形成過程 自然生長(zhǎng) 提升素養(yǎng)

顧丹丹

[摘? 要] 概念教學(xué)的關(guān)鍵是通過問題情境，讓學(xué)生歸納、抽象出此概念的本質(zhì)屬性，并在此過程中讓學(xué)生感受概念的自然生長(zhǎng)過程，感悟建立和研究這個(gè)概念的必要性和必然性.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);概念教學(xué);過程;生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)概念是思維的基本形式，是數(shù)學(xué)邏輯的起點(diǎn)，同時(shí)數(shù)學(xué)概念也是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，更是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心. 但是我們發(fā)現(xiàn)，在實(shí)際教學(xué)中，大部分教師由于各種原因并沒有把概念教學(xué)放在它應(yīng)有的位置上，通常是“兩個(gè)例子、一個(gè)概念、六項(xiàng)注意”，然后做各種練習(xí)加以鞏固. 這樣的概念教學(xué)，不僅會(huì)造成學(xué)生認(rèn)知上的障礙，而且丟失了數(shù)學(xué)概念的教學(xué)功能，忽視了概念教學(xué)的育人價(jià)值，更不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) [1]. 那么，怎么才能體現(xiàn)概念教學(xué)的教學(xué)價(jià)值和育人價(jià)值，讓概念教學(xué)自然生長(zhǎng)，讓核心素養(yǎng)切實(shí)得到落實(shí)呢？這還需要從數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)上去認(rèn)識(shí)和理解.

函數(shù)概念教學(xué)是“屬性下的概念教學(xué)”，屬性是某一對(duì)象固有，不以人的意志為轉(zhuǎn)移的，那么就只能在人們認(rèn)識(shí)的世界中去發(fā)現(xiàn). 發(fā)現(xiàn)主要是揭示未知事物的存在及屬性，所以屬性下的概念教學(xué)的關(guān)鍵是通過問題情境，讓學(xué)生歸納、抽象出概念的本質(zhì)屬性，并在此過程中，讓學(xué)生感受概念的自然生長(zhǎng)過程，感悟建立和研究這個(gè)概念的必要性和必然性，這就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要目標(biāo). 下面以“二次函數(shù)”為例，闡述如何基于核心素養(yǎng)讓概念教學(xué)自然地生長(zhǎng).

教材內(nèi)容解析

二次函數(shù)是繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后的又一種重要的函數(shù)，本課時(shí)延續(xù)之前研究一次函數(shù)和反比例函數(shù)的基本思路，仍然從學(xué)生熟悉的簡(jiǎn)單實(shí)際問題出發(fā)，建立二次函數(shù)的概念，感受二次函數(shù)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系.

在這之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程、一次函數(shù)和反比例函數(shù)等知識(shí)，他們?cè)诟惺艿缴钪写嬖诙鄻踊臄?shù)學(xué)模型后，已經(jīng)能初步建立方程模型、一次函數(shù)模型和反比例函數(shù)模型進(jìn)行實(shí)際問題的分析與解決. 教材對(duì)二次函數(shù)的處理基本上沿襲了前面函數(shù)類型問題的探究模式. 這樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)決定了它的教育價(jià)值：（1）傳承一次函數(shù)和反比例函數(shù)的研究方式;（2）固化研究方式，用一以貫之的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容;（3）在經(jīng)歷實(shí)際問題的分析和變量探究的過程中，感悟?qū)嶋H問題的數(shù)學(xué)化模型是多樣的;（4）學(xué)會(huì)遷移、拓展學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能夠建立同“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”一致的學(xué)習(xí)方向和方法，自主架構(gòu)函數(shù)學(xué)習(xí)的知識(shí)體系.

同時(shí)，在探究二次函數(shù)的概念的過程中，還要滲透類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、抽象能力. 正因如此，二次函數(shù)概念的教學(xué)要通過不斷地抽象模型來歸納和體會(huì)二次函數(shù)概念的本質(zhì)，關(guān)注函數(shù)概念的自然生長(zhǎng)，深度挖掘其潛在的育人價(jià)值，落實(shí)核心素養(yǎng).

