發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在解決數(shù)學(xué)問題中的作用

謝愛菊

摘?要：數(shù)學(xué)模型是解決同類問題的法寶，能從常規(guī)問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型。K字型全等模型的應(yīng)用及構(gòu)造。十字架模型的構(gòu)造及應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;K字型全等（相似）型;正方形中“十字架模型”;矩形中“十字架模型”

隨著中考的臨近，很多同學(xué)在做著大量的模擬題，以提高適應(yīng)中考題型的能力，爭(zhēng)取考一個(gè)優(yōu)異的成績(jī)，考上自己心儀的學(xué)校。這里我總結(jié)了兩類數(shù)學(xué)模型，期望對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考起到做一道會(huì)一類，讓同學(xué)們從題海里跳出來，真正提高數(shù)學(xué)成績(jī)的作用。

一、K字型全等。

條件：∠B=∠ACE=∠D=90°，AC=CE;

結(jié)論：△ABC≌△CDE

適用條件：等腰直角三角形，兩條線段垂直且相等（或一條線段旋轉(zhuǎn)90°），出現(xiàn)45°

例1、如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接DG，過點(diǎn)A作AH∥DG，交BG于點(diǎn)H.連接HF，AF，其中AF交EC于點(diǎn)M.

求證：△AHF為等腰直角三角形.

分析：要證△AHF為等腰直角三角形，只要證明△ABH≌△CGF，可以先證出四邊形AHGD為平行四邊形，證得AB=HG，BH=GF，再加上∠B=∠HGF=90°，可以證明△ABH≌△HGF。

例2、如圖，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP=90°，點(diǎn)A在第四象限，點(diǎn)P坐標(biāo)為（8，0），拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O和A、P兩點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

（2）點(diǎn)B是y軸正半軸上一點(diǎn)，連接AB，過點(diǎn)B作AB的垂線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，且BC=AB，求點(diǎn)B坐標(biāo);

分析：（1）先根據(jù)△OAP是等腰直角三角形，∠OAP=90°，點(diǎn)P坐標(biāo)為（8，0），

得點(diǎn)A（4，﹣4），利用頂點(diǎn)式求得拋物線的表達(dá)式為：y=x2﹣2x;

（2）設(shè)點(diǎn)B（0，m），過點(diǎn)C作CH⊥y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AQ⊥y軸于點(diǎn)Q，則有△CHB≌△BQA（AAS），

∴AQ=BH=4，CH=BQ=4+m，故點(diǎn)C（m+4，m+4），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式拋物線的表達(dá)式并解得：m=8，m=﹣4（舍去）

故點(diǎn)B（0，8）。

例3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-1的圖象分別交x，y軸于點(diǎn)A，B，將直線AB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C，求直線BC的函數(shù)達(dá)式。

分析：本題的題點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)45°，把45°放在等腰直角三角形中構(gòu)造K字型全等模型，可以過點(diǎn)A作AB的垂線交BC于點(diǎn)F，再由點(diǎn)F作FE垂直x軸于點(diǎn)E，則K字型全等模型構(gòu)造成功。求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可求直線BC的函數(shù)表達(dá)式。

二、十字架模型

（一）正方形中“十字架模型”結(jié)論：

在正方形的對(duì)邊分別取點(diǎn)并相連，所得兩條線段

①垂直，則相等;②若相等，則垂直。

例4 如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，求線段MN的長(zhǎng)。

分析：本題先連接DE，根據(jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，則有DE⊥MN，就會(huì)有DE=MN，求出DE的長(zhǎng)即可。DE在直角三角形DEC中利用勾股定理可求。

（二）矩形中“十字架模型”結(jié)論

在矩形ABCD中對(duì)邊分別取點(diǎn)并相連，所得兩條線段EG⊥FH，

結(jié)論為：EG/HF=AD/AB

例5 如圖，矩形ABCD由兩個(gè)全等的正方形組成，點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH=90°，EF=4，則GH 的長(zhǎng)為多少？

分析：本題為矩形中十字架模型，因?yàn)椤螰OH=90°，所以有GH/EF=AB/AD=2，GH=2EF=8

參考文獻(xiàn)：

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[2]陳瑩.數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用數(shù)學(xué)的結(jié)合探析[J].智能城市，2017，003（005）：130，132.