滲透數(shù)學(xué)思想提高數(shù)學(xué)能力

郝建玲

摘要：數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)提煉升華的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，是數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過情境的分析、概念的形成、結(jié)論的推導(dǎo)、知識(shí)的應(yīng)用來逐步滲透數(shù)學(xué)思想，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)可持續(xù)發(fā)展且具關(guān)鍵能力的高素質(zhì)人才。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) ?數(shù)學(xué)思想 ?數(shù)學(xué)能力 ?教學(xué)滲透

數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)是發(fā)展學(xué)生“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)），提高學(xué)生“四能”（發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力），培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析），促進(jìn)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界。

問題是數(shù)學(xué)的心臟。作為解題靈魂的數(shù)學(xué)思想，是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)提煉升華的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，是數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想。因此數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與歸納、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、函數(shù)與方程、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想尤為重要。只有學(xué)生具備了這些數(shù)學(xué)思想，才能有效地發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如何通過數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的傳授，滲透數(shù)學(xué)思想，形成學(xué)生基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，一直是一線老師思考的問題。下面本人結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约簩?duì)幾種數(shù)學(xué)思想滲透的想法與做法，供大家參考。

一、滲透轉(zhuǎn)化與歸納思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，常常會(huì)遇到一些常規(guī)解法無法解決的問題，這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生用轉(zhuǎn)化的思維看問題，使要解決的問題化難為易，或變未知為已知，或把數(shù)學(xué)某一分支中的問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)分支中的問題，最終獲得原題的解決，即不斷地變更數(shù)學(xué)問題的形式或方向，化難為易，化生為熟，化繁為簡(jiǎn)，這就是轉(zhuǎn)化與歸納的數(shù)學(xué)思想。

比如方程問題，我們經(jīng)常運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，通過利用多個(gè)未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，將方程用其中一個(gè)未知數(shù)來表示，再利用通分、消元或換元等手段將方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的一元方程，即多元化一元，從而得到方程的解。

再如，已知x2=y3=z0.5，求x+3y-z2x-y+z的值。針對(duì)這一問題，教學(xué)中我讓學(xué)生先找出x，y，z這三個(gè)未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。其中一位學(xué)生是這樣梳理解題思路的：由x2=y3=z0.5可以將x和y轉(zhuǎn)化為與z相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，即x=4z，y=6z。由此x+3y-z=4z+18z-z=21z，2x-y+z=8z-6z+z=3z。這樣，x+3y-z2x-y+z=21z3z=7。還有學(xué)生將x、z轉(zhuǎn)化為y，或?qū)、z轉(zhuǎn)化為x。我問學(xué)生為什么要這樣做？學(xué)生知其然，不知其所然。我說這類問題的解決本質(zhì)還是將多元計(jì)算問題，通過消元，轉(zhuǎn)化為一元計(jì)算問題來解決，這就是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化與歸納的數(shù)學(xué)思想。

轉(zhuǎn)化與歸納的思想，可以說無處不在，但在轉(zhuǎn)化的過程中，我們要用到一些手段與方法，如換元法、消元法、數(shù)列結(jié)合法、構(gòu)造法、設(shè)參法、特殊法，拆分與整合等等，目的就是一個(gè)把難以解決的問題變成一個(gè)易于解決的問題。

二、滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)直觀能力

數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。在初中解題教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些難以解決的問題，需要“以形助數(shù)”或“以數(shù)輔形”，即要借助于形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，以形作為手段，數(shù)作為目的，或借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，以數(shù)作為手段，形作為目的。

比如我們可以利用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的最小值等性質(zhì)問題，通過方程的解來研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。這種思想很好地將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的互化，從而解決抽象的或復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，通過分析其代數(shù)意義，揭示其幾何直觀，使數(shù)量的精準(zhǔn)刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，來尋找解題思路。數(shù)形結(jié)合常見的方法是轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法、分離變量法等等。

