利用“將軍飲馬”解決線段最值問題

賀建偉

“將軍飲馬”模型是解決線段和的最小值，線段差的最大值問題的經(jīng)典模型，也是陜西中考14題，25題的?？碱}型。解決此類問題的關(guān)鍵是要理解知識背景及解題思路和策略！

類型一：兩定點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)求兩線段和的最小值

問題1：在定直線L上找一點(diǎn)P，使得P到定點(diǎn)A，B的距離之和最小，即AP+BP的最小值。

結(jié)論：當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)（即點(diǎn)P為線段AB與直線的交點(diǎn)時(shí)），AP+BP有最小值為線段AB的長！

證明：在L上任意取一點(diǎn)P（不與P重合），連接AP BP，在三角形ABP中有AP+BP>AB。所以當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)AP+BP有最小值為AB的長！

類型二：兩定點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)求兩線段和的最小值

問題2：在定直線L上找一點(diǎn)P，使得P到定點(diǎn)A，B的距離之和最小，即AP+BP的最小值。

結(jié)論：作A或者B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A或B，再連接AB或者AB為AP+BP的最小值！

依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短、三角形任意兩邊之和大于第三邊！

類型三：兩定點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)求兩線段差的最大值

問題3：在定直線L上找一點(diǎn)P，使P到A，B的距離之差最大，即AP-BP絕對值的最大值。

結(jié)論：當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)（即點(diǎn)P為線段BA的延長線與直線的交點(diǎn)時(shí)）AP-BP的絕對值有最大值為AB的長。

證明：在L上任意取一點(diǎn)P（不與P重合），連接AP? BP 在三角形ABP中AP-BP的絕對值小于AB。所以AP-BP絕對值的最大值為AB的長！

類型四：兩定點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)求兩線段差的最大值

結(jié)論：作A或者B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化為類型三即可得出AP-BP絕對值的最大值！

模型應(yīng)用：例1：如圖：在邊長為2的菱形ABCD中，角DAB=60，E是AB邊上的一點(diǎn)，且AE=1，點(diǎn)Q為對角線AC上的動點(diǎn)

解析：（1）求三角形BEQ周長的最小值

例2：如圖：在銳角三角形中，AB=4，角BAC=45，角BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值。

解析：作B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B，則BM+MN=BM+MN。所以當(dāng)B、M、N共線且與AB垂直時(shí)BM+MN有最小值為BN的長！