剖析一元二次方程中的常見錯解

文 何加寬

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，是中考中的“?？汀?。有些同學(xué)由于概念不清、方法不明等原因，經(jīng)常在解決一元二次方程相關(guān)問題時出錯?，F(xiàn)對一元二次方程的典型易錯題進行舉例剖析，以供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。

一、忽視二次項系數(shù)不為0

例1若關(guān)于x的方程（m+1）xm2+1-2x+1=0是一元二次方程，則m的值為___________。

【錯解】因為這是一元二次方程，所以含有未知數(shù)x的項的最高次數(shù)是2，即m2+1=2，解得m=±1。

【剖析】本題考查一元二次方程的概念。錯因是對概念理解不透徹，忽視二次項系數(shù)a≠0。當(dāng)m=-1時，此方程變成一元一次方程，顯然不符合題意，所以m=-1應(yīng)舍去。

【正解】由m2+1=2，得m=±1。又因為m+1≠0，即m≠-1，所以m的值為1。

【點評】ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）是一元二次方程的一般形式。同學(xué)們在解題時，不能看到“二次”就只顧“次數(shù)”，還需注意a≠0的條件限制。同學(xué)們平時對一元二次方程等概念的學(xué)習(xí)，不僅要看“樣子”，還要關(guān)注“條件”。

二、解方程步驟不清、忽視條件漏根

例2解方程：（1）（x-1）2=4；（2）3x（x-3）=2（x-3）。

【錯解】（1）x-1=2，x=3；（2）方程兩邊同除以x-3，得

【剖析】（1）形如（x+h）2=a（a≥0）的一元二次方程可以用直接開平方法求解，根據(jù)平方根定義，x+h=±，而不是x+h=，這樣會丟根；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)：在等式的兩邊同乘（或除以）一個不為0的數(shù)或整式，等式仍然成立。在這里，很多同學(xué)沒有考慮x-3可以為0的情況，丟掉了x=3這個根。

【正解】（1）x-1=±2，x-1=2或x-1=-2，即x1=3，x2=-1。

（2）3x（x-3）-2（x-3）=0，（x-3）（3x-2）=0，x-3=0或3x-2=0，所以

【點評】根據(jù)平方根定義，解方程時要明晰定義和性質(zhì)，理清解方程的步驟，預(yù)防丟根；在應(yīng)用等式的性質(zhì)解方程時，切不可在方程兩邊同除以含未知數(shù)的代數(shù)式，否則將失根。增根好剔除，失根難尋找哦。

三、忽視分類討論

例3已知關(guān)于x的方程（m-2）x2-2（m-1）x+m+1=0有實數(shù)根，求m的取值范圍。

【錯解】因為關(guān)于x的方程（m-2）x2-2（m-1）x+m+1=0有實數(shù)根，所以m-2≠0，［-2（m-1）］2-4（m-2）（m+1）≥0，解得m≤3且m≠2。

【剖析】題目中沒有指明關(guān)于x的方程是一元二次方程，那么它也可能是一元一次方程，因此要對關(guān)于x的方程進行分類討論。

【正解】因為關(guān)于x的方程（m-2）x2-2·（m-1）x+m+1=0有實數(shù)根，

所以（1）當(dāng)m-2=0，即m=2時，原方程可化為-2x+3=0，解得，則m=2時，方程有實數(shù)根；

（2）當(dāng)m-2≠0，即m≠2時，［-2（m-1）］2-4（m-2）（m+1）≥0，解得m≤3且m≠2。

綜上所述，m的取值范圍是m≤3。

【點評】我們在解題時，要看清題意，不能盲目認為有實數(shù)根的方程就是一元二次方程。“有實數(shù)根”不等于“有兩個實數(shù)根”，對于含字母參數(shù)的方程ax2+bx+c=0存在實數(shù)根時，需分a=0和a≠0兩種情況分類討論。

四、忽視實際意義

例4某商場以成本為每件60元購進一批襯衫，以每件100元的價格銷售，每天可賣出20件。為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每件襯衫每降價5元，則每天可多賣10件。若商店平均每天盈利1200元，每件襯衫的售價應(yīng)定為多少元？

【錯解】設(shè)每件襯衫的售價為x元。根據(jù)題意，得（x-60）［20+（100-x）］=1200，整理，得x2-170x+7200=0，解這個方程，得x1=90，x2=80。

答：每件襯衫的售價為80元或90元。

【剖析】根據(jù)“總盈利=單件利潤×銷售數(shù)量”，歸為“a×b=c”模型。本題要考慮“每件襯衫每降價5元，則每天可多賣10件”，轉(zhuǎn)化為每降價1元，每天多賣件，還要注意“盡快減少庫存”這個條件，對兩個根進行取舍。

【正解】設(shè)每件襯衫的售價為x元。

整理，得x2-170x+7200=0，

解這個方程，得x1=90，x2=80。

因為商場要擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，所以當(dāng)x1=90時，銷售量=20+（100-x）=40；當(dāng)x2=80時，銷售量=20+（100-x）=60，因此，每件襯衫的售價90元不合題意，舍去。

答：每件襯衫的售價為80元。

【點評】一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。檢驗方程的解，不僅要考慮是否適合方程本身，還要考慮是否符合實際意義。