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    特殊差分方程的求解

    2020-09-14 07:41:40孫建新
    關(guān)鍵詞:差分參考文獻(xiàn)定理

    孫建新

    (紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系,浙江 紹興 312000)

    0 引言

    眾所周知,一般常微分方程的教材[1]都考慮可微函數(shù)的常微分方程的求解,并且貝努里微分方程、恰當(dāng)微分方程以及存在恰當(dāng)因子的微分方程是三類常見(jiàn)的可以求解的特殊微分方程.但是隨著計(jì)算機(jī)信息時(shí)代的來(lái)臨,人們遇到的大量問(wèn)題是離散型的.微分方程只能提供離散問(wèn)題的近似解,人們需要更多地考慮差分方程的求解.本文提供的方法,就是為差分方程的求解提供若干類型與解法,并且作為應(yīng)用,舉出了幾個(gè)典型的實(shí)例.

    本文所定義的三類差分方程,除了可以直接“和分[2]”求解的差分方程以外,是最具有代表性的三類差分方程,其地位與常微分方程中的貝努里方程、恰當(dāng)微分方程與存在恰當(dāng)因子的微分方程相當(dāng),而且新差分方程的命名參考了相應(yīng)的微分方程,所以研究他們很有必要.

    普通冪的高階差分公式非常復(fù)雜,而階乘冪的高階差分公式卻很簡(jiǎn)單,這就是“階乘冪方法”具有優(yōu)越性的根本原因.本文是在研究階乘冪特別是在研究一般齊次[3]與非齊次差分方程[4]的基礎(chǔ)上,來(lái)研究特殊差分方程的求解的.由于對(duì)階乘冪的研究中,我們已經(jīng)得到許多有關(guān)離散數(shù)據(jù)特別是階乘冪以及高階差分的許多性質(zhì)[5],所以在敘述特殊差分方程的求解時(shí),有關(guān)的性質(zhì)不再加以解釋,想了解這些性質(zhì)的讀者可以查文末提供的參考文獻(xiàn).

    1 主要結(jié)果

    下面先給出三類特殊差分方程的定義與定理.

    定義1.1 所謂貝努里(Bernoulli)差分方程是指

    或者

    定理1.2 貝努里差分方程的解為

    證明 當(dāng)k-1時(shí),-k≥1,方程兩邊乘以即得

    △yn+p·yn=q.

    其通解為[4]

    yn=(1-p)n+qn+c.

    由此可得

    △yn+p·yn=q.

    其通解為[4]

    yn=(1-p)n+qn+c.

    由此可得

    定義1.3 所謂恰當(dāng)差分方程是

    M(n+1)△xn+N(n)xn=0

    并且滿足條件△M(n)=N(n),其等價(jià)條件為M(n+1)=N(n).

    定理1.4 恰當(dāng)差分方程的解為

    證明 由△M(n)=N(n),則原方程可化為

    M(n+1)△xn+xn△M(n)=0.

    注意到積的差分公式為△{M(n)N(n)}=M(n+1)△N(n)+N(n)△M(n).即有

    △{M(n)xn}=0.

    于是

    M(n)xn=c.

    整理即得

    定義1.5 對(duì)于原差分方程

    M(n+1)△xn+xnN(n)=0.

    定理1.6 如果μn為原差分方程的恰當(dāng)因子,則原差分方程的解為

    μnM(n+1)△xn+xn{μnM(n+1)}=0.

    μnM(n+1)△xn+xn△{μn-1M(n)}=0.

    E{μn-1M(n)}△xn+xn△{μn-1M(n)}=0,

    △{μn-1M(n)xn}=0,

    μn-1M(n)xn=c.

    整理即得

    2 應(yīng)用

    下面作為定理1.2、1.4、1.6的應(yīng)用,舉一些具體的實(shí)例.

    解 這是k<0時(shí)的貝努里差分方程,其中k=-1,p=-1,q=2.可以直接使用定理1.2的公式得到解.

    公式不熟,可以逐步推導(dǎo):先兩邊同乘以xn,可得

    △yn-yn=2.

    解得

    即xn=(2n+2n+c)1/2.

    解 這是k>1時(shí)的貝努里差分方程,其中k=3,p=2,q=-1.可以直接使用定理1.2的公式得到解.

    △yn+2yn=-1.

    于是由參考文獻(xiàn)[2]可得

    解得

    xn={(-1)n-n+c}-1/2

    例2.3 求解如下的差分方程:(n+1)2△xn+(2n+1)xn=0.

    解記M(n+1)=(n+1)2,N(n)=2n+1,則M(n)=n2.顯然滿足△M(n)=N(n),可見(jiàn)是恰當(dāng)差分方程.由積的差分公式可得

    △(n2xn)=0.

    于是有

    n2xn=c.

    解得

    例2.4 求解如下的差分方程:

    (n+1)△xn+3xn=0.

    解 記M(n+1)=n+1,N(n)=3,則M(n)=n.顯然不滿足△M(n)=N(n),可見(jiàn)不是恰當(dāng)差分方程.但是存在μn=n!2=n(n-1),此時(shí)μnM(n+1)=n!2(n+1)=(n+1)!3,μnN(n)=3n!2.顯然滿足

    即△(μn-1M(n))=△(n!3)=3n!2=μnN(n).可見(jiàn)μn=n!2是恰當(dāng)因子.于是,

    △{μn-1M(n)xn}=△{(n-1)!2nxn}=

    △{n!3xn}=0.

    即有

    n!3xn=c.

    解得

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