從一道高考題談運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)

摘? 要：以一道高考試題為例，討論運(yùn)算素養(yǎng)涉及的算理，立足數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，依靠數(shù)學(xué)思想方法，設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算推理路徑. 提高運(yùn)算素養(yǎng)需要在教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.“元化”是運(yùn)算素養(yǎng)的思維的起點(diǎn)和手段，一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力，可以從整體上提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)運(yùn)算;高考試題;基本不等式;函數(shù)與方程

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算是在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，主要包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等. 數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種演繹推理，是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)運(yùn)算的主要表現(xiàn)形式有四個(gè)方面：理解數(shù)和式的有關(guān)算理;能夠根據(jù)法則準(zhǔn)確地進(jìn)行運(yùn)算、變形;能夠根據(jù)條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑;能夠通過(guò)運(yùn)算，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行推理和探求. 下面結(jié)合2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅲ卷理科第23題和數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，筆者談?wù)剬?duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的幾點(diǎn)體會(huì).

題目? 設(shè)[a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1.]

（1）證明：[ab+bc+ca<0;]

（2）用[maxa，b，c]表示[a，b，c]的最大值，證明：[maxa，b，c≥43.]

一、理解數(shù)與式，依據(jù)算理解讀其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)意義

題目條件中給出的是兩個(gè)方程，[a+b+c=0，abc=1，] 其中的三個(gè)變量[a，b，c]在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，從3個(gè)數(shù)的和為0、積為1出發(fā)，可知其中兩個(gè)數(shù)必須小于0，一個(gè)數(shù)大于0. 由于這三個(gè)量有了范圍，自然可以出現(xiàn)[ab+bc+ca<0]這樣的問(wèn)題. 由于三個(gè)量滿足兩個(gè)關(guān)系，根據(jù)解方程的基本思想得知，其中的兩個(gè)量可以用另外一個(gè)量來(lái)表示，因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)換成只考慮一個(gè)量為主元的情境，因此第（2）小題要求證[a，b，c]的最大值大于等于[43]也就容易理解了.

二、立足數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，依靠數(shù)學(xué)思想方法設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算推理路徑

1. 對(duì)第（1）小題進(jìn)行討論

思路1：由于[a+b+c=0，abc=1，ab+bc+ca]都是熟悉的輪換對(duì)稱式，如何從已知單項(xiàng)的和構(gòu)建出交叉乘積的和成為解題的關(guān)鍵，聯(lián)想到代數(shù)式的乘積（完全平方）運(yùn)算可以產(chǎn)生交叉乘積項(xiàng)，從而解決問(wèn)題.

解法1：因?yàn)閇a+b+c=0，]

所以[a+b+c2=0，]

即[a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0.]

所以[ab+bc+ca=-12a2+b2+c2≤0.]

因?yàn)閇abc=1，]

所以[a≠0，b≠0，c≠0.]

所以上式等號(hào)不成立.

故[ab+bc+ca<0.]

思路2：減少變?cè)?jiǎn)代數(shù)式，根據(jù)式子特征，通過(guò)配方，利用平方的非負(fù)性解決問(wèn)題.

解法2：因?yàn)閇a+b+c=0，]

所以[a+b=-c.]

所以[ab+bc+ca]

[=ab+a+bc]

[=ab-a+b2]

[=-a2+ab+b2]

[=-a+b22-34b2]

[≤0.]

因?yàn)閇abc=1，]

所以[a≠0，b≠0，c≠0.]

所以上式等號(hào)不成立.

故[ab+bc+ca<0.]

思路3：減少變?cè)?jiǎn)代數(shù)式，利用函數(shù)思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的問(wèn)題求解.

解法3：因?yàn)閇a+b+c=0，]

所以[a+b=-c.]

所以[ab+bc+ca]

[=ab+a+bc]

[=ab-a+b2]

[=-a2+ab+b2.]

令[fa=-a2+ab+b2.]

顯然關(guān)于a的二次函數(shù)開(kāi)口向下，

判別式[Δ=b2-4b2=-3b2<0，] 即對(duì)應(yīng)的二次方程[fa=-a2+ab+b2=0]無(wú)根.

所以二次函數(shù)[fa=-a2+ab+b2]的最大值小于0.

所以[ab+bc+ca<0.]

思路4：減少變?cè)?jiǎn)成一元函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

解法4：因?yàn)閇a+b+c=0，abc=1，]

所以不妨設(shè)[c>0.]

則[fc=ab+bc+ca=1c+ca+b=1c-c2.]

