“三個(gè)理解”指導(dǎo)下的“圓周角”教學(xué)探討

王文泉

[摘? 要] “三個(gè)理解”可以為初中數(shù)學(xué)“圓周角”提供教學(xué)指導(dǎo)，即遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，定理概念自然生成，實(shí)施探究式教學(xué)，以知識應(yīng)用為目的，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng). 文章結(jié)合“圓周角”的核心內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)探討，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 圓周角;概念;定理;探究;應(yīng)用

“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)所倡導(dǎo)的理念. 教學(xué)中需要用數(shù)學(xué)的觀念來研究教材內(nèi)容，尊重學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，采用合理的探究手段，設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力. 本文以湘教版九年級下冊的“圓周角”為例，開展教學(xué)探討.

概念“源”生成，新知自然過渡

“圓周角”章節(jié)的核心內(nèi)容是圓周角的概念和圓周角定理，定理揭示了“位置關(guān)系”與“數(shù)量關(guān)系”之間的統(tǒng)一. 對于該部分的教學(xué)，需要以基本概念為基礎(chǔ)，立足概念“脈源”，以對應(yīng)問題為引擎，助推新知過渡. 教學(xué)時(shí)，需要分析概念知識的源頭，從整體、系統(tǒng)的觀念審視教材，設(shè)計(jì)教學(xué)引入，讓新知自然生成.

從“圓周角”的概念來看，是在圓與點(diǎn)、線段、弧的關(guān)系上的深入研究，屬于圓心角之外的另一類角. 教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生從“形”上關(guān)注其特征，從“數(shù)”上認(rèn)識兩條弦的開口大小，理解圓周角具有“形”與“量”的含義，建立“數(shù)”“形”之間的關(guān)聯(lián). 綜合概念的前后關(guān)聯(lián)和學(xué)生的認(rèn)知能力，教學(xué)中建議以圓心角為切入點(diǎn)，結(jié)合相應(yīng)的教具來開展活動，以完成概念的挖掘、定義，具體如下.

使用圖1所示的教具展示圓心角，讓學(xué)生思考其中的∠AOB是什么角，進(jìn)行舊知的回顧. 接著引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教具中頂點(diǎn)C的位置，通過移動點(diǎn)C來改變∠ACB的形態(tài)，讓學(xué)生思考該角是否還是圓心角，并對比變化前后的圖形. 通過觀察、對比的方式，學(xué)生很容易便獲得圓周角的特征——頂點(diǎn)在圓周上，且角兩邊均與圓相交，從而完成圓周角概念的歸納.

為強(qiáng)化學(xué)生對概念的理解，教學(xué)中還可以利用教具演示出圖2所示的角，讓學(xué)生分析角的特征，結(jié)合圓周角的概念對其加以判斷，并說明理由. 引導(dǎo)時(shí)，同樣立足角定義中“頂點(diǎn)”和“邊”的特征，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，獨(dú)立概括，深入理解.

教學(xué)中，教師應(yīng)合理使用教具，動態(tài)呈現(xiàn)圓心角到圓周角的變化過程，體驗(yàn)與圓相關(guān)的角的形成，認(rèn)識兩者的異同. 直觀的圖形有助于學(xué)生認(rèn)識角，而概括定義時(shí)可以發(fā)揮學(xué)生的智慧，提升學(xué)生的歸納總結(jié)能力.

循序推進(jìn)新知，體驗(yàn)探究活動

根據(jù)建構(gòu)理論可知，只有學(xué)生自主參與探究實(shí)踐活動，建構(gòu)新知，才是科學(xué)合理、符合認(rèn)知規(guī)律的. 因此開展圓周角定義教學(xué)需要設(shè)計(jì)教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生參與探究活動，從而自主獲取新知. 結(jié)合核心教學(xué)內(nèi)容開展探究證明活動可以按照如下思路進(jìn)行：啟發(fā)思維——動手實(shí)踐——領(lǐng)悟歸納，即首先啟發(fā)學(xué)生關(guān)注圓心角和圓周角的位置關(guān)系，然后通過動手實(shí)踐進(jìn)行猜想驗(yàn)證，最后領(lǐng)悟內(nèi)涵，歸納定理.

