)現(xiàn)他們確實(shí)是認(rèn)真聽了，但只是順著老師的思路，把講解聽明白了，至于為什么要這樣做卻全然無知，學(xué)生的思維缺乏主動性。于是，我經(jīng)常在課堂講解中問這樣一些問題：“從這個(gè)條件你會想到什么？”“為什么要連這條輔助線？”“是題目中的哪句話或哪幾個(gè)字讓你想到要這樣做的？”“是哪個(gè)知識或數(shù)學(xué)模型讓你想到要這樣做的？”……并把這些當(dāng)成是一種學(xué)習(xí)習(xí)慣來進(jìn)行培養(yǎng)和訓(xùn)練。?

經(jīng)歷了以上兩個(gè)階段的思考與實(shí)踐之后，在筆者的腦海中，有這么一個(gè)想法比較強(qiáng)烈：把數(shù)學(xué)解題中需要的一些數(shù)學(xué)思想和基本思維模式當(dāng)成一種習(xí)慣來專門訓(xùn)練提高。我決定以復(fù)習(xí)課為載體，以某個(gè)知識為背景開展主題研修式課堂教學(xué)。復(fù)習(xí)課中要能達(dá)到通過問題背景來構(gòu)思數(shù)學(xué)思想，以指導(dǎo)解題過程的開展，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力。

三、強(qiáng)化深度學(xué)習(xí)，構(gòu)建主題研修式課堂

（一）課例：“旋轉(zhuǎn)變換在解題中的應(yīng)用”學(xué)習(xí)單

1.復(fù)習(xí)引入。通過圖形分析明確旋轉(zhuǎn)變換的三個(gè)核心知識：（1）旋轉(zhuǎn)變換是一種全等變換。（2）原圖上的任意一條線段和旋轉(zhuǎn)后的像所在的直線所夾的角都等于旋轉(zhuǎn)角度。（3）旋轉(zhuǎn)變換中任意兩組對應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心連接所成的兩個(gè)三角形是一組相似的等腰三角形。

2.練習(xí)回顧。已知在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E，若???????????????? ，????????????? ，??????? ，求∠AED的大小。

延伸思考：通過改變條件，還可以解決哪些問題？

[設(shè)計(jì)意圖]在該環(huán)境中設(shè)計(jì)具體數(shù)據(jù)，意在培養(yǎng)學(xué)生的建模能力和問題遷移能力。尤其是通過思考題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力。

3.問題遷移。在正三角形內(nèi)部取點(diǎn)P，給定P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離，請思考：通過將哪個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)60度，又可以產(chǎn)生哪些類似于上面一個(gè)練習(xí)中的相關(guān)問題？請思考設(shè)計(jì)。

[設(shè)計(jì)意圖]通過分析旋轉(zhuǎn)90度能構(gòu)造等腰直角三角形，進(jìn)而思考旋轉(zhuǎn)60度構(gòu)造出的是什么圖形，并對問題做進(jìn)行進(jìn)一步的挖掘和探究，提高學(xué)生學(xué)力。

4.嘗試通過“旋轉(zhuǎn)變換”完成問題的轉(zhuǎn)化。如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，AB=AD=3，∠EAF=60°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，求△AEF的面積的最小值。

[設(shè)計(jì)意圖]培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)換思想和問題遷移能力，對旋轉(zhuǎn)的思想進(jìn)行進(jìn)一步刻畫，以形成一種思維模式。

5.突破難點(diǎn)。如圖，矩形ABCD中，AB=1，

，點(diǎn)P在邊BC上，點(diǎn)Q在邊CD上，且∠PAQ= 60°，連接PQ，求△APQ的面積的最小值。

[設(shè)計(jì)意圖]培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)一步挖掘問題的習(xí)慣，強(qiáng)化其轉(zhuǎn)換思想和建模思想。

6.歸納小結(jié)。要將已學(xué)的知識和技能應(yīng)用到新的問題背景中去，這不是自發(fā)形成的，需要進(jìn)行不斷的訓(xùn)練，并結(jié)合問題對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行刻畫，以提高自身學(xué)力。

（二）課例：“玩轉(zhuǎn)直尺——平行四邊形中的直尺作圖”教學(xué)設(shè)計(jì)