當(dāng)[c>0]時(shí)，顯然關(guān)于c的函數(shù)是減函數(shù)，

所以當(dāng)[c≥43]時(shí)，[fc≤143-163=-3223<0.]（這里先用第（2）小題的結(jié)論.）

所以[ab+bc+ca<0.]

2. 對(duì)第（2）小題進(jìn)行討論

思路1：減少變?cè)?，保留最大的變量，由于條件中的兩個(gè)等式，一個(gè)是三個(gè)數(shù)的和，一個(gè)是三個(gè)數(shù)的積，聯(lián)想到兩個(gè)變量的和與乘積的不等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)和積互化，從而達(dá)到消去變量的目的. 可以是和向積轉(zhuǎn)換，也可以是積向和轉(zhuǎn)換，進(jìn)而有如下兩種解法.

解法1：因?yàn)閇a+b+c=0，abc=1，]

不妨設(shè)[c>0，b<0，a<0，]

所以[c=-a-b≥2-a-b=2ab=2c，] 當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)取等號(hào).

所以[c3≥4，] 即[c≥43.]

則[maxa，b，c≥43.]

解法2：因?yàn)閇a+b+c=0，abc=1，]

不妨設(shè)[c>0，b<0，a<0.]

所以[1c=ab=4-a-b4≤2-a-b+-a2+-b24=c24.]

當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)取等號(hào).

所以[c3≥4，] 即[c≥43.]

則[maxa，b，c≥43.]

思路2：消去一個(gè)變量，整理方程后發(fā)現(xiàn)方程左邊是二次三項(xiàng)式，將a看為主元，構(gòu)成一個(gè)一元二次方程，利用方程的有解性求解.

解法3：因?yàn)閇a+b+c=0，abc=1，]

不妨設(shè)[c>0，b<0，a<0.]

所以[a+1ac+c=0.]

化簡(jiǎn)得[ca2+c2a+1=0.]

顯然關(guān)于a的一元二次方程[ca2+c2a+1=0]有負(fù)根.

因?yàn)榉匠痰某?shù)項(xiàng)為1，二次項(xiàng)系數(shù)[c>0，]

所以如果有根兩根一定小于0.

所以[Δ=c4-4c≥0.]

因?yàn)閇c>0，]

所以[c3≥4，] 即[c≥43.]

則[maxa，b，c≥43.]

思路3：由于最大的一個(gè)量可以用另外兩個(gè)的和與積來(lái)表示，聯(lián)想到二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，從而構(gòu)造二次方程求解問(wèn)題.

解法4：因?yàn)閇a+b+c=0，abc=1，]

不妨設(shè)[c>0，b<0，a<0，]

所以[a+b=-c，ab=1c.]

所以[a，b]是一元二次方程[x2+cx+1c=0c>0]的兩個(gè)負(fù)根.

所以[Δ=c2-4c≥0.]

所以[c3≥4，] 即[c≥43.]

則[maxa，b，c≥43.]

思路4：從反面分析問(wèn)題，利用反證法求解問(wèn)題.

解法5：因?yàn)閇a+b+c=0，abc=1，]

不妨設(shè)[c>0，b<0，a<0.]

假設(shè)[c<43]，

則[c=-a-b≥2-a-b=2ab=2c>243=43.]

與假設(shè)矛盾.

所以[c≥43，]

即[maxa，b，c≥43.]

三、反思和啟示

1. 落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的根基

運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)要以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)運(yùn)算中涉及的一些運(yùn)算概念、法則、定律，以及成立的條件等都是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，在日常教學(xué)中應(yīng)該得到強(qiáng)化. 如果沒(méi)有必要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的積累，學(xué)生在解題過(guò)程中就很難進(jìn)行分析與綜合、歸納與演繹、類比與遷移等數(shù)學(xué)思維活動(dòng). 章建躍博士認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法為數(shù)學(xué)中深層的基礎(chǔ)知識(shí)，為解決問(wèn)題時(shí)的思維策略.

例如，此題中涉及的配方法，要能夠?qū)⒍稳?xiàng)式合理拆分，配成非負(fù)數(shù)之和，要熟悉二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，能夠通過(guò)它構(gòu)造出二次方程，要清楚一元二次方程的根存在的條件. 再如，對(duì)于基本不等式，[a，b∈][R*，a+b≥2ab，] 當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)取等號(hào)，學(xué)生必須清楚其中蘊(yùn)含的三個(gè)方面的內(nèi)涵：一是不等式成立的條件為a，b都是正實(shí)數(shù)，因此，要將題目中的量轉(zhuǎn)換成正數(shù)[-a，-b∈R*]才能使用此不等式;二是不等式[a+b≥2ab]的結(jié)構(gòu)形式非常重要，能夠?qū)崿F(xiàn)和與積的轉(zhuǎn)換，但是是不等的轉(zhuǎn)換;三是等號(hào)成立的條件，只有能夠取到等號(hào)，結(jié)論才能是[maxa，b，c≥43.]