三個(gè)環(huán)節(jié)需要完成定理的猜想與證明，考慮到圓周角定理中包含圓周角與圓心角的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩大核心內(nèi)容，因此設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)需要分別設(shè)計(jì)探究活動：啟發(fā)思維——圍繞定理的位置關(guān)系，動手實(shí)踐——圍繞定理的數(shù)量關(guān)系，領(lǐng)悟歸納——重視定理的論證.

在“啟發(fā)思維”階段可以設(shè)計(jì)兩大活動：一是分析一條弧所對圓心角和圓周角的個(gè)數(shù);二是探索圓心與圓周角的位置關(guān)系.

活動一：讓學(xué)生利用手中的道具和皮筋，結(jié)合圓周上的固定點(diǎn)B和C來構(gòu)建圓心角和圓周角，然后小組內(nèi)觀察所構(gòu)圓心角和圓周角是否相同，思考對于同一弧所對的圓心角和圓周角各有多少個(gè)，如圖3、圖4和圖5.

活動二：在活動一的基礎(chǔ)上讓大家展示所構(gòu)建的圖形（如圖6、圖7、圖8），分析圖中圓心與圓周角的位置關(guān)系.

教學(xué)中可以引入“相對”位置，包括圓心位于∠BAC的內(nèi)部、一邊上和外部，確保位置關(guān)系無疏漏. 利用直觀的圖像開展分類探討，強(qiáng)調(diào)“同一弧”“相對”等關(guān)鍵詞.

“動手實(shí)踐”階段的重點(diǎn)是完成定理的數(shù)量關(guān)系論證，需要滲透幾何的邏輯推理，建立定理的嚴(yán)密性. 教學(xué)活動建議取圓心角與圓周角的一種特殊情形，通過測量來做出猜想，然后進(jìn)行推理、驗(yàn)證.

活動三：小組之間協(xié)同測量每一種方案圖形中圓心角和圓周角的大小，分析兩者的大小關(guān)系，討論并做出猜想.

考慮到測量時(shí)存在一定的誤差，可以建議學(xué)生進(jìn)行多次測量，而驗(yàn)證時(shí)可以先以“圓心位于圓周角一邊上”為例開展探究，然后指導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系該種情形對其他兩種情形進(jìn)行驗(yàn)證，通過“化抽象為具體，化一般為特殊”的方式實(shí)現(xiàn)定理的論證，具體轉(zhuǎn)化圖如圖9所示.

以圖9①為例，根據(jù)情形一的結(jié)論可知∠BAD= ∠BOD. 同理可得∠CAD= ∠COD，所以∠BAD+∠CAD= ∠BOD+ ∠COD，整理后可得∠BAC= ∠BOC.

“領(lǐng)悟歸納”階段實(shí)則是對所推導(dǎo)的角度關(guān)系的概括. 歸納中需要重視兩方面的內(nèi)容：一是基于位置關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，采用分類討論的方法，歸納時(shí)需要對其整合;二是完成語言之間的互化，包括定理的數(shù)學(xué)語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化.

教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生思考如下兩個(gè)問題：

（1）同弧或等弧所對的圓周角之間有著怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（2）同弧所對的圓周角與圓心角之間有著怎樣的數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生完成上述問題探究后可以自然而然地初步概括定理，之后教學(xué)中只需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)行補(bǔ)充，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)其中的“同圓或等圓”“同弧或等弧”“所對”“一半”等關(guān)鍵詞，幫助學(xué)生提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

上述實(shí)踐活動由觀察、度量到實(shí)驗(yàn)操作，由圖形變換到推理論證，環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)以活動為主，以問題為引導(dǎo)，采用循序漸進(jìn)的方式開展定理探究. 教學(xué)引導(dǎo)中環(huán)環(huán)相扣，突出重點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了以學(xué)生為主的探究式教學(xué). 同時(shí)，整個(gè)教學(xué)中滲透了分類討論和化歸轉(zhuǎn)化等思想方法，這對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維來說有著極大的幫助.

