布朗馬達(dá)在周期余弦勢能與線性耦合作用下的隨機共振現(xiàn)象研究

譚康艷，晏 娟，聶 霞

(紅河學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 蒙自 661100)

0 引言

振動動力學(xué)問題具有其復(fù)雜性，許多問題的徹底解決在數(shù)學(xué)和力學(xué)上仍存在一定的難度，因而直到現(xiàn)在仍然有許多問題亟待進行深入研究和解決，這些問題主要包括復(fù)雜非線性振動系統(tǒng)的建模、非線性振動問題的精確求解方法、復(fù)雜非線性結(jié)構(gòu)的解耦和數(shù)值計算及優(yōu)化方法研究等[1]。

隨機共振的概念首先是在1981年由Angelo Vulpoiani、Alfonso Sutera和Roberto Benzi等人研究古氣象冰川問題時提出的[2]，他們把由隨機力和弱周期力激勵而引起地球古氣象大幅度變動的現(xiàn)象稱為“隨機共振”[3]。后期，Nicolis[4]在Benzi等人研究的基礎(chǔ)上，通過模擬第四紀(jì)冰期和暖氣候期，建立了描述氣候長期變化的隨機微分方程。隨機共振概念提出之后不久，Benzi等關(guān)于隨機共振的猜想在實驗中得到了驗證。1983年，F(xiàn)auve和Hesot在Schmitt觸發(fā)器的實驗中，研究噪聲誘導(dǎo)躍遷過程的同步性時首次觀察到了隨機共振現(xiàn)象[5]。在國內(nèi)，關(guān)于振動共振的一個最新研究進展是Yang和Zhu在文獻(xiàn)[6]中首次將分?jǐn)?shù)階阻尼項引入了過阻尼和欠阻尼的Duffing振子中，并研究了分?jǐn)?shù)階阻尼項的分?jǐn)?shù)階數(shù)對振動共振現(xiàn)象的影響。

本研究在Yang等人的基礎(chǔ)上，將分?jǐn)?shù)階加速度項引入傳統(tǒng)的Duffing振子中，討論了由雙頻周期信號引發(fā)的具有分?jǐn)?shù)階加速度項和分?jǐn)?shù)階阻尼項的分?jǐn)?shù)階Duffing動力系統(tǒng)的振動共振現(xiàn)象。

1 周期余弦勢能中的布朗馬達(dá)模型

1.1 周期余弦勢能線性耦合系統(tǒng)模型

由Langevin方程，在研究黏性介質(zhì)中Brown粒子受到的阻尼力時，將其運動狀態(tài)用廣義Langevin方程描述[7]：

其中，xi(t)為第i個粒子的位移，γ(t)為阻尼核函數(shù)，V(xi)為勢函數(shù)，k為耦合系數(shù)，F(xiàn)(t)=A(sinwt+0.5coswt)為粒子所受外力，D為噪聲強度，ξi(t)為零均值高斯白噪聲，滿足漲落耗散定理，即：

〈ξi(t)〉=0,〈ξi(t)ξj(s)〉=δij(t-s)

很多研究表明，粒子運動[8]不具有馬氏性，且距當(dāng)前時刻越近，歷史速度影響越大，據(jù)當(dāng)前時刻越遠(yuǎn)，記憶性越差。因此，本研究在廣義Langevin方程中將阻尼核函數(shù)建模為如下的冪律函數(shù)：

圖1 阻尼核函數(shù)γ(t)Fig.1 Damping kernel function γ(t)

圖1顯示了α取不同值時的阻尼核函數(shù)γ(t)。從圖中可觀察到，γ(t)隨著時間t的推移，冪次逐漸衰減；指數(shù)α越小，γ(t)衰減得越慢，即對歷史速度的記憶性越強；指數(shù)α越大，γ(t)衰減得越快，即對歷史速度的記憶性越弱。可見，指數(shù)α描繪了阻尼記憶的力量。

