巧用反證法 讓數(shù)學解題“柳暗花明”

摘 要：高中數(shù)學解題中，不少的題目通過正面角度難以解答，如果換個角度可以非常輕松地解答問題.反證法是屬于逆向思維解題方式，在高中數(shù)學解題中廣泛使用.通過反證法解題，可以更加簡便地獲得結(jié)論，完成數(shù)學問題解答，同時可以鍛煉學生思維模式，引導學生更好地掌握數(shù)學知識.文章中結(jié)合數(shù)學例題，探究反證法的應用策略.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學;反證法;應用策略

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0030-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：陳辰（1986.2-），男，安徽省六安人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

一、利用反證法，解決數(shù)列問題

高中數(shù)學的知識內(nèi)容比較多，并且知識復雜繁多，在解題過程中存在不少的困難，使得學生難以完成解題.數(shù)列作為高中數(shù)學的重要知識內(nèi)容，題目復雜多變，涉及到的知識內(nèi)容比較多.部分數(shù)列問題在解題中，從正面思考有著很大的難度，面對這樣的情況，教師可以引入反證法，幫助學生解決解題中的困擾，明確題目解題思路，快速、準確地解答問題，提高學生解題能力.

例1 已知等比數(shù)列{an}的公比是q，其前n項和為Sn，判斷數(shù)列{Sn}是否為等比數(shù)列.

解析 通過對題目問題進行分析，得出問題屬于定性命題，此種問題類型想要從正面進行解答或者證明，其難度比較大，證明的過程非常復雜.因此，教師引導學生利用反證法，利用逆向思維進行解題.設數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，所以S22=S1S3，根據(jù)題意得出a21（1+q）2=

a1·a1（1+q+q2）.因為{an}為等比數(shù)列，所以a1≠0，對上式簡化得出（1+q）2=1+q+q2，通過整理解答得出q=0，與等比數(shù)列中公比不等零相互矛盾，所有原來的假設不成立，因此數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.

點評 面對復雜的數(shù)列問題，如果從正面求解比較困難，引導學生靈活利用反證法，節(jié)約學生解題時間，提高學生解題準確性，保證學生課堂學習效果.因此，在具體的解題教學中，應當打破以往解題方式的約束，加強學生發(fā)散思維培養(yǎng)，對所學知識進行綜合理應，在最短的時間內(nèi)容找到最佳的解題方式，提高解題教學效果.

二、利用反證法，解決命題證明題

1.唯一性命題解答

數(shù)學作為一門基礎性學科，涉及到的數(shù)學概念、性質(zhì)、公式等內(nèi)容比較多，在實際的解題中，命題證明問題是常見的問題類型.不少唯一性命題的證明問題從正面是很難得到證明的.因此，面對命題證明問題，需要對題目類型進行分析，靈活引入反證法，從反面進行證明，完成唯一性命題的解題.

例如，在圓的知識學習中，所學學生都知道一個圓只有一個圓心，那么怎樣去證明呢.面對這樣的問題，教師可以引導學生從反面進行思考和證明.假設一個圓有兩個圓心，分別是圓心O和圓心A，在圓內(nèi)作出任意一條弦CD，找出CD的中點E，將AE和OE連接起來，在這樣的情況下，經(jīng)過直線CD的中點E存在兩條直線和CD垂直.這樣的結(jié)論和“經(jīng)過一點有且只有一條直線和已知直線垂直”的性質(zhì)相互矛盾，因此，假設不成立，則證明一個圓只有一個圓心.

2.必然性命題解題

在必然性命題證明中，可以將題目中的結(jié)論加以否定，將原來的肯定命題轉(zhuǎn)變成否定命題，通過相應的論證，推斷否定命題不成立，得出原命題正確的幾輪，完成題目的論證.因此，面對必然性命題解題時，需要對題目內(nèi)容進行分析，準確分析其原命題，做出相應的假設.在論證時，應當保證其嚴謹性，避免出現(xiàn)論證遺漏等問題.

例2 已知a、b、c均為正整數(shù)，并且a2+b2=c2，a為質(zhì)數(shù)，求證：b、c兩個數(shù)字必然是一個偶數(shù)、一個奇數(shù).

解析 在證明時，假設b、c兩個數(shù)字都是偶數(shù)或者都是奇數(shù)，根據(jù)a2+b2=c2進行轉(zhuǎn)化，c2-b2=a2，所有（c-b）（c+b）=a2，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)可以得出c-b和c+b都是偶數(shù)，所以得出a2為偶數(shù).根據(jù)已知中a為質(zhì)數(shù)，所有，當a=2時，則（c-b）（c+b）=4，通過求解得出b、c的值，根據(jù)題目中a、b、c都是正整數(shù)做出判斷，證明b和c兩個數(shù)字為一奇一偶.

3.解答無限命題

高中數(shù)學解題中，部分題目的條件比較少，從正面很難做到求解，因此，需要引導學生掌握反證法，從反面進行思考和解題，培養(yǎng)學生解題能力.

例題：求證6是無理數(shù).

解析 在此題目中，能夠利用的條件非常少，從正面解題沒有明確的思路，無理數(shù)是無限不循環(huán)的，很難進行表示.如果利用反證法，假設6是有理數(shù)，那么可以增加一個已知條件，將6通過分數(shù)表示出來.

在解題中，假設6是有理數(shù)，那么存在m，n∈N*，并且m、n互質(zhì).使得6=mn，轉(zhuǎn)化得出m2=6n2，所以m為偶數(shù)，設m=2k（k∈N*），則有42=6n2，3n2=2k2，那么n也是偶數(shù)，這與m、n互質(zhì)矛盾，因此6為無理數(shù).點評 面對命題證明問題，引導學生對命題類型做出分析，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點，做出相應的假設，根據(jù)題目內(nèi)容進行分析，靈活利用反證法完成題目求解.

三、利用反證法，解答不等式問題

不等式作為高中數(shù)學的重要內(nèi)容，不等式問題也是學生解題中的難點問題，對于一般的不等式問題，學生通過分析法、綜合法和比較法就能完成解題，但是，對于一些較為極端的不等式問題，通過此三種方式很難解題，甚至不能完成解題.此時可考慮引導學生利用反證法解題，培養(yǎng)學生多種解題方式，強化學生解題能力.

例3 已知a、b>0，求證：a3+b3≥a2b+ab2.

解題時，利用反證法進行解題，先假設不等式不成立.則有

a3+b3

（a-b）2<0.這與任意實數(shù)的平方非負矛盾，所以假設不成立.

點評 高中數(shù)學不等式解題中，題目類型豐富多樣，形式各不相同，雖然綜合法、比較法等解題方式是常見的解題方式，解題更加準確、快速，但是，反證法有著其自己的優(yōu)勢，豐富學生解題方式，加強學生思維能力鍛煉.

高中數(shù)學解題中，反證法是一種有效的解題方式，幫助學生解答疑難問題，明確解題關(guān)鍵點，找到最佳的解題思路.通過反證法的利用，加強學生邏輯思維能力培養(yǎng)，提高學生創(chuàng)新能力.因此，作為高中數(shù)學教師，應當根據(jù)題目類型，做出相應的分析，靈活利用反證法，有效解決數(shù)學難題，提高學生數(shù)學解題能力.

參考文獻：

[1]谷小溪.例談反證法在高中數(shù)學解題中的應用[J].讀與寫（教師），2019（2）：246.

[2]宋澤.高中數(shù)學解題中的反證法應用初探[J].數(shù)理化解題研究，2018（21）：27-28.

[責任編輯：李 璟]