靈活變式拓展，增強(qiáng)定理應(yīng)用

完成圓周角定理的推理探究，則本章節(jié)的基本目標(biāo)初步達(dá)成. 但定理學(xué)習(xí)的最終目的是“學(xué)以致用”，因此，在教學(xué)中有必要設(shè)計(jì)相應(yīng)的應(yīng)用問題，利用問題鏈來幫助學(xué)生強(qiáng)化定理，提升定理的應(yīng)用能力. 問題設(shè)計(jì)需要從兩方面進(jìn)行：一是以幾何為基礎(chǔ)的變式問題，拓展學(xué)生的思維;二是結(jié)合生活的實(shí)際問題，提升定理的應(yīng)用性.

對于第一種情形的變式探究，可以結(jié)合相關(guān)的幾何問題來設(shè)問. 例如，三角形和四邊形：如圖10所示，⊙O是以AB為直徑的圓，點(diǎn)C和點(diǎn)D在圓上. 已知AC=6，AB=10，CD是∠ACB的平分線，連接AD和BD，試判斷△ABD的形狀，并求出其面積.

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中首先基于圓周角定理提煉直角三角形，然后結(jié)合勾股定理求出線段BC的長，讓學(xué)生思考其中AD和BD的求解方法. 分析點(diǎn)D在半圓弧上的位置，然后結(jié)合圓周角定理判斷線段AD與DB的大小關(guān)系，為后續(xù)確定△ABD為等腰直角三角形做鋪墊.

而探究圓周角定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用時(shí)需要融合建模思想——從實(shí)際問題中抽象數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)模型來解決問題. 以射門問題為例：如圖11，在足球訓(xùn)練場上，教練在球門前劃定一個(gè)圓圈，對于C，D，E三點(diǎn)，你認(rèn)為哪個(gè)位置射中的概率更高？請說明理由.

教學(xué)引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖像來構(gòu)建模型，分析C，D，E三點(diǎn)的相對位置，可知分別位于圓上、圓外和圓內(nèi). 由于點(diǎn)E位于圓內(nèi)，所以可以將其放置于圓內(nèi)的特殊位置——圓心O處，同時(shí)在靠近點(diǎn)D處圓上取一點(diǎn)F，繪制如圖12所示的圖形.

首先引導(dǎo)學(xué)生明晰“角度越大，射中概率越大”，然后結(jié)合圓周角定理進(jìn)行如下角度的大小分析.

（1）∠ACB<∠AEB——同圓或等圓上，同弧或等弧所對的圓周角等于該弧所對圓心角的一半;

（2）∠ACB=∠AFB——同圓或等圓上，同弧或等弧所對的圓周角相等;

（3）∠AFB>∠ADB——基于三角形內(nèi)角直接比較.

根據(jù)上述關(guān)系，學(xué)生很容易得出結(jié)論. 同時(shí)，由定理探討結(jié)論的過程，有助于強(qiáng)化學(xué)生的邏輯思維，能提升學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

寫在最后

基于“三個(gè)理解”開展的教學(xué)設(shè)計(jì)，兼顧了教材核心內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知能力，融合了定理知識和數(shù)學(xué)思想，充分揭示了數(shù)學(xué)本質(zhì)，凸顯了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，探究活動更為合理，更能挖掘知識背后的潛在價(jià)值. 總之，以“三個(gè)理解”為指導(dǎo)思想開展“圓周角”內(nèi)容教學(xué)，可以充分調(diào)動學(xué)生參與知識探究，能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，全方位地提升學(xué)生的能力.