根據(jù)Caputo的分?jǐn)?shù)演算定義[9]有：

另一方面，根據(jù)Caputo分?jǐn)?shù)階微積分定義[10]有：

其中，F(xiàn)(t)=A(sinwt+0.5coswt)。

1.2 模型說明

這里，為了研究漲落存在時布朗粒子的運輸特性，可通過耦合系統(tǒng)粒子鏈的平均流速來描述粒子的定向輸運。平均流速[9]的表達(dá)式如下所示：

在該公式中，V是一個物理量，反映了布朗粒子的運動趨勢，T為時間，N表示系統(tǒng)中粒子的數(shù)量。

此研究用V(x)來描述勢能，V′(x)是布朗粒子外部勢場所產(chǎn)生的勢場力。本研究采用的棘輪勢為：

V(xi)=d(1-cosxi)

其中，d為勢壘高度。棘輪勢函數(shù)圖像如下：

圖2 棘輪勢函數(shù)V(x)示意圖Fig.2 Schematic diagram of ratchet potential function V(x)

本研究考慮的外力F(t)為周期余弦勢能：

F(t)=A(sinwt+0.5coswt)

其中，A為周期力的幅度，w為周期力的角頻率。

2 數(shù)值仿真與結(jié)果分析

因為本研究的系統(tǒng)模型比較復(fù)雜[9]，在后面數(shù)值模擬時，以兩個粒子組成的耦合系統(tǒng)為例，也就是取粒子數(shù)N=2：

(0<α<1)

(1)

其中,k為耦合強度，V(xi)=d(1-cosx)，F(xiàn)(t)=A(sinwt+0.5coswt)。

為了解釋方程(1)式中所刻畫的分?jǐn)?shù)階非線性耦合粒子的運動，可采用分?jǐn)?shù)階差分法進行數(shù)值模擬仿真。取步長Δt=0.005s，時間Ts=50s，角頻率w=1。

當(dāng)k=0時，在系統(tǒng)為外力作用下單粒子是在棘輪勢中運動；當(dāng)k→∞時，所有粒子都剛性地結(jié)合在一起，系統(tǒng)的動力學(xué)行為與粒子之間的相互作用是不同的，相當(dāng)于在有效勢中單個粒子的運動：

(2)

本研究不討論上面的這種極端情況，重點是討論耦合強度k取某些值和粒子間相互作用時發(fā)生的復(fù)雜定向輸運動。

粒子時刻t受到的阻尼力為：

(3)

系統(tǒng)階數(shù)α越大，即系統(tǒng)的記憶性惡化，核函數(shù)γ(t)衰減越快，這說明以前速度對此刻阻尼力的助力減少，使得阻尼力減弱，此時阻尼力不強，才導(dǎo)致粒子定向輸運速度越快；當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)α降低時，歷史速度有助于當(dāng)前的阻尼力增強，導(dǎo)致粒子定向輸運減速。當(dāng)這種記憶在一定程度上達(dá)到提升時，會使粒子逆轉(zhuǎn)勢壘，形成定向輸運逆流。

2.1 粒子鏈的平均流速v與勢壘高度d的關(guān)系

圖3給出了當(dāng)系統(tǒng)的外力強度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9，噪聲強度為D=0.5時，系統(tǒng)的勢壘高度d與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系。

圖3 當(dāng)系統(tǒng)的外力強度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9， 系統(tǒng)的勢壘高度d與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系圖Fig.3 Relationship diagram of barrier height d and mean flow rate v of particle chain under the system of A=1， A=3，A=5，A=7，A=9 external force intensity