課例設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

問題1：函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是描述兩個(gè)變量關(guān)系的重要模型，那你還記得什么是函數(shù)嗎？

問題2：下面的幾個(gè)變化過程（略）中的兩個(gè)變量之間有什么關(guān)系？你能分別用一個(gè)式子來表示嗎？

設(shè)計(jì)意圖? 建立二次函數(shù)的概念時(shí)，教師要先給例子. 本節(jié)課仍然從學(xué)生熟悉的簡(jiǎn)單問題出發(fā)，建立二次函數(shù)的概念，特別是教材中的水滴激起波紋和圈養(yǎng)小兔的問題，體現(xiàn)了生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系. 這些例子是學(xué)生經(jīng)歷過的、熟悉的，是能直面二次函數(shù)概念屬性的問題. 筆者所給的例子也包含學(xué)生已經(jīng)掌握的一次函數(shù)和反比例函數(shù)知識(shí)，一方面是回顧舊知，另一方面是為歸納二次函數(shù)的概念做鋪墊.

2. 歸納抽象，深化概念

問題1：除了第一個(gè)式子已經(jīng)判斷了是函數(shù)，那么剩下的式子表示的是函數(shù)嗎？這些函數(shù)里面有沒有你認(rèn)識(shí)的？

問題2：觀察剩下的三個(gè)函數(shù)，它們有什么共同特征？能不能像一次函數(shù)和反比例函數(shù)那樣用一個(gè)式子來概括這個(gè)特征？

設(shè)計(jì)意圖? 讓學(xué)生歸納剩下的三個(gè)函數(shù)的共同特征，是為了剖析二次函數(shù)概念的要素和本質(zhì)，讓二次函數(shù)概念的本質(zhì)屬性從實(shí)例中分離出來，變成大家公認(rèn)的“形式化”的條件. 此時(shí)，二次函數(shù)的本質(zhì)在學(xué)生面前暴露無遺，教師順勢(shì)讓學(xué)生給這樣的函數(shù)下定義和起名字，也不是什么難事.

3. 感知實(shí)例，辨析概念

對(duì)二次函數(shù)的概念進(jìn)行再辨析，進(jìn)一步認(rèn)清二次函數(shù)概念的本質(zhì). 這個(gè)過程能讓學(xué)生比較熟練地認(rèn)識(shí)和辨析二次函數(shù)同其他函數(shù)關(guān)系式的區(qū)別，能知道一般形式下y=ax2+bx+c中對(duì)a的要求，并且辨析出所表示的關(guān)系式是否為二次函數(shù)的一般形式.

4. 靈活運(yùn)用，鞏固概念

【活動(dòng)1：“變身”問題】

問題1：除了要會(huì)判斷二次函數(shù)，我們還要能夠從具體的情境中抽象出二次函數(shù)模型. 比如這個(gè)銷售問題（略），你還記得這個(gè)一元二次方程是怎么列出來的嗎？

問題2：那你能把這個(gè)一元二次方程“變身”為二次函數(shù)嗎？你是怎樣想到這樣來“變身”的？

設(shè)計(jì)意圖? 這個(gè)問題是一元二次方程學(xué)習(xí)中比較典型的“銷售類型”問題，設(shè)置這個(gè)問題主要是為了考查學(xué)生建立一元二次方程數(shù)量關(guān)系分析問題的能力，了解學(xué)生能否完成從實(shí)際問題到方程模型這一數(shù)學(xué)化認(rèn)識(shí)的過程. 接著，通過“變身”說法引導(dǎo)學(xué)生將原方程中的定量設(shè)為變量，由定到變考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)和對(duì)方程與函數(shù)關(guān)系的理解.

【活動(dòng)2：開放問題】

問題：從上述“變身”的問題中我們發(fā)現(xiàn)，一元二次方程和二次函數(shù)之間可以互相轉(zhuǎn)化. 那么，關(guān)于一元二次方程還有很多具體的實(shí)例，你能順著這個(gè)思路去回憶，并舉出一個(gè)關(guān)于x和y的二次函數(shù)問題，說明x，y的意義并寫出函數(shù)關(guān)系式嗎（小組合作，一人寫出一個(gè)例子）？

設(shè)計(jì)意圖? 開放的設(shè)計(jì)提醒學(xué)生拓展思路，結(jié)合本題舉例或者在學(xué)習(xí)過的一元二次方程實(shí)際問題上進(jìn)行“變身舉例”. 而寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式則是考查學(xué)生能否初步從自己所舉的例子中正確建立函數(shù)模型.