2. 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是培養(yǎng)其運(yùn)算素養(yǎng)的保障

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)思維和方式觀察、分析世界. 邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出結(jié)論的思維過(guò)程，有效、有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律去解決問(wèn)題是代數(shù)學(xué)的基本思想;數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它類比而發(fā)現(xiàn)需要研究的問(wèn)題和方法，是基本而重要的數(shù)學(xué)思維方式. 可見(jiàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)的重要性，故培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是發(fā)展其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的保障.

數(shù)學(xué)對(duì)象M稱為n元數(shù)學(xué)對(duì)象， 是因?yàn)閿?shù)學(xué)對(duì)象M由n個(gè)元完全確定，并且減少這n個(gè)元中的任何一個(gè)，數(shù)學(xué)對(duì)象M就不確定. 由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)對(duì)象的元及元數(shù)與數(shù)學(xué)對(duì)象的“確定性”之間的關(guān)系，這是我們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的元及元數(shù)的重要標(biāo)準(zhǔn). 在數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象中的元及其之間的關(guān)系和數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)，以及“元化”是解決問(wèn)題的重要手段. 此題的對(duì)象[ab+bc+ca]中有三個(gè)變量，但是這三個(gè)變量由兩個(gè)關(guān)系來(lái)限制，還缺一個(gè)關(guān)系就能確定，“元數(shù)”是1，因此可以化歸到只有一個(gè)可變的主元來(lái)求解，在解法中消去一個(gè)元后，將a看作主元，b看作參數(shù)，就自然地形成了關(guān)于a的二次函數(shù)[fa=-a2+ab+b2，] 進(jìn)而用二次函數(shù)求最值的方法解決了問(wèn)題. 對(duì)于第（2）小題同樣將方程[ca2+c2a+1=0]中的a看成主元，就能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)換成一元二次方程有根的問(wèn)題進(jìn)行求解. 正是由于進(jìn)行“元化”處理，才會(huì)有后面利用函數(shù)方程的思想來(lái)解決問(wèn)題，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的深刻性.

教學(xué)中要注重利用一題多解的教學(xué)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力. 周春荔教授指出，一題多解，表明學(xué)生的思路廣闊，使思維的發(fā)散性提高到了一個(gè)更高的層次或理論適用的各種問(wèn)題，要擴(kuò)大它的應(yīng)用范圍. 羅增儒教授指出，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有在得出兩個(gè)或多個(gè)解法之后，才會(huì)對(duì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)有真正的了解，才能體會(huì)不同的思維所引起的不同運(yùn)算方式，學(xué)生的運(yùn)算能力在不同的思維中得以比較，能夠提升學(xué)生對(duì)常規(guī)習(xí)題的運(yùn)算能力. 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一個(gè)問(wèn)題或?qū)ο髲亩喾矫婵紤]、多角度觀察，將多個(gè)對(duì)象相互聯(lián)系進(jìn)行思考，類比歸納、抽象概括等，從而抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征和特殊條件，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的突破口. 由于學(xué)生的思維品質(zhì)是不同的，一題多解擴(kuò)展了學(xué)生的思維空間，進(jìn)而提升了整體的教學(xué)效果. 就上述題目來(lái)講，題干中給出的是三個(gè)變量，只有兩個(gè)確定的關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于某個(gè)主元的問(wèn)題求解，這就是問(wèn)題的本質(zhì)，消去一個(gè)元或者兩個(gè)元后，可以用函數(shù)方程的思想方法求解. 同時(shí)，發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系一個(gè)是和、一個(gè)是積，這是兩個(gè)特殊條件，正好對(duì)應(yīng)于基本不等式中出現(xiàn)的和與積的這種結(jié)構(gòu)，進(jìn)而通過(guò)聯(lián)系類比找到新的解法. 從思維的層面來(lái)看，還可以逆向思維，從反面考慮發(fā)現(xiàn)可以利用反證法解決問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

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[4]羅增儒. 解題分析——人人都能做解法的改進(jìn)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998（7）：29-30.

收稿日期：2020-09-19

作者簡(jiǎn)介：汪衛(wèi)先（1972— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.