從圖3可以看出，當(dāng)勢壘高度d≠0時，粒子鏈發(fā)生了定向輸運行為，并且伴隨著負(fù)向流。當(dāng)外力強度A<2時，粒子鏈的平均流速v隨著外力F的增大而增加。當(dāng)外力強度A>2時，粒子產(chǎn)生了負(fù)向流，并且粒子鏈平均流速在數(shù)值上隨著外力F的增加而增大。從圖中可以看出，勢壘高度d的增大對粒子鏈的運動有細(xì)微的影響。具體來講，當(dāng)勢壘高度d增加時，粒子鏈的平均流速緩慢增大。當(dāng)外力強度A>2時，粒子鏈平均流速的振幅呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢，即產(chǎn)生廣義隨機共振現(xiàn)象。具體來講，平均流速的振幅在A=7時達(dá)到最大，在37時逐漸減少。

究其原因，由于阻尼力的影響，使粒子鏈運動產(chǎn)生負(fù)向流。阻尼力在很多系統(tǒng)里是方向不定的。在此系統(tǒng)里，外力F的增加促使阻尼力增加，當(dāng)外力增加到一定程度時，阻尼力的作用促使粒子鏈向相反方向運動，從而產(chǎn)生負(fù)向流。一般來講，在沒有外力與耦合力的作用時，粒子鏈?zhǔn)遣粫a(chǎn)生定向輸運的，這是因為在勢阱內(nèi)，粒子鏈?zhǔn)艿阶枘崃εc重力勢能的作用，使得粒子鏈不能突破勢阱的束縛，產(chǎn)生輸運。當(dāng)外力或者耦合力大到一定程度時，粒子鏈克服了勢阱高度與阻尼力的束縛，產(chǎn)生輸運。從圖中可以看到噪聲強度對粒子鏈的運動趨勢沒有起到?jīng)Q定作用，但是它可以加快或減慢粒子鏈的平均流速v。當(dāng)外力強度A>2時，粒子鏈產(chǎn)生廣義隨機共振現(xiàn)象的根本原因是阻尼力，阻尼力大小，方向不定。當(dāng)外力較小時，它對粒子鏈運動影響不大，但是當(dāng)外力增大到一定程度，阻尼力對粒子鏈的運動就有顯著地影響。

圖4給出當(dāng)粒子鏈的系統(tǒng)階數(shù)α=0.1、α=0.3、α=0.5、α=0.7、α=0.9噪聲強度D=0.5，外力強度A=0.5時，系統(tǒng)的勢壘高度d與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系。

圖4 當(dāng)粒子鏈的系統(tǒng)階數(shù)分別為α=0.1、α=0.3、 α=0.5、α=0.7、α=0.9，系統(tǒng)的勢壘高度d 與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系圖Fig.4 Relationship diagram of barrier height d and mean flow rate v of particle chain under the system of α=0.1，α=0.3， α=0.5，α=0.7，α=0.9 system order of particle chain

從圖4可以看出，粒子鏈在勢阱中來回震蕩，沒有定向輸運現(xiàn)象發(fā)生，并且粒子鏈的平均流速隨著系統(tǒng)階數(shù)α的增大而增加?？v觀粒子鏈的走勢圖，發(fā)現(xiàn)粒子鏈的平均流速整體走勢是在-0.045～0.035來回振蕩，且粒子鏈平均流速在0.37

總體來說，在不同的系統(tǒng)階數(shù)下，粒子鏈的在勢阱里面來回震蕩，沒有輸運現(xiàn)象產(chǎn)生，這是因為系統(tǒng)受到的阻尼力大且方向不確定，耦合力、外力對系統(tǒng)的作用無法超過阻尼力對系統(tǒng)的影響，從而使粒子鏈一直在勢阱中來回振動，無法穿過勢阱產(chǎn)生定向輸運行為。由于耦合力、外力、噪聲的作用，粒子鏈沒有靜止在勢阱中，而是在勢阱里面上下震動，產(chǎn)生廣義隨機共振現(xiàn)象。

2.2 粒子的平均流速v與耦合系數(shù)k的關(guān)系

圖5給出了系統(tǒng)的噪聲強度為D=1、D=3、D=5、D=7、D=9，外力強度為F=0.5時，耦合系數(shù)k與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系。