該課為九年級的復(fù)習(xí)課。到底要給學(xué)生講點(diǎn)什么？跨區(qū)域借班上課要考慮的因素比較多，坦白說，這確實(shí)是一個(gè)比較難以確定的問題。找個(gè)熱點(diǎn)題型？上個(gè)專題復(fù)習(xí)課？來張?jiān)嚲碇v評？用一題一課強(qiáng)化某塊知識？這些在我腦子里都匆匆過了一遍，似乎都不是很理想。思考這16年來的九年級教學(xué)，有那么一段，我一直在思考和實(shí)踐怎樣通過一節(jié)課讓學(xué)生收獲更多的知識性的東西。后來我慢慢發(fā)現(xiàn)，自己想得太累，學(xué)生也學(xué)得太累。宛如車夫趕著騾子運(yùn)送重物遠(yuǎn)行，都太累！于是我一直困惑于如何通過一節(jié)課能讓學(xué)生收獲更多有用的東西。教和學(xué)是相對獨(dú)立而又相輔相成的兩件事情。復(fù)習(xí)課從一定層面上來講，教學(xué)生怎么更好地思考應(yīng)該比復(fù)習(xí)多少知識點(diǎn)更加重要。

確定了這個(gè)課堂立意之后，我在想：當(dāng)前一些幾何解題學(xué)生失分較多，究其原因，就是對幾何問題的動手作圖能力比較欠缺，對圖形的形成過程（命題意圖）缺乏根源上的探究。數(shù)學(xué)思想的形成及對問題的表述都是學(xué)生比較薄弱的。那么，確定哪個(gè)幾何圖形來進(jìn)行作圖訓(xùn)練，既能訓(xùn)練學(xué)生作圖能力，又能訓(xùn)練學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣及思維習(xí)慣。一開始，我考慮將多個(gè)背景圖形整合在一起，但發(fā)現(xiàn)問題會很雜亂，思路也不清晰。課堂立意是一節(jié)思維訓(xùn)練和解題習(xí)慣的強(qiáng)化訓(xùn)練課，知識點(diǎn)的入手并不是最重要的。于是我最終確定了平行四邊形這個(gè)問題背景，確定用一把無刻度的直尺作為工具，簡潔清晰，側(cè)重思維訓(xùn)練，將本節(jié)課的基調(diào)定為：一節(jié)根植于理解性學(xué)習(xí)之上的主題研修課。具體課堂環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)如下：

1.在學(xué)案上先呈現(xiàn)一段引導(dǎo)性話語?！拔蚁Ｍ蠹彝ㄟ^本節(jié)課的無刻度直尺作圖探究，加強(qiáng)‘分析——小結(jié)——探究——提煉——拓展等學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，并能夠在今后的學(xué)習(xí)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法滲透，提高數(shù)學(xué)學(xué)力?！?/p>

[設(shè)計(jì)意圖]在思考提前設(shè)計(jì)的寄語后進(jìn)入課堂環(huán)節(jié)，能讓學(xué)生更加明確聽課過程中所需要關(guān)注的點(diǎn)，避免部分學(xué)生由于知識點(diǎn)熟悉而分神或?qū)W習(xí)目的性不夠明確。

2.復(fù)習(xí)引入?！霸凇魽BCD 中，你能得到哪些與邊、角、對角線有關(guān)的結(jié)論？”此問題意在讓學(xué)生對平行四邊形的“中心對稱性”加深印象。

3.例題呈現(xiàn)：在□ABCD中，點(diǎn)E在 AB上，且EA=EB，請你僅用一把無刻度的直尺，完成下列作圖，并簡述作圖過程。之后，作DC邊的中點(diǎn)F。

[設(shè)計(jì)意圖]對平行四邊形性質(zhì)的鞏固，明確當(dāng)動點(diǎn)E變成特殊點(diǎn)時(shí)，得到的從動點(diǎn)F也是一個(gè)特殊點(diǎn)。并引導(dǎo)學(xué)生能小結(jié)出：在平行四邊形中，已知一邊中點(diǎn)，能做出對邊中點(diǎn)。同時(shí)也為變式提供問題新背景的鋪墊，讓學(xué)生能夠理解命題人對問題梯度設(shè)置的慣常思維。

（1）變式1：在上圖中作CB邊的中點(diǎn)G。

[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生在掌握基本結(jié)論后，觀察新問題背景，提高分析問題本質(zhì)的能力。并能進(jìn)一步深化、完善結(jié)論：在平行四邊形中，已知一邊中點(diǎn)，能做出其余三邊中點(diǎn)。重點(diǎn)滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和一些數(shù)學(xué)解題習(xí)慣訓(xùn)練。

（2）變式2：連接AC，在AC上找一點(diǎn)M，使AM=???? AC。

[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生觀察分析背景圖形的能力，在特定問題背景下構(gòu)造合適的知識工具解決問題的能力。同時(shí)也為在下一個(gè)變式中滲透數(shù)學(xué)思想方法提供問題情境背景。

