圖形中的一元二次方程

文 何君青

方程是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中重要的一部分內(nèi)容，蘇科版九年級教材的第一章主要研究方程中的一元二次方程。近幾年來，各地中考普遍從不同角度對一元二次方程的知識進(jìn)行比較全面、系統(tǒng)的考查，大部分試題通過直接考查一元二次方程的意義與解法，突出對基礎(chǔ)知識與基本技能的考查；通過設(shè)置現(xiàn)實問題情境，考查同學(xué)們列一元二次方程解決實際問題的能力，突出對數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查；通過設(shè)置綜合性問題，考查同學(xué)們對一元二次方程的靈活運(yùn)用，突出對方程思想的考查。下面就以一元二次方程與圖形結(jié)合的問題為例進(jìn)行剖析，以期對同學(xué)們一元二次方程的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、圖形構(gòu)成與一元二次方程

各地普遍采用設(shè)置符合同學(xué)們認(rèn)知的實際問題情境的方式，考查列方程解決實際問題的能力。特別突出的是，部分試題注重利用方程的結(jié)果，對實際問題作出判斷與預(yù)測，或?qū)嶋H問題設(shè)計實施方案等方式，強(qiáng)化對數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查。

例1用一條長20cm的繩子能否圍成一個面積為30cm2的矩形？如能，說明圍法；如果不能，說明理由。

解：設(shè)矩形的長為xcm，則寬為（10-x）cm。

根據(jù)題意，得x（10-x）=30，

即x2-10x+30=0。

因為Δ=b2-4ac=102-4×30=-20＜0，

所以此一元二次方程無實數(shù)根。

答：用一條長20cm的繩子不能圍成一個面積為30cm2的矩形。

【點(diǎn)評】題目在考查列方程的同時，更關(guān)注對實際問題理解能力的考查。若所求幾何圖形能構(gòu)成，則能算出具體的值；若不能構(gòu)成，則找不到符合條件的值，或無實數(shù)根，或算出的根不在實際范圍內(nèi)。

二、動點(diǎn)問題與一元二次方程

由于動點(diǎn)問題是數(shù)學(xué)考試中重要的一類題型，所以一元二次方程還常常會與動點(diǎn)問題結(jié)合，考查同學(xué)們列方程解決問題的能力。特別需要注意的是，部分試題會和面積、長度等知識結(jié)合，考查同學(xué)們靈活運(yùn)用方程的能力。

例2如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，CB=6.5cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動，與此同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動。當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)P停止移動。

（1）幾秒鐘后，S△PCQ=3cm2？

（2）幾秒鐘后，PQ=5cm？

解：（1）設(shè)x秒后，ΔPCQ的面積等于3cm2。

解這個方程，得x1=1，x2=3。

答：1秒或3秒后，△PCQ的面積等于3cm2。

（2）設(shè)t秒后，PQ的長為5cm。

根據(jù)題意，得（4-t）2+（2t）2=52。

【點(diǎn)評】解決與動點(diǎn)問題融合的一元二次方程綜合題時，同學(xué)們應(yīng)首先根據(jù)題意表示出各條線段的長度，再根據(jù)所問的問題，列出方程，算出相應(yīng)的結(jié)果。遇到此類考題時，同學(xué)們需特別注意要在最后檢驗算出的結(jié)果是否符合實際情況，若不符合，需要舍去。

三、一元二次方程的圖形解法

對于一元二次方程的求解方法，同學(xué)們一般想到的是直接開平方、配方、公式、因式分解等方法，然而借助圖形也能求出一元二次方程的正根。這類問題的研究有助于大家開闊眼界，發(fā)展思維。

例3怎么用圖形解一元二次方程x2+2x-35=0（x＞0）？

幾何建模：

（1）變形得：x（x+2）=35；

（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖2；

（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+2）2或4個長（x+2）、寬x的矩形之和加上中間邊長為2的小正方形面積。

即（x+x+2）2=4x（x+2）+22，

因為x（x+2）=35，

所以（x+x+2）2=4×35+22，

所以（2x+2）2=144，

因為x＞0，

所以x=5。

思考：請利用拼圖求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解。

解：畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構(gòu)造圖3，則圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：（x+x+b）2或4個長為x+b、寬為x的矩形面積之和加上中間邊長為b的小正方形面積。

即（x+x+b）2=4x（x+b）+b2，

因為x（x+b）=c，

所以（x+x+b）2=4c+b2，

所以（2x+b）2=4c+b2，

因為x＞0，

【點(diǎn)評】此題從教材中一元二次方程拼圖法入手，以特殊的一元二次方程為背景拓展為一類一元二次方程的求法，對于同學(xué)們來說，有一定的難度，故題目鋪設(shè)了臺階，讓大家先了解解決的方法，再進(jìn)行探討。事實上，此題用因式分解法很簡單，但拼圖法更形象、直觀。本題通過對同一個圖形面積整體和部分的不同表達(dá)探索出一元二次方程的正數(shù)解，同學(xué)們是否會聯(lián)想到一元三次方程的正數(shù)解的解法呢？平面上，一個矩形的長、寬可以看作是兩個關(guān)于x的代數(shù)式，求面積可以構(gòu)建一元二次方程，那么空間圖形中長方體的長、寬、高也可以看作是三個關(guān)于x的代數(shù)式，求體積是否可以構(gòu)建一元三次方程，從而借助體積不變的方法解決呢？