圖5 當(dāng)粒子鏈的噪聲強度為D=1、D=3、D=5、D=7、 D=9，耦合系數(shù)k與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系圖Fig.5 Relationship diagram of coupling coefficient k and mean flow rate v under the system of D=1，D=3，D=5， D=7，D=9 noise intensity of particle chain

從圖5可以看出，當(dāng)耦合系數(shù)00.2時，粒子鏈的平均流速v在-0.06～0.4來回震蕩，且隨著耦合系數(shù)k的增大振幅逐漸減小，沒有發(fā)生輸運行為。從圖中可以看出，噪聲的存在對粒子鏈的運動影響不大。

綜上所述，當(dāng)耦合系數(shù)00.2時，耦合力的增大使得粒子黏合到一起，再加上阻尼力與勢阱的作用，使得粒子鏈在勢阱周圍上下震蕩，粒子鏈無法突破勢阱與阻尼力的束縛，從而不會發(fā)生輸運現(xiàn)象。噪聲的作用很微弱，對粒子鏈的運動幾乎沒有影響。

圖6給出了當(dāng)粒子鏈的外力強度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9，噪聲強度D=1時，耦合系數(shù)k與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系。

圖6當(dāng)粒子鏈的外力強度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9時， 耦合系數(shù)k與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系圖Fig.6 Relationship diagram of coupling coefficient k and mean flow rate v under the system of A=1，A=3，A=5，A=7， A=9 external force intensity of particle chain

從圖6可以看出，粒子鏈發(fā)生定向輸運行為，并伴隨著負(fù)向流的產(chǎn)生。當(dāng)外力強度A<2時，粒子鏈發(fā)生正向輸運現(xiàn)象。當(dāng)外力強度A>2時，粒子鏈產(chǎn)生負(fù)向流。粒子鏈的輸運速度隨著耦合強度k的增大而減小。當(dāng)外力強度A=7時，粒子鏈的運動行為出現(xiàn)了先負(fù)向再正向的現(xiàn)象，從而發(fā)生廣義隨機共振現(xiàn)象。噪聲強度對粒子鏈的運動走勢沒多大影響，但隨著噪聲強度的增加，粒子鏈平均流速的振幅增大。

究其原因，這是因為當(dāng)外力為0時，粒子鏈?zhǔn)茏枘崃εc勢阱的作用，耦合力突破不了勢阱的束縛，所以剛開始沒有產(chǎn)生輸運現(xiàn)象。當(dāng)由于噪聲強度與耦合力不為0，所以粒子鏈在勢阱中來回震蕩。噪聲越大，粒子鏈的能量越大，從而震蕩速度越大。當(dāng)外力不為0時，且小于2時，粒子鏈突破勢阱與阻尼力束縛，產(chǎn)生輸運現(xiàn)象。當(dāng)外力大于2時，由于阻尼力的作用，粒子鏈發(fā)生反向輸運，產(chǎn)生反向流。當(dāng)耦合強度增大時，粒子黏合在一起，故使得粒子鏈運動速度減慢。

2.3 粒子的平均流速v與噪聲強度D的關(guān)系

從圖7給出了當(dāng)耦合強度為k=1、k=3、k=5、k=7、k=9時，噪聲強度D與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系。

圖7 當(dāng)粒子鏈的耦合強度為k=1、k=3、k=5、k=7、k=9時, 噪聲強度D與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系圖Fig.7 Relationship diagram of noise intensity D and mean flow rate v under the system of k=1，k=3，k=5，k=7， k=9 coupling intensity of particle chain

