與“狄里克萊函數(shù)”相關(guān)的反例研究

◎謝素英 （杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018）

數(shù)學分析［1－3］是大學數(shù)學類專業(yè)的一門重要基礎課，在數(shù)學分析教學中適當?shù)貥?gòu)造反例是至關(guān)重要的.反例是指某數(shù)學命題不成立的例子，是反駁糾正錯誤的一種方法.數(shù)學分析能訓練學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力，為此教學中正確的結(jié)論要嚴格證明，不正確的結(jié)論或命題，要么證明要么舉反例說明結(jié)論不真.教師在教學中通過舉反例驗證結(jié)論不成立是簡單明了的一種教學方式.本文針對狄里克萊（Dirichlet）函數(shù)［1－3］在數(shù)學分析中作為反例展開研究，歸納總結(jié)了一些構(gòu)造反例的技巧.

約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄里克萊（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）（1805—1859），德國數(shù)學家，解析數(shù)論的創(chuàng)始人.他給出了著名的狄里克萊函數(shù)：

D（x）＝也可以簡單地表示為分段函數(shù)的形式

狄里克萊函數(shù)是定義在全體實數(shù)，取值為｛0，1｝的偶函數(shù)，它是以任意正有理數(shù)為周期的周期函數(shù)，無最小正周期.狄利克萊函數(shù)是一個處處不連續(xù)，處處不可導的可測函數(shù)［4］，在 R 的任意可測子集上的勒貝格積分為 0［4］，也是黎曼不可積［1，2，3］最典型的例子.下面我們通過狄里克萊函數(shù)來構(gòu)造數(shù)學分析中的一些典型反例.

一、狄里克萊函數(shù)在定積分中的反例

1.在定積分中，黎曼可積函數(shù)均有界，但有界不一定黎曼可積.

例 1

分析D（x）顯然在［0，1］區(qū)間上有界，但由黎曼定積分的定義，可知定積分不存在，因此有界不一定可積.

2.若f（x），g（x）在［0，1］上黎曼可積，則f（x）＋g（x）在［0，1］上也黎曼可積，但反之不然.

例2

分析由定積分的定義，可知f（x）和g（x）在［0，1］上的定積分均不存在，但顯然f（x）＋g（x）＝ 0 在［0，1］上的定積分為 0，故f（x）＋g（x）在［0，1］上是黎曼可積的.

3.若f（x）在［0，1］上的定積分存在，則｜f（x） ｜在［0，1］上的定積分也存在，但反之不然，即｜f（x） ｜在［0，1］上黎曼可積，f（x）在［0，1］上不一定黎曼可積.

例 3

分析由定積分的定義，可知f（x）在［0，1］上的定積分不存在，但顯然｜f（x） ｜＝1 在［0，1］上的定積分是存在的，且積分值等于1.

構(gòu)造技巧1狄里克萊函數(shù)在定積分中的反例主要利用的是狄里克萊函數(shù)在［0，1］區(qū)間上的有界性和處處不連續(xù)性，即函數(shù)在有理點為1，無理點為0 的特性，并利用狄里克萊函數(shù)構(gòu)造出新的處處不連續(xù)的函數(shù)滿足“反之不然”的結(jié)論要求.

二、狄里克萊函數(shù)在一元函數(shù)的連續(xù)與可導中的反例

1.若f（x） 在x點可導，則f′（x），n∈N＋，反之不然.

例 4

分析當x∈Q 時，顯然

2.若｜f（x） ｜在點x＝a處連續(xù)，則f（x）在點x＝a處連續(xù)，反之不然.

若｜f（x） ｜在點x＝a處可導，則f（x）在點x＝a處可導，反之不然.

例 5

分析f（x）在任何有理點x＝a處不連續(xù)，也不可導，但｜f（x） ｜＝1 在整個 R 上處處連續(xù)處處可導.

構(gòu)造技巧2狄里克萊函數(shù)在一元函數(shù)的連續(xù)與可導中的反例主要利用的是狄里克萊函數(shù)在整個實軸上的處處不連續(xù)性，構(gòu)造出新的處處不連續(xù)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)在一點連續(xù)是函數(shù)在該點可導的必要條件這一特性，滿足“反之不然”的結(jié)論要求.

3. 兩個連續(xù)函數(shù)的和一定是連續(xù)函數(shù)，反之不然，即連續(xù)函數(shù)不一定是兩個連續(xù)函數(shù)的和.

例6

證法1因為?x1∈Q，x2∈Qc，利用三角不等式可知

由函數(shù)連續(xù)的定義，可知f（x）和g（x）在R 上處處不連續(xù).

證法2因為對于上面的f（x）和g（x）可以分別拆解為：

拆分之后，由于D（x）在 R 上處處不連續(xù)，顯然f（x）和g（x）在 R 上也處處不連續(xù)，但f（x）＋g（x）＝ 2＋sinx在 R 上處處連續(xù).