三、滲透分類與整合思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯能力

分類與整合思想方法就是當(dāng)被研究的問題包含了多種情況時(shí)，就必須抓住問題發(fā)展方向的主要因素，在其變化范圍內(nèi)，根據(jù)問題的不同發(fā)展方向分別研究的思想方法。它具有層次性和概括性，是讓學(xué)生根據(jù)研究對(duì)象的異同進(jìn)行有效區(qū)分，找出研究對(duì)象的共同點(diǎn)和差異性，克服思維的片面性。

比如，在解決含參數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題，經(jīng)常通過對(duì)影響函數(shù)圖象和性質(zhì)的參數(shù)的取值范圍的不同進(jìn)行分類。例如，對(duì)二次函數(shù)的研究時(shí)，若二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，一般對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分正負(fù)兩類討論，因?yàn)樗鼪Q定了二次函數(shù)圖象的開口方向，乃至影響著此函數(shù)的最值、單調(diào)性等性質(zhì)。當(dāng)然，研究的基本途徑是“分”，但在分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起。

利用分類與整合數(shù)學(xué)思想解決問題的關(guān)鍵是以誰為討論對(duì)象、討論的標(biāo)準(zhǔn)是什么、分幾類討論。要做到層次分明，不重不漏。分類討論常用的方法是化整為零、積零為整、構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合、分離變量法等等。

四、滲透數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)建模思想的本質(zhì)就是將生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，將看似抽象的實(shí)際問題“抽絲剝繭”轉(zhuǎn)化為具體可解決的數(shù)學(xué)模型。為了有效應(yīng)用這一數(shù)學(xué)思想，教師可以在教學(xué)中以生產(chǎn)、生活中大家普遍關(guān)心的焦點(diǎn)問題、熱點(diǎn)問題為背景營造建模氛圍，創(chuàng)設(shè)多元化情境來激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣，以此來完成知識(shí)建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用能力提升。

比如，上海市政府為了推動(dòng)大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新，決定投入資金扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目。大學(xué)生張宏光畢業(yè)后，申請(qǐng)了扶持資金開始創(chuàng)業(yè)生涯。他的創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目是進(jìn)價(jià)為200元的“人臉識(shí)別打卡機(jī)”，在推廣與銷售期間，每個(gè)月的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可以是近似為函數(shù)y=-100x+5000。如果假設(shè)張同學(xué)每個(gè)月的利潤是S元，那么你能求出單價(jià)設(shè)置為多少時(shí)，他才能實(shí)現(xiàn)月利潤的最大值嗎？仔細(xì)分析這道題，其實(shí)是對(duì)二次函數(shù)的最值求解問題。教師在教學(xué)中可以引領(lǐng)學(xué)生先閱讀理解本題材料，再利用既有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)從這道應(yīng)用題中找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型：月利潤S=（-100x+5000）（x-200），最后在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的前提下解答數(shù)學(xué)問題，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效轉(zhuǎn)化，解決實(shí)際問題。

數(shù)學(xué)建模的思想是在理解社會(huì)實(shí)際和學(xué)生的真實(shí)生活問題情景的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，建立合適的數(shù)學(xué)模型，如方程、函數(shù)、不等式，然后通過數(shù)學(xué)問題的解決，從而解決實(shí)際問題，這就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的，學(xué)會(huì)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題，進(jìn)一步為生活、生產(chǎn)實(shí)踐服務(wù)。

綜上所述，數(shù)學(xué)問題解決的背后蘊(yùn)含的思想方法具有高度的概括性、深刻性、內(nèi)隱性、層次性、發(fā)展性、遷移性、啟發(fā)性和廣泛性，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想能培養(yǎng)和提高學(xué)生在面對(duì)與學(xué)科相關(guān)的生活實(shí)踐或探索問題情境時(shí)，有效地發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析和解決問題所必須具備的關(guān)鍵能力，為支撐學(xué)生終身發(fā)展和適應(yīng)時(shí)代需求，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)、培育核心價(jià)值建立知識(shí)基礎(chǔ)和能力保證。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017：4-5.

[2]馬文杰，徐莉芳.論數(shù)學(xué)思想方法的基本特征[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2017（12）：2-5.