從圖7可以看出，當(dāng)噪聲強度D=0時，粒子鏈沒有發(fā)生輸運。當(dāng)噪聲強度D≠0且k>1時，粒子鏈出現(xiàn)正向輸運行為但隨著噪聲強度的增大振幅逐漸減小。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是因為，噪聲在驅(qū)動粒子進行運動時，無法控制粒子的方向使得粒子鏈速度存在振幅。當(dāng)粒子鏈只受噪聲驅(qū)動時，布朗粒子突破勢壘的束縛，所以粒子在勢壘中發(fā)生定向輸運。當(dāng)耦合系數(shù)k=1時，粒子鏈的振幅最大，但未發(fā)生定向運輸行為。同時我們也可以看到不同的噪聲強度對粒子鏈的運動走勢并沒有很大的影響。產(chǎn)生這種行為的主要原因是當(dāng)耦合系數(shù)k>1時，噪聲強度和外力會突破勢阱和阻尼力的束縛，使得粒子鏈產(chǎn)生定向輸運，此時噪聲強度的變化僅僅是增加了粒子鏈的總能量，致使粒子鏈以一定的振幅來回震蕩，因此粒子鏈未發(fā)生隨機共振現(xiàn)象。

圖8給出了當(dāng)系統(tǒng)的外力強度A=1、A=3、A=5、A=7、A=9時，噪聲強度D與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系。

圖8 當(dāng)粒子鏈外力強度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9時, 噪聲強度D與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系圖Fig.8 Relationship diagram of noise intensity D and mean flow rate v under the system of A=1，A=3，A=5，A=7， A=9 external force intensity of particle chain

從圖8可以看出，當(dāng)噪聲強度D=0時，粒子鏈沒有發(fā)生輸運。當(dāng)噪聲強度D≠0且A>1時，粒子鏈出現(xiàn)負(fù)向輸運行為，但隨著噪聲強度的增大振幅逐漸增大。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是因為，噪聲在驅(qū)動粒子進行運動時，無法控制粒子的方向使得粒子鏈速度存在振幅。當(dāng)粒子鏈只受噪聲驅(qū)動時，布朗粒子突破勢壘的束縛，所以粒子在勢壘中發(fā)生負(fù)向輸運。當(dāng)耦合系數(shù)k=1時，粒子鏈的振幅最大，但未發(fā)生定向運輸行為，同時也可以看到不同的噪聲強度對粒子鏈的運動走勢并沒有很大的影響。產(chǎn)生這種行為的主要原因是當(dāng)耦合系數(shù)k>1時，噪聲強度和外力會突破勢阱和阻尼力的束縛，使得粒子鏈產(chǎn)生定向輸運，此時噪聲強度的變化僅僅是增加了粒子鏈的總能量，致使粒子鏈以一定的振幅來回震蕩，由此可得，粒子鏈未發(fā)生隨機共振現(xiàn)象。

當(dāng)噪聲強度過小或者過大時，噪聲強度的增加對粒子鏈的輸運影響不大，但外力強度的變化可以使粒子鏈改變輸運方向。具體來說，當(dāng)外力強度A=1時，耦合力與外力無法突破勢阱與阻尼力的束縛，所以粒子鏈在勢阱中來回震蕩，沒有產(chǎn)生輸運現(xiàn)象。當(dāng)外力強度A>1時，此時阻尼力較大，但是方向不定。比如A=3時，阻尼力促進粒子鏈的輸運，即阻尼力與外力，耦合力的合力突破勢阱束縛，使粒子鏈發(fā)生輸運行為。這時由于阻尼力方向是負(fù)向，所以粒子鏈產(chǎn)生負(fù)向流。

