高中數(shù)學(xué)解題中線性規(guī)劃的有效應(yīng)用

摘 要：線性規(guī)劃是實(shí)現(xiàn)數(shù)與形溝通的重要方式，蘊(yùn)藏著數(shù)形結(jié)合、化歸以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)解題中有著重要的作用，提供新的解題思路和視角.線性規(guī)劃是高三數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的重要知識點(diǎn)，是學(xué)生必須掌握的知識點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生解題中常見的輔助方式，在學(xué)生之后的學(xué)習(xí)和解題中有著重要作用.在高中數(shù)學(xué)解題中，借助線性規(guī)劃解決最值問題、不等式問題以及函數(shù)問題等.文章中分析線性規(guī)劃在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)解題;線性規(guī)劃;應(yīng)用策略

中圖分類號：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0032-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：徐芹（1984.7-），女，安徽省淮北人，研究生，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

高中數(shù)學(xué)解題中，線性規(guī)劃的應(yīng)用和解題是考試的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，線性規(guī)劃是一種有效的解題輔助工具，在很多數(shù)學(xué)問題中廣泛使用，優(yōu)化解題過程，提高學(xué)生解題效果和質(zhì)量.作為高中數(shù)學(xué)教師，需要引導(dǎo)學(xué)生利用線性規(guī)劃解題，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題意識，發(fā)揮線性規(guī)劃的優(yōu)勢，明確數(shù)學(xué)問題解題思路，簡化數(shù)學(xué)解題計(jì)算，有效解答數(shù)學(xué)問題.結(jié)合具體的數(shù)學(xué)解題，引導(dǎo)學(xué)生掌握線性規(guī)劃應(yīng)用技巧，不斷地歸納和總結(jié)，更好地利用線性規(guī)劃解決問題，提高學(xué)生解題能力.

一、線性規(guī)劃思想遷移，解決函數(shù)最值問題

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)知識是重要的內(nèi)容，函數(shù)最值求解是函數(shù)解題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考數(shù)學(xué)中常考的內(nèi)容.在函數(shù)最值解題中，解題的方式有很多，應(yīng)當(dāng)根據(jù)題目特點(diǎn)，靈活選擇解題方式，保證解題效率.利用線性規(guī)劃解決函數(shù)最值問題，是一種有效的解題方式，特別是特殊的二元函數(shù)最值解題，降低問題解答難度，保證學(xué)生快速解決函數(shù)問題.

例1 當(dāng)a2+b2-4a+6b+11=0時，求a+b+4的最值.

分析 在解題時，需要對題目進(jìn)行分析，結(jié)合已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，之后根據(jù)線性規(guī)劃知識，繪制相應(yīng)的圖形，完成函數(shù)最值的解答.根據(jù)已知條件得出（a-2）2+（b+3）2=2，如圖1所示，是以（2，-3）作為圓心的圓，其半徑是2.假設(shè)k=a+b+4轉(zhuǎn)化得出b=-a+k-4，表現(xiàn)在坐標(biāo)系中是和b=-a相平行的一簇平行直線，其在b軸的截距是k-4.當(dāng)圓和直線相切時，截距存在最值.通過這樣進(jìn)行計(jì)算，得出|2-3+4-k|2=2，求解得出k的值為1或者5，因此，得出a+b+4的最小值是1，最大值是5.

高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值求解時，根據(jù)題目條件進(jìn)行分析，借助數(shù)形轉(zhuǎn)化思想，靈活利用線性規(guī)劃方式，明確問題解題思路，保證題目有效解答.

二、有效利用線性規(guī)劃，解決數(shù)列問題

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)列是重要的知識內(nèi)容，其數(shù)學(xué)概念和公式比較多，數(shù)列問題解題難度比較大，也是高考數(shù)學(xué)考查的重要內(nèi)容.數(shù)列范圍問題是數(shù)列問題中的典型問題，題目綜合性比較強(qiáng)，通常情況下常將數(shù)列范圍問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題解題，但是，一些數(shù)列范圍問題不適合構(gòu)造函數(shù)，影響學(xué)生解題.因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成不等式問題，通過變形將原問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，完成數(shù)學(xué)難題解答.

