平面向量中兩個共線定理的運用

【中圖分類號】O181 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）07-0263-02

先看一道例題：

例1：如圖，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動點，且P、G、Q三點共線.設(shè)OP=xOA，OQ=yOB，則1x+1y=

這是平面向量里面非常經(jīng)典的一道題目，類似的題目也很多。有很多同學(xué)看到這類題目卻一頭霧水，無從下手，即使上課聽老師講了，課后自己去做還是東湊西拼，找不到思路。我們先來回顧一下兩個定理：

一、平面向量共線定理

向量a（a≠0）與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.

二、平面向量三點共線定理

在平面中A、B、P三點共線的充要條件是：對于該平面內(nèi)任意一點的O，存在唯一的

一對實數(shù)x，y使得：OP=xOA+yOB且x+y=1.

分析：例1考查的就是平面向量共線定理的應(yīng)用。所以解決問題的關(guān)鍵是要找出圖中的“共線”關(guān)系，并進行線性表示。一般分為三步：第一步由OM與PQ相交于G，確定兩個共線關(guān)系，即：OG和OM共線，PG和PQ共線.第二步利用平面向量共線定理，從“兩個方面”分別表示出OG，第三步利用平面向量基本定理的唯一性，列出方程組，求出有關(guān)參數(shù)。

解：一方面∵OG和OM共線，且G是△OAB的重心，

∴OG=23OM=23×12（OA+OB）=13OA+13OB.

另一方面∵PG和PQ共線，可設(shè)PG=λPQ

∴OG=OP+PG=OP+λPQ=OP+λ（OQ-OP），

=（1-λ）OP+λOG=（1-λ）xOA+λyOB

又OA，OB不共線，利用平面向量基本定理的唯一性得：

在書寫格式上，可以采用，便于抓住思路，敘述條理清晰。

反思上面的解法，向量PG和PQ共線，即G、P、Q三點共線，那我們還可以嘗試用平面向量三點共線定理來做，請看以下解答：

又解：∵G是△ABC的重心，

∴OG=23OM=13OA+13OB=13·1xOP+13·1yOQ

=13xOP+13yOQ.

又G、P、Q三點共線，由平面向量三點共線定理知，系數(shù)和13x+13y=1.

從而得1x+1y=3.

怎么樣，把上面兩個定理同時運用，解答過程是不是變得非常簡單了？！

其中用平面向量三點共線定理解題的關(guān)鍵是，其中一個向量要用另外兩個終點共線的向量線性表示。此題中即：向量OG轉(zhuǎn)化為用OP和OQ表示.

例2：在△ABC中，點P是AB上的一點，BP=2PA，Q是BC的中點，AQ與CP交于點M，且，求t的值.

分析：抓住AM〗共線，用平面向量共線定理解決。

解法一：一方面

解法二：兩個定理同時運用

解：∵

∴A、M、Q三點共線，∴

怎么樣，解法二兩個定理同時運用是不是讓你很驚喜，夠簡單吧！

下面我們就用這個簡單的方法再做一題。

例3：如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是AB、AD上的點，AM=45AB，

AN=23AD，連接AC、MN交于點P.若AP=λAC，求λ的值.

分析：由題意，抓住P、M、D三點共線，AP用AM和AD來表示.

解：由AP=λAC及平行四邊形法則知：

AP=λ（AB+AD）=λ（54AM+32AD）=54λAM+32λAD.

∵P、M、D三點共線，∴54λ+32λ=1，求得λ=411.

作者簡介：王磊，男，漢族，籍貫浙江蘭溪，中學(xué)二級，大學(xué)本科，延安大學(xué)畢業(yè)。