2.4 結(jié)論

為了讓隨機共振更好地造福人類，鑒于目前的理論研究與實驗依據(jù)，將分?jǐn)?shù)階微積分理論引入布朗馬達(dá)的研究，探討了由分?jǐn)?shù)階Langevin方程刻畫的分?jǐn)?shù)階布朗馬達(dá)。結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分的“記憶性”，探討了布朗粒子在過阻尼分?jǐn)?shù)階布朗馬達(dá)中的運動特性。將系統(tǒng)建模為分?jǐn)?shù)階線性過阻尼Langevin系統(tǒng)模型，利用分?jǐn)?shù)階差分法模擬模型，研究在周期余弦勢能系統(tǒng)中勢阱高度d、耦合系數(shù)k、噪聲強度D對粒子鏈的平均流速v的影響發(fā)現(xiàn)，在某些階數(shù)下，分?jǐn)?shù)階Brown馬達(dá)會出現(xiàn)反向運輸。周期勢場中勢阱高度、耦合力、噪聲強度都能影響粒子的運輸。具體來說，粒子鏈的平均流速會隨著周期外力與勢阱高度的變化而產(chǎn)生廣義隨機共振現(xiàn)象，周期外力和耦合力的改變都可以使粒子鏈產(chǎn)生定向輸運的現(xiàn)象。在系統(tǒng)外力與耦合力不夠大的情況下，噪聲強度的改變對粒子鏈如何運動的影響微乎其微。如果耦合力和系統(tǒng)外力足夠大，那么這兩個因素對粒子鏈的輸運起到的是阻礙作用，在系統(tǒng)階數(shù)適中的情況下，促使粒子鏈定向輸運，耦合力在系統(tǒng)階數(shù)充分大時，才能對粒子鏈的運動行為有顯著的影響。

3 總結(jié)與展望

系統(tǒng)地研究了布朗粒子在周期余弦勢能與線性耦合下布朗粒子的運輸問題及隨機共振現(xiàn)象的發(fā)生。隨機共振理論提出，部分噪聲能量會轉(zhuǎn)化為有用信號的能量，從而使系統(tǒng)輸出信噪比大大提高，即給特定系統(tǒng)加入一定強度的噪聲，不但不會阻礙反而會提高信號檢測的性能，這種“反常效應(yīng)”在微弱信號檢測中具有很大的潛力。隨機共振是一種信號，噪聲和非線性系統(tǒng)之間出現(xiàn)的協(xié)同現(xiàn)象，顛覆了以往人們對噪聲的看法，隨機共振理論為人們在強噪聲背景下微弱信號的檢測方法研究中開創(chuàng)了新的思路。

目前，人們更多的是從物理現(xiàn)象和工程應(yīng)用中去研究隨機共振現(xiàn)象。研究的數(shù)學(xué)模型大體可分為兩類：線性模型和非線性模型。本研究引入分?jǐn)?shù)階微積分來刻畫系統(tǒng)的冪律記憶性，建立了由色噪聲參激和周期調(diào)制噪聲外激聯(lián)合驅(qū)動的分?jǐn)?shù)階線性振子的數(shù)學(xué)模型，即分?jǐn)?shù)階Langevin方程。利用隨機平均法和Laplace變換并結(jié)合Shapiro-Loginov公式，推導(dǎo)得到系統(tǒng)響應(yīng)的一階矩及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅的解析式，并在此基礎(chǔ)上進一步討論了系統(tǒng)階數(shù)、摩擦系數(shù)、周期驅(qū)動力頻率、色噪聲強度和相關(guān)率等參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。研究發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅具有非單調(diào)變化的特點，也即出現(xiàn)廣義隨機共振現(xiàn)象。

對于已研究過的整數(shù)階非線性耦合系統(tǒng)，不管有無外力影響，粒子鏈的定向輸運行為都會受到噪聲和耦合力的影響，而且發(fā)現(xiàn)在周期余弦勢能與線性耦合系統(tǒng)中，在周期外力作用下，系統(tǒng)會對噪聲強度和耦合強度發(fā)生免疫，還能看到更多其他耦合系統(tǒng)不能解釋的動態(tài)現(xiàn)象，這進一步說明研究的周期余弦勢能與線性耦合系統(tǒng)接近現(xiàn)實，更能將其應(yīng)用于現(xiàn)實生活。