奇偶性在高考中的應(yīng)用

摘 要：就近年高考中奇偶性應(yīng)用的常見題型，通過確定函數(shù)類型、確定參數(shù)值、確定解析式、確定函數(shù)圖象以及與單調(diào)性、周期性的交匯等角度加以實例剖析，闡述奇偶性的應(yīng)用，總結(jié)類型，提升能力.

關(guān)鍵詞：函數(shù);奇偶性;參數(shù);解析式;圖象;單調(diào)性;周期性

中圖分類號：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0039-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：陳建會（1979.5-），男，河北省滄州人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、結(jié)合奇偶性確定函數(shù)類型

例1 （2018·上?！?）已知α∈{-2，-1，-12，12，1，2，3}，若冪函數(shù)f（x）=xα為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減，則α=.

分析 結(jié)合冪函數(shù)f（x）=xα為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減，利用冪函數(shù)的基本性質(zhì)確定參數(shù)α所滿足的條件，進(jìn)而結(jié)合題目中參數(shù)給出的已知值，求出相應(yīng)α的值，得以正確確定冪函數(shù)的類型.

解析 由于冪函數(shù)f（x）=xα為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減，

利用冪函數(shù)的基本性質(zhì)，可知α是奇數(shù)，且α<0，又α∈{-2，-1，-12，12，1，2，3}，可知α=-1，故填答案：-1.

點評 結(jié)合函數(shù)的奇偶性來確定函數(shù)的基本類型問題，關(guān)鍵是熟練掌握基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等）的圖象與性質(zhì)，特別要注意的是對應(yīng)的參數(shù)值與相應(yīng)的性質(zhì)之間的關(guān)系.

二、結(jié)合奇偶性確定參數(shù)值例2 （2019·全國Ⅱ卷理·14）已知f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f（x）=-eax.若f（ln2）=8，則a=.

分析 結(jié)合函數(shù)的奇偶性確定f（-ln2）的值，并借助對應(yīng)的函數(shù)的解析式建立相應(yīng)的關(guān)系式，通過求解方程來確定相應(yīng)的參數(shù)值.

解析 由于f（x）是奇函數(shù)，則知f（-ln2）=-f（ln2）=-8.

又當(dāng)x<0時，f（x）=-eax，則有f（-ln2）=

-e-aln2=-8，即-aln2=ln8，得a=-3，故填答案：-3.

點評 結(jié)合函數(shù)的奇偶性來確定相應(yīng)的參數(shù)值問題，關(guān)鍵是根據(jù)題條件，利用函數(shù)的奇偶性建立起相應(yīng)的方程或?qū)?yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而通過求解相應(yīng)的方程或?qū)?yīng)的關(guān)系式來達(dá)到確定參數(shù)值的目的.

三、結(jié)合奇偶性確定解析式

例3 （2019·全國Ⅱ文·6）設(shè)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）=ex-1，則當(dāng)x<0時，f（x）=（? ）.

A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+1

分析 結(jié)合函數(shù)的奇函數(shù)的定義得到f（-x）=-f（x），通過已知解析式的轉(zhuǎn)化加以確定當(dāng)x<0時f（x）的解析式問題，進(jìn)而得以正確判斷.

解析 由于f（x）是奇函數(shù)，所以當(dāng)x<0時，-x>0，可得f（-x）=e-x-1=

-f（x），即f（x）=-e-x+1，

故選擇答案：D.

點評 結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義以及不同條件下函數(shù)的解析式問題來確定相應(yīng)的解析式問題，關(guān)鍵是正確掌握函數(shù)的奇偶性及其關(guān)系.解決此類問題特別要注意解析式中的符號，不要產(chǎn)生混淆.

四、結(jié)合奇偶性確定函數(shù)圖象例4 （2019·全國Ⅲ理·7）函數(shù)y=2x32x+2-x在[-6，6]的圖象大致為（? ）.

分析 結(jié)合函數(shù)的解析式以及函數(shù)奇偶性的定義判斷已知函數(shù)的奇偶性問題，進(jìn)而利用函數(shù)圖象的對稱性來排除相關(guān)的選項;再結(jié)合f（4）、f（6）的特殊取值情況繼續(xù)排除相關(guān)的選項，從而得以正確判斷.

