添加輔助線 解題輕松又方便
——淺談有關(guān)三角形的解題中輔助線的作法

◎張秋菊 （山東省東營市經(jīng)濟開發(fā)區(qū)東凱中學(xué)，山東 東營 257000）

平面幾何是初中數(shù)學(xué)的一大重點，對于中考數(shù)學(xué)而言，幾何同樣占據(jù)著舉足輕重的地位，學(xué)好幾何，對于中考數(shù)學(xué)的提分絕對是必不可少的一大助力.平面幾何囊括了無數(shù)的重點知識、難點知識、無數(shù)的中考考點……初中幾何這門課程，考驗的是對思維空間的抽象能力，要把幾何知識學(xué)懂，就要從具體的一些方法著手，找準輔助線，從輔助線的切入點進行，把之前毫無頭緒的題目逐漸明朗化、清晰化、便捷化.在幾何問題中，添加輔助線可以說是解題的關(guān)鍵.輔助線畫得好，解題輕松又快速；輔助線畫不對，可能就使解題繞彎又出錯，費力不討好.所以很大一部分試題都要根據(jù)題意或圖形作輔助線，這樣就能使一些無從下手的問題得到解決，或使一些較復(fù)雜的證法得到簡化.那么問題就有了，怎么才能快速適當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線，正確簡便地解題呢？ 這就需要把握定理和概念，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，使之化難為易，便于解決.事實上，恰恰就是如何合理、恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線難于把握，比較困難.對于初次接觸幾何的初中學(xué)生來說，更是難上加難.鑒于這種情況，本文舉例說明如何添加適當(dāng)?shù)妮o助線，借助三角形的全等和三角形的性質(zhì)來解決問題.

三角形問題是初中學(xué)生第一次接觸的比較復(fù)雜抽象的圖形問題，在完成解答題目的過程中，需要讀文字題目，看幾何圖形，在已知與未知之間找聯(lián)系，但是這個聯(lián)系有時候不是那么直接，方向不是那么明確，這個時候如果懂得如何作好輔助線，對于聯(lián)系已知與未知有很大的幫助，從而找到題目的解答方向，順利求解.根據(jù)圖形特點和所要證明的結(jié)果，本文為大家分享五種三角形中常用的輔助線作法，并且附有一個類似的例題，僅供參考.

一、遇到中點作中線法

如果題目中出現(xiàn)了等腰三角形底邊的中點，通常采用的方法是連接對應(yīng)頂點和中點，構(gòu)造中線，然后利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)和三角形全等等知識點來完成問題的證明.通常情況下此類問題的難易程度屬于難.

例 1如圖 1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝ 90°，點D為AB的中點，DE⊥DF分別交AC，BC于點E，F(xiàn).求證：DE＝DF.

圖1

思路分析（1）題意分析：本題考查了等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理以及等腰直角三角形的隱含條件，即等腰直角三角形的銳角為45°等.

（2）解題思路：連接CD，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)以及等腰直角三角形的銳角是45°，完成證明△DEC≌△DFB的準備工作，然后利用三角形全等的性質(zhì)得到DE＝DF.當(dāng)然在此類問題中，也可以證明△AED≌△CFD，方法是完全一樣的.

二、遇中點連中點，構(gòu)造三角形的中位線法

遇到幾何計算題時，經(jīng)常會遇到三角形的某邊中點.此時，若能靈活地利用此中點，構(gòu)造三角形的中位線，然后運用三角形中位線的性質(zhì)或者全等三角形的性質(zhì)，則能有效地抓住問題的核心，促使問題順利解決.通常情況下此類問題的難易程度屬于難.

例 2如圖 2，在△ABC中，∠B＝ 2∠C，AD是△ABC的高，點M是邊BC的中點.求證

思路分析（1）題意分析：本題考查三角形中位線定理，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊長的一半，三角形的外角和定理等知識點.

（2）解題思路：取AC的中點G，連接MG，DG，利用三角形中位線定理證得到

圖2

三、倍長中線法

如果題目中出現(xiàn)了三角形的中線，通常采用的方法是將三角形的中線延長一倍，得到的點再連接三角形另外兩個頂點中的任何一個，這樣就可構(gòu)造全等三角形，證得對應(yīng)邊相等，從而轉(zhuǎn)化成求全等三角形的對應(yīng)邊之間的關(guān)系.當(dāng)然，對于此種類型的問題，輔助線的添加也可以采用另一種方法，即過三角形的端點作對邊的平行線，要求題目中已知然后證明MG＝MD，從而得的中線不過此端點.對于此類型的問題，只是輔助線的添加有所不同，但是證明的過程和方法基本相似.通常情況下此類問題的難易程度屬于難.