還可以構(gòu)造類似的反例如下：

用類似于例 6 的方法可以證明f1（x）和g1（x），f2（x）和g2（x）在 R 上處處不連續(xù)，但f1（x）＋g1（x）＝ 2＋cosx，f2（x）＋g2（x）＝ －2－sinx在 R 上處處連續(xù).

構(gòu)造技巧3利用狄里克萊函數(shù)構(gòu)造兩個新的處處不連續(xù)的函數(shù)，這兩個函數(shù)必須滿足：任取一個有理點和一個無理點，其函數(shù)值之差的絕對值總大于等于某一個正的常數(shù).而這樣的兩個函數(shù)之和恰恰在整個實軸上是連續(xù)的函數(shù)，因此滿足了“反之不然”的結(jié)論要求.

4.兩個連續(xù)函數(shù)之積一定是連續(xù)函數(shù)，反之不然.

例 7

證法1?x1∈Q，x2∈Qc，利用三角不等式可得

故f（x）和g（x）在 R 上處處不連續(xù)，但f（x）·g（x）＝x2＋1 在 R 上處處連續(xù).

證法2對于上面的f（x）和g（x）可以分別拆解為

拆分之后看，顯然f（x）和g（x）在 R 上處處不連續(xù)，但f（x）·g（x）＝x2＋1 在 R 上處處連續(xù).

還可以構(gòu)造類似的反例如下：

例 8

證法1?x1∈Q，x2∈Qc，利用三角不等式可得

故f（x）和g（x）在 R 上處處不連續(xù)，但f（x）·g（x）＝x2＋2 在 R 上處處連續(xù).

證法2對于上面的f1（x）和g1（x）可以分別拆解為

拆分之后看，顯然f（x）和g（x）在 R 上處處不連續(xù)，但f（x）·g（x）＝x2＋2 在 R 上處處連續(xù).

構(gòu)造技巧4利用狄里克萊函數(shù)構(gòu)造兩個新的處處不連續(xù)的函數(shù)，這兩個函數(shù)必須滿足：任取一個有理點和一個無理點，其函數(shù)值之差的絕對值總大于等于某一個正的常數(shù).而這樣的兩個函數(shù)之積恰恰是在整個實軸上連續(xù)的函數(shù)，因此滿足了“反之不然”的結(jié)論要求.注意，構(gòu)造函數(shù)時要保證兩個函數(shù)相乘時分子分母容易相抵的特點.

三、狄里克萊函數(shù)在二重積分中的反例

1.若二重積分存在，則被積函數(shù)在積分區(qū)域上一定有界，反之不然.

例9設即當x，y都是有理數(shù)時（x，y）稱為有理點，其他情形稱為非有理點.

分析D（x）顯然在閉區(qū)域D＝［0，1］×［0，1］上有界，但由二重積分的定義可知二重積分不存在.

2.若f（x），g（x）在D＝［0，1］×［0，1］上的二重積分存在，則f（x）＋g（x）在D＝［0，1］×［0，1］上的二重積分也存在，反之不然.

例 10D＝ ［ 0， 1］×［0， 1］，f（x） ＝D（x） ＝

分析由二重積分的定義知，可f（x）和g（x）在D＝［0，1］×［0，1］上的二重積分不存在，但f（x）＋g（x）＝ 0 在D＝［0，1］×［0，1］上的二重積分存在且積分為零.

f（x）在D＝［0，1］×［0，1］上的二重積分存在，則｜f（x） ｜在D＝［0，1］×［0，1］上的二重積分也存在，反之不然，即｜f（x） ｜在D＝［0，1］×［0，1］上的二重積分存在，f（x）在D＝［0，1］×［0，1］上的二重積分不一定存在.

例11

分析由二重積分的定義，知f（x）在D＝［0，1］×［0，1］上的二重積分不存在，但｜f（x） ｜＝1 在D＝［0，1］×［0，1］上的二重積分存在且等于1.

構(gòu)造技巧5狄里克萊函數(shù)在二重積分中的反例主要利用的是狄里克萊函數(shù)在區(qū)域D＝［0，1］×［0，1］上的有界性和處處不連續(xù)性，即有理點（x，y）為 1，非有理點（x，y）為0 的特性構(gòu)造新的處處不連續(xù)的函數(shù)，滿足“反之不然”的結(jié)論要求.

結(jié)束語

利用狄里克萊函數(shù)構(gòu)造數(shù)學分析中的反例主要是應用狄里克萊函數(shù)的處處不連續(xù)性以及函數(shù)的有界性，將初始的狄里克萊函數(shù)進行變形或進行四則運算得到新的處處不連續(xù)的函數(shù).