【活動(dòng)3：回歸生活】

問題：通過大家的舉例，說明實(shí)際生活中這樣的例子有很多. 剛才，我們是從實(shí)際的問題中抽象出二次函數(shù)模型，現(xiàn)在反過來，如果我給你一個(gè)二次函數(shù)模型，你能給它賦予一定的實(shí)際意義嗎？請(qǐng)大家試試看！

設(shè)計(jì)意圖? 提供一個(gè)二次函數(shù)，讓學(xué)生給它賦予實(shí)際意義，這個(gè)設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生的要求更高. 這一設(shè)計(jì)要求學(xué)生充分發(fā)揮想象，親身經(jīng)歷將函數(shù)模型回歸成實(shí)際問題的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活又高于生活. 同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和思考生活，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí).

5. 類比遷移，展望概念

問題1：通過今天的學(xué)習(xí)，你對(duì)二次函數(shù)有什么體會(huì)呢？

問題2：知道了二次函數(shù)的概念以后，接下來我們還可以從哪些方面去認(rèn)識(shí)二次函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖? 展望是考查學(xué)生能否根據(jù)前面所積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移和猜想. 這樣的遷移猜想，是自主探究新知的一種學(xué)習(xí)策略與方法.

反思

1. 取材生活實(shí)例，切入概念教學(xué)

生活中大量的實(shí)際原型是切入概念教學(xué)很好的載體與素材，其中最基本的形式就是從生活實(shí)例或原型中歸納、抽象出數(shù)學(xué)概念，因此數(shù)學(xué)概念教學(xué)要大量聯(lián)系生活實(shí)例. 本課選取學(xué)生在生活中非常熟悉且簡(jiǎn)單的幾個(gè)實(shí)例切入，建立二次函數(shù)的概念，感受二次函數(shù)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，這種引入方式既易于學(xué)生理解，又切合數(shù)學(xué)抽象特征.

2. 引導(dǎo)歸納抽象，著力概念教學(xué)

數(shù)學(xué)抽象可以看成是兩次抽象的遞進(jìn)：第一次抽象是直觀描述，屬于淺層抽象;第二次抽象體現(xiàn)為用數(shù)學(xué)語言或者數(shù)學(xué)符號(hào)予以表征，這是深層抽象[2]. 概念教學(xué)要實(shí)現(xiàn)從淺層抽象到深層抽象的轉(zhuǎn)化和飛躍，著力點(diǎn)在于歸納抽象. 本節(jié)課，學(xué)生首先用自己的語言歸納出幾個(gè)不認(rèn)識(shí)的函數(shù)的共同點(diǎn)，教師則進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言對(duì)共同點(diǎn)加以概括，最終提煉出二次函數(shù)的概念，真正實(shí)現(xiàn)兩次抽象的遞進(jìn).

3. 基于類比遷移，生長(zhǎng)概念教學(xué)

學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念后，還要能利用積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)類比遷移、探究新的概念，達(dá)到融會(huì)貫通的效果，讓概念教學(xué)自然地生長(zhǎng)和流淌. 本節(jié)課，學(xué)生在探究二次函數(shù)的概念時(shí)，類比已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)探究模式：“觀察生活實(shí)例—?dú)w納共同屬性—總結(jié)一般性規(guī)律—凝練函數(shù)概念—探究函數(shù)的圖像和性質(zhì)—函數(shù)的應(yīng)用”，函數(shù)的概念教學(xué)自然水到渠成.

4. 回歸生活應(yīng)用，落實(shí)概念教學(xué)

數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活. 同樣，概念教學(xué)最終也要回歸生活. 本節(jié)課在歸納抽象、感知辨析二次函數(shù)的概念之后，用二次函數(shù)概念來解釋生活實(shí)例：一是從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)模型;二是賦予一個(gè)二次函數(shù)模型的實(shí)際意義，使學(xué)生從經(jīng)歷到感悟，讓概念教學(xué)落地生根，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

現(xiàn)在我們回過頭來看看上述過程，其意圖是通過數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生運(yùn)用觀察、比較、抽象、類比、歸納的思維來發(fā)現(xiàn)概念的屬性，因此屬性下概念教學(xué)的關(guān)鍵是通過問題情境，運(yùn)用歸納思維，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念的屬性，從而建立概念.

參考文獻(xiàn)：

[1]王紅兵，卜以樓. 生長(zhǎng)過程——概念教學(xué)的本質(zhì)標(biāo)志[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2017（7）.

[2]黃東. 重視概念生成過程? 培育數(shù)學(xué)抽象思維[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2019（7）.