解析 因為f（-x）=2（-x）32-x+2x=-2x32x+2-x=-f（x），所以函數(shù)y=2x32x+2-x為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除選項C;又f（4）=2×4324+2-4=12816+116≈8，排除選項A、D.

故選擇答案：B.

點評 結(jié)合函數(shù)的奇偶性來判斷函數(shù)圖象問題，往往通過函數(shù)的解析式并結(jié)合奇偶性的定義先確定其奇偶性，從而確定函數(shù)圖象的對稱性，再結(jié)合函數(shù)的其他基本性質(zhì)、特殊點處的取值情況等來分析與判斷.

五、結(jié)合奇偶性與單調(diào)性交匯例5 （2019·全國Ⅲ卷理·11;文·12）設(shè)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，則（? ）.

A.f（log314）>f（2-3/2）>f（2-2/3）

B.f（log314）>f（2-2/3）>f（-2-3/2）

C.f（2-3/2）>f（2-2/3）>f（log314）

D.f（2-2/3）>f（2-3/2）>f（log314）

分析 結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性加以轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是通過奇偶性把對應(yīng)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再借助復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)式與對數(shù)式的大小關(guān)系，進(jìn)而達(dá)到判斷代數(shù)式的大小關(guān)系.

解析 由于f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，可得

f（log314）=f（-log34）=f（log34）.

而0<2-3/2<2-1=12<2-2/3<20=1=log33<log34，

又f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，

所以f（2-3/2）>f（2-2/3）>f（log34），即f（2-3/2）>f（2-2/3）>f（log314），

故選擇答案：C.

點評 結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性交匯來處理函數(shù)值的大小比較問題，經(jīng)常借助指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對應(yīng)的指數(shù)冪運算、對數(shù)運算等相關(guān)內(nèi)容，融合“函數(shù)”與“圖象”加以數(shù)形結(jié)合，是高考中比較熱點的一類常見題型.

六、結(jié)合奇偶性與周期性交匯例6 （2018·全國Ⅱ文·12;理·11）已知f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1-x）=f（1+x）.若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（? ）.

A.-50?? B.0?? C.2?? D.50

分析 結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性與已知函數(shù)關(guān)系式，通過變形與轉(zhuǎn)化來確定函數(shù)的周期性，再綜合利用奇偶性與周期性的交匯知識，先確定一個周期內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值，再結(jié)合周期性特征來解決相應(yīng)的函數(shù)值的求解問題.

解析 由于f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數(shù)，且滿足f（1-x）=f（1+x），

可得f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），則有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），

則知函數(shù)f（x）的周期為T=4.由f（x+1）=-f（x-1），及f（1）=2，可得f（3）=-f（1）=-2.

又f（2）=f（-2）=-f（2），則有f（2）=0，可得f（4）=-f（2）=0.

那么f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，

所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12×0+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2，

故選擇答案：C.

點評 結(jié)合函數(shù)的奇偶性與周期性交匯知識來綜合考查函數(shù)的求值問題，破解問題的關(guān)鍵是巧妙綜合利用奇偶性及周期性進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化與變換，進(jìn)而將所求解的函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)來分析與求解.

歷年高考都對函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行重點考查，往往都離不開函數(shù)的奇偶性，此類考題經(jīng)常冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等為背景，綜合基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及相關(guān)的運算，有時單獨考查奇數(shù)性問題，有時綜合考查奇偶性與其他相關(guān)性質(zhì)的交匯問題，這一類試題出現(xiàn)在小題（選擇題或填空題）中，難度屬于較易型或中等型.

? 參考文獻(xiàn)：

[1]劉經(jīng)平.函數(shù)奇偶性在解題中的應(yīng)用[J].高考，2019（09）：203.

[2]張明達(dá).函數(shù)的奇偶性常見題型分析[J].中學(xué)生數(shù)理化（高一數(shù)學(xué)），2018（09）：14.

[3]徐玉方.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（高考版），2011（02）：6.

[責(zé)任編輯：李 璟]