高中“隱形圓”模型的探究與運(yùn)用

秦詠梅

摘 要：在高中數(shù)學(xué)問題的分析和解答過程中，進(jìn)行“隱形圓”模型的構(gòu)建，往往可以化繁為簡，化抽象為直觀，幫助學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，有效地解決問題。有關(guān)“隱形圓”模型的問題一般具有很強(qiáng)的綜合性和抽象性，這就要求教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究，掌握“隱形圓”模型的本質(zhì)，并應(yīng)用“隱形圓”模型進(jìn)行實(shí)際問題的分析和解決，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞;高中數(shù)學(xué);“隱形圓”模型;運(yùn)用策略

所謂“隱形圓”，就是在試題的題目中沒有出現(xiàn)有關(guān)圓的表述，試題所配的圖中也沒有圓形，試題直接給出的已知條件中看不到任何圓的信息。然而，對試題進(jìn)行仔細(xì)的分析，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以將復(fù)雜的試題信息巧妙地轉(zhuǎn)化為有關(guān)圓的知識(shí)，從而運(yùn)用圓的性質(zhì)進(jìn)行問題的分析和解決，往往可以起到事半功倍的效果。筆者將結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，對有關(guān)“隱形圓”模型問題的構(gòu)建與運(yùn)用的幾種類型進(jìn)行論述。

一、根據(jù)圓的概念進(jìn)行“隱形圓”模型的構(gòu)建

根據(jù)圓的概念，找出問題中“隱形圓”的圓心和半徑，進(jìn)行“隱形圓”模型的構(gòu)建，可以將復(fù)雜的問題簡單化，有效地提高解題效率。

例題1已知向量，，則向量和的夾角范圍是多少？

“隱形圓”模型構(gòu)建，根據(jù)題意可以知道，點(diǎn)A是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其圍繞點(diǎn)C（0，2），以為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)，因此可以根據(jù)圓的概念構(gòu)造出以點(diǎn)C為圓心，為半徑的隱性圓模型。這樣，將向量問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，從而過坐標(biāo)原點(diǎn)做“隱性圓”的切線，得到兩個(gè)切點(diǎn)E、F，根據(jù)圓的性質(zhì)可以得到，因此，，，這樣問題的答案就迎刃而解了。

本題的“隱形圓”模型構(gòu)建的關(guān)鍵是要找出點(diǎn)A到定點(diǎn)C的距離是一個(gè)定值，然后根據(jù)圓的的概念可以得到“隱形圓”，從而有效地解決問題。

二、運(yùn)用三角代換進(jìn)行“隱形圓”模型的構(gòu)建

換元法是高中數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想，通過三角代換，將已知的復(fù)雜三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為“隱形圓”模型，從而運(yùn)用圓的性質(zhì)進(jìn)行問題的分析和解決，則更效率。

例題2：已知a、b、c三個(gè)實(shí)數(shù)滿足等式，并且c≠0，那么，求的取值范圍是多少？

從題中的已知條件并不能看出“隱形圓”，因此，需要對等式進(jìn)行變形，得到，然后運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)可令，，并且。同時(shí)，對分子、分母同除以c，可得：。設(shè)=k，則表示定點(diǎn)（2，0）與圓上任意點(diǎn)連線的直線斜率，設(shè)直線為，則可知<1，從而解出k的取值范圍，即的取值范圍為。解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造“隱形圓”，通過，（c≠0）同除以c2得到，構(gòu)造出的“隱形圓”模型，問題得解。

三、運(yùn)用圓的性質(zhì)進(jìn)行“隱形圓”模型的構(gòu)建

通過圓的有關(guān)性質(zhì)，可以進(jìn)行“隱形圓”模型的構(gòu)建，找到“隱形圓”，從而將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，有效地解決問題。

例題3：已知a、b、c三個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，M點(diǎn)為一個(gè)定點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影，那么，求動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)N（2，1）所組成線段MN長度的取值范圍。

本題已知a、b、c三個(gè)實(shí)數(shù)是等差數(shù)列，因此，我們可以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，構(gòu)建起三個(gè)實(shí)數(shù)之間的關(guān)系，即：2b=a+c，變形得：a-2b+c=0，帶入方程ax+by+c=0可知，方程恒過一點(diǎn)Q（1，-2），由題意可知定點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為M，則可以得到。由此可見，運(yùn)用圓的直徑對應(yīng)圓周角為90°的性質(zhì)可以進(jìn)行“隱形圓”模型的構(gòu)建，點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，圓心為（0，-1），半徑為，其中，N點(diǎn)到圓心的距離為，由此可以順利地求出線段MN長度的取值范圍。

本題是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，構(gòu)造“隱形圓”的關(guān)鍵是確定，這樣，就可以構(gòu)造以PQ為直徑的“隱形圓”，從而將問題有效地轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的問題。

四、通過動(dòng)點(diǎn)軌跡進(jìn)行“隱形圓”模型的構(gòu)建

動(dòng)點(diǎn)軌跡是高中的難點(diǎn)問題，通過動(dòng)點(diǎn)軌跡進(jìn)行“隱形圓”模型的構(gòu)建，可以運(yùn)用有關(guān)圓的性質(zhì)進(jìn)行問題的分析和解決，效果良好。

例題4.在中，已知，，AB=2，求三角形的最大面積。

本題通過常規(guī)的方法并不能有效地進(jìn)行計(jì)算，因此可以將三角形放到直角坐標(biāo)系中，構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程，可以令點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（1，0），設(shè)點(diǎn)C（x，y），根據(jù)和勾股定理可得，化簡可得關(guān)于x，y的方程，因此，三角形的C點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則根據(jù)三角形的性質(zhì)可知，當(dāng)C點(diǎn)位于AB的垂直平分線上的時(shí)候，三角形面積最大，由此解決問題。

總而言之，在高中問題的解決過程中進(jìn)行“隱形圓”模型的構(gòu)建，可以起到化繁為簡的效果，有效地提高學(xué)生的解題效率，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想的具體應(yīng)用，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

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