例2 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

分析 在解題的過程中，需要對題目中的已知條件進(jìn)行分析，根據(jù)已知列出相應(yīng)的不等式組，2a1+3d≥5，a1+2≤3，a4=a1+3d.通過這樣的分析，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化：已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x+3y≥5，x+2y≤3，求解z=x+3y的最大值.通過這樣的轉(zhuǎn)化之后，引入線性規(guī)劃方法，畫出相應(yīng)的直角坐標(biāo)系，標(biāo)記出不等式表示的區(qū)域和z的直線，找出距離最大的點(diǎn)，則是其最大值.通過這樣的思考和解題，主要利用等差數(shù)列的基本量，利用首項(xiàng)和公差進(jìn)行思考，將等差數(shù)列性質(zhì)和線性規(guī)劃思想結(jié)合，完成數(shù)學(xué)問題解題，提高學(xué)生解題能力.

三、利用線性規(guī)劃，解決不等式問題

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，題目綜合性強(qiáng)，和方程、函數(shù)、概率等知識有著非常大的聯(lián)系.在部分不等式問題求解中，解題難度大，解題過程復(fù)雜，影響學(xué)生解題效率.在這樣的情況下，引導(dǎo)學(xué)生嘗試線性規(guī)劃解題，利用數(shù)形結(jié)合思想，將相關(guān)數(shù)量關(guān)系和信息直觀展示出來，使得解題更加簡便快捷，保證解題準(zhǔn)確性和解題效率.

例3 已知x、y為實(shí)數(shù)，并且滿足x2+y2≤1，求證：4-2≤|x+y|+|y+1|+|2y-x-3|≤6.

分析 根據(jù)已知條件x2+y2≤1，可以得出-1≤y≤1，-1≤x≤1.令t=|x+y|+|y+1|+|2y-x-3|=|x+y|+x-y+4.如果x+y≤0，t=4-2y，如圖2中所示，可行域則是x+y=0的左下方的部分，因?yàn)閥的取值范圍是[-1，22]，得出t=4-2y的取值范圍是[4-2，6].如果x+y≥0，那么t=2x+4，那么其可行域則是直線x+y=0的右上方部分，通過相應(yīng)的計(jì)算，可以得出直線和圓的交點(diǎn)分別是（-22，22），（22，-22），此時x的取值范圍是[22，1]，得出t=2x+4的取值范圍是[4-2，6]，完成題目問題的驗(yàn)證.

在解題的過程中，將不等式的轉(zhuǎn)換和獲得可行域是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題目已知進(jìn)行分析，通過相應(yīng)的換元獲得可行域，將其轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題.此題要求學(xué)生具有比較強(qiáng)的思維能力，題目有著一定的深度，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面考查.

四、利用線性規(guī)劃，解決向量問題

向量具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重特點(diǎn)，將數(shù)與形融為一體.在向量問題解答中，從數(shù)的角度來說，其思路將幾何問題轉(zhuǎn)變成坐標(biāo)和符號，結(jié)合坐標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃翁幚?，完成解答，也可以將其轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，對題目進(jìn)行思考和解答，保證學(xué)生解題效率和準(zhǔn)確性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.

例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B、C是圓x2+y2=1上不同的三個點(diǎn)，如果存在實(shí)數(shù)λ、μ滿足OC=λOA+μOB，求λ2+（μ-3）2的取值范圍.

分析 在向量問題解題時，需要借助坐標(biāo)系，完成線性規(guī)劃問題的轉(zhuǎn)換.設(shè)OA和OB的夾角是θ，并且θ∈（0，π），將OC=λOA+μOB兩邊同時平方，可以得出1=λ2+μ2+2λμcosθ，根據(jù)λ、μ為實(shí)數(shù)，可以得出1<λ2+μ2+2λμ且1>λ2+μ2-2λμ，以此在建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，畫出相應(yīng)的約束條件，如圖3所示.約束條件如下：

λ+μ>1，-1<λ-μ<1，λ>0，μ>0，得到相應(yīng)的可行域，根據(jù)λ2+（μ-3）2的幾何意義，結(jié)合圖形找出最小值是定點(diǎn)C到直線λ-μ=1的距離，求解其取值范圍是（2，+∞）.

高中數(shù)學(xué)解題中，線性規(guī)劃應(yīng)用比較廣發(fā)，通過線性規(guī)劃求解函數(shù)最值問題，解決平面幾何的相關(guān)數(shù)學(xué)問題.應(yīng)用線性規(guī)劃解決數(shù)學(xué)問題，可以減少運(yùn)算量，將抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)變成直觀圖形，化繁為簡，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題快速準(zhǔn)確解答.作為高中數(shù)學(xué)教師，在解題中引導(dǎo)學(xué)生樹立數(shù)形思想，有效利用線性規(guī)劃，掌握有效的解題方式，巧妙解決數(shù)學(xué)難題，樹立學(xué)生學(xué)習(xí)自信心，提高學(xué)生解題能力.

? 參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李 璟]