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    彈性碰撞次數(shù)與π的關(guān)聯(lián)

    2020-09-17 03:16:10
    物理教師 2020年8期
    關(guān)鍵詞:弧長將式半圓

    張 偉

    (重慶市萬州高級中學(xué),重慶 404120)

    1 題目

    圖1

    如圖1所示,在光滑水平面上,有一質(zhì)量為M的小球A向墻運動,速度為v,A和墻之間的連線上停著另一個質(zhì)量為m的小球B.假設(shè)A與B,B與墻之間的碰撞均為完全彈性碰撞,兩物體可以看成質(zhì)點.顯然當(dāng)兩個球質(zhì)量相等時,A碰上B,A停下來,B繼續(xù)運動,B碰到墻再返回碰A.A與B、B與墻之間一共發(fā)生了3次碰撞.

    如果M>m,那么小球A碰完小球B之后還會繼續(xù)向墻運動,總共的碰撞次數(shù)可能會大于3.實際上,

    當(dāng)M=104m時,共碰撞314次;

    當(dāng)M=106m時,共碰撞3141次;

    當(dāng)M=108m時,共碰撞31415次.

    隨著A和B質(zhì)量之比的增大,總共的碰撞次數(shù)會和圓周率的數(shù)值有關(guān).如何解釋這個關(guān)系?

    2 推導(dǎo)分析

    設(shè)第i次小球B與小球A碰撞后,小球B的速度為ui,小球A的速度為vi,由機械能守恒

    (1)

    由數(shù)學(xué)知識可知,當(dāng)x2+y2=C(C為常數(shù)),滿足該方程的點(x,y)在平面直角坐標(biāo)系中為組成了一個圓.

    設(shè)M=Nm,代入(1)式,得

    (2)

    將式(2)化簡,得

    (3)

    在最開始的時候,即小球A與B第一次碰撞之前,A的速度為v,B的速度為0,在圖3中用點a(v,0)來表示該狀態(tài).不妨設(shè)以向左為正方向.

    圖2 式(3)直角坐標(biāo)系下的圓

    圖3 用點在圓中表示每次碰撞

    上述過程可以重復(fù)下去,直到ui≤vi時為止.此時,兩個滑塊都向右運動,B塊追不上A,于是不會再發(fā)生碰撞.把所有的點依次用直線連接起來,如圖3.

    考慮A與B碰撞過程中動量守恒,假設(shè)兩個小球由于碰撞前從相向而行(如圖4甲)到碰撞后同向而行(如圖4乙),則

    圖4

    Nmvi-mui=Nmvi+1+mui+1.

    (4)

    將式(2)兩邊同時除以v2,得

    (5)

    (6)

    (7)

    由和差化積公式

    代入式(7),得

    (8)

    化簡得

    (9)

    同理可得,在圖5中的上半圓與下半圓每個兩點之間的弧長都是定值.由式(9),可得

    (10)

    (11)

    圖5中上半圓中所有兩點之間的弧長個數(shù)表示A與B碰撞的次數(shù), 圖5中下半圓中所有兩點之間的弧長個數(shù)表示B與墻碰撞的次數(shù),則B與A,B與墻之間的碰撞次數(shù)k,

    圖5 在“圖3”所示的圓中表示α與β

    (12)

    其中[ ]表示取整.

    至此,問題得解.

    3 結(jié)束語

    通過能量守恒和動量守恒,采用圓方程和三角函數(shù)的數(shù)學(xué)手段,解釋了小球間、小球與墻之間的彈性碰撞次數(shù)與π的關(guān)聯(lián).在物理競賽教學(xué)中多和學(xué)生進(jìn)行這樣的分析討論,無論對于提升學(xué)生的理論水平、分析能力,還是對于提升學(xué)生物理學(xué)習(xí)的興趣,都能起到較大的推動作用.

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