例 3如圖 3，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，BD⊥BC于點B，∠ABD＝30°.求證：AB＝2BC.

圖3

思路分析（1）題意分析：本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)以及直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊長的一半.

（2）解題思路：關(guān)于此類題目所添加的輔助線，有兩種作法：其一，延長BD至G，使得DG＝DB，連接AG，利用全等三角形的判定定理證明△BCD≌△GAD，然后利用直角三角形的性質(zhì)使問題解決；其二，過點A作AG∥BC交BD的延長線于點G，利用全等三角形的判定定理證明△ADG≌CDB，證明思路同第一種方法.大家需要注意的是，上述兩種方法只是在輔助線的添加上不同，證明思路是一樣的.當(dāng)然，在作平行線的時候，也可以過點C作AB的平行線，同樣可以完成問題的證明.

四、截長補短法

如果題目中出現(xiàn)證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，通常采用的方法是在三角形較長的一邊上截取一條線段，使得它和要證明的結(jié)論中的一條線段相等，然后利用三角形全等或三角形的性質(zhì)證明余下的線段長等于另一條線段長.通常情況下，此類問題的難易程度屬于較難.

例 4如圖 4，在△ABC中，AD，BE分別是∠BAC，∠ABC的平分線，AD與BE相交于點P，∠C＝ 60°.求證：AB＝AE＋BD.

圖4

思路分析（1）題意分析：本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理等知識點.

（2）解題思路：要求證AB＝AE＋BD，只需在邊AB上截取AF＝AE，連接PF，證明△AFP≌△AEP，利用三角形全等的性質(zhì)得到∠APF＝∠APE，然后利用三角形全等的判定定理證明△BPF≌△BPD，從而使證明得以完成.當(dāng)然也可以在線段BA上截取BF＝BD，連接PF，同樣可以完成證明.

五、利用垂直平分線，構(gòu)造等腰三角形

如果題目中出現(xiàn)了垂直平分線，經(jīng)常把垂直平分線上的點和線段的端點連接起來，利用垂直平分線上的點和線段兩端點的距離相等來解答.這類題目一般不會單獨出現(xiàn)，而是與其他知識點綜合出題.通常情況下此類題目的難易程度屬于難.

例 5如圖 5，在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，點D是AB的中點，ED⊥AB交AC于點E.設(shè)∠A＝α，且求tan 2α的值.

圖5

思路分析（1）題意分析：本題考查在直角三角形中如何求某個角的正切值.

（2）解題思路：在初中階段，要求某角的正切值，只能在直角三角形中用定義求解，但是題目的已知條件中沒有2α這個角，所以首先要找到2α這個角.如何找呢？ 構(gòu)造以 2α為銳角的直角三角形，因為點D是AB的中點且ED⊥AB交AC于點E，即ED是AB的垂直平分線，所以連接BE，得到等腰三角形ABE，且∠BEC是等腰三角形BEA頂角的外角，從而得出∠BEC＝ 2α，在 Rt△BEC中.首先在 Rt△ABC中，利用 tanα的定義求得然后利用勾股定理和△AED∽△ABC，求得從而等到在 Rt△BCE中即可求解.

例子不可能一一列舉出來，但是通過這些例題，大家可以看到，輔助線的作法不能無的放矢，盲目瞎猜.平面幾何證明題添加輔助線的問題，必須在下列基礎(chǔ)上，才能得到較好的解決，即：①熟悉定理和定義；②掌握許多基本圖形的處理方法；③掌握經(jīng)常見到的一些題型的處理方法.只有這樣，才能在熟練掌握基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，靈活選用作輔助線的方法.通過這些例題，大家可以看到，添加輔助線雖無一定之規(guī)，但解題也可以因其類型相同而采取相同的方法.通過這些例題，大家還可以看到，對于每道題目來說，解題方法不唯一，要具體問題具體分析.通過這些例題，大家還可以看到，在解題的時候，一定要注意文字語言、圖形語言和數(shù)學(xué)符號語言的轉(zhuǎn)換.當(dāng)然，熟練掌握輔助線的添加方法絕不是一朝一夕之功所能達到的，需要不斷地練習(xí)，不斷地總結(jié)，憑借經(jīng)驗找出題目的規(guī)律，按照既定的規(guī)律添加輔助線.掌握好作輔助線的技巧，就不會出現(xiàn)面對本身不難的題目卻“山重水復(fù)疑無路”的千愁萬愁的情況，用對方法就“柳暗花明又一村”了，一巧解千愁.