（3）變式3：在AC上找到另一個(gè)三等分點(diǎn)。

[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵是找到CD中點(diǎn)，培養(yǎng)用類比思想解決問題的能力。而找CD中點(diǎn)又回到了之前的問題上來了，進(jìn)一步強(qiáng)化了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用。

追問問題：當(dāng)E點(diǎn)變成動點(diǎn)時(shí)，哪些是從動點(diǎn)？從圖形形狀上去考慮，在E的運(yùn)動過程中，哪個(gè)圖形的形狀不會發(fā)生改變？

4.拓展延伸。

（1）在□ABCD 中，延長AD到點(diǎn)E ，連接CE、AC，若AE=AC，請你僅用一把無刻度的直尺作出△EAC的EC 邊上的高，并簡述作圖過程。

[設(shè)計(jì)意圖]強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想分析問題的能力，將求作高線的問題轉(zhuǎn)化為求作邊的中點(diǎn)。類比平行四邊形背景下作一邊中點(diǎn)的結(jié)論，去構(gòu)造平行四邊形，并找其中一邊中點(diǎn)。滲透數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生在感知整個(gè)問題的背景下，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練和表達(dá)能力訓(xùn)練。期望學(xué)生能熟練“由轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化為求作CE中點(diǎn)，再由數(shù)學(xué)建模思想構(gòu)造出平行四邊形BCED，得知AC、BD的交點(diǎn)恰好是BD中點(diǎn)，則問題轉(zhuǎn)化為本節(jié)課的結(jié)論中來解決?！碑?dāng)然本題還有轉(zhuǎn)化為重心和構(gòu)造以CE為平行四邊形對角線的思路來解決，進(jìn)一步通過轉(zhuǎn)化思想開展一題多解，對解題思維和解題習(xí)慣展開訓(xùn)練。

（2）如圖，在□ABCD中，AC為對角線，AC=BC，AE是△ABC的中線。

①用無刻度的直尺作出△ABC的高CH;

②用無刻度的直尺作出△ADC的高AK。

[設(shè)計(jì)意圖]本題在課件中沒有出現(xiàn)，如果時(shí)間允許，這是對第一個(gè)拓展題之后的一個(gè)總結(jié);再思考和訓(xùn)練鞏固，是對類比思想和轉(zhuǎn)化思想的一個(gè)強(qiáng)化訓(xùn)練。

（3）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中有一條線段AB，點(diǎn)A與點(diǎn)B均在格點(diǎn)上，請?jiān)谶@個(gè)網(wǎng)格中作線段AB的垂直平分線。要求：①僅用無刻度的直尺，且不能用直尺中的直角;②保留作圖痕跡。

[設(shè)計(jì)意圖]相對來講，拓展1的圖形離需要構(gòu)建的目標(biāo)圖形比較接近。而本題的圖形則相對更加簡潔，在上述拓展的基礎(chǔ)上再來解決這個(gè)問題，更能訓(xùn)練和體現(xiàn)學(xué)生對問題思考和駕馭能力的整體性。要構(gòu)造以AB為邊的平行四邊形很簡單，從而將中垂線問題轉(zhuǎn)化為過端點(diǎn)作垂線的問題加以解決。

5.課堂小結(jié)，談收獲：（1）平行四邊形相關(guān)知識。（2）相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法。（3）數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的培養(yǎng)和訓(xùn)練。

心理學(xué)研究表明：學(xué)生要將已學(xué)的知識和技能應(yīng)用到新的問題背景中去，這不是自發(fā)的，而是需要培養(yǎng)的！如何培養(yǎng)很值得思考和研究。在新教育背景下，作為老師，我們不能吃老本，要不斷學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念和育人模式。圍繞著如何開展更加有效的復(fù)習(xí)課教學(xué)，我們應(yīng)該更多、更好地開展教與學(xué)的換位思考。只有潛下心來認(rèn)真總結(jié)反思，才能真正抓住教學(xué)的節(jié)點(diǎn)，提高教學(xué)水平。從研究課堂入手，教給學(xué)生真正需要的東西，構(gòu)建真正意義上的生本課堂！

參考文獻(xiàn)：

[1]易良斌.中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)（研究與引領(lǐng)）[M].北京：光明日報(bào)出版社，2015.

[2]鄭成杰.對數(shù)學(xué)遷移問題的探討[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（05）.

（責(zé)任編輯：韓曉潔）