讓數(shù)學(xué)思維自然生長(zhǎng)

摘? 要：幾何概型是隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果無窮多的一種概率模型. 教師通過材料，為學(xué)生提供不同的思維方向，讓學(xué)生自己去思考、選擇，從而形成認(rèn)知沖突，找到對(duì)無窮多試驗(yàn)結(jié)果的一種度量方式，讓幾何概型與古典概型在測(cè)度上形成統(tǒng)一，讓有限與無限形成統(tǒng)一，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：幾何概型;基本事件;基本事件個(gè)數(shù);基本事件個(gè)數(shù)的度量

數(shù)學(xué)是思維的體操，學(xué)生要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界. 好的課堂教學(xué)能使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，掌握數(shù)學(xué)思想方法. 讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考的教學(xué)，不是將數(shù)學(xué)的思想方法直接灌輸給學(xué)生，而是通過材料，提供不同的思維方向，讓學(xué)生自己去思考、選擇，最后形成解決某一（類）問題的數(shù)學(xué)思想方法，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

在幾何概型教學(xué)中，為了提高教學(xué)水平，筆者拜讀了關(guān)于幾何概型教學(xué)設(shè)計(jì)的系列文章（見參考文獻(xiàn)），對(duì)幾何概型教學(xué)進(jìn)行了二次設(shè)計(jì). 下面是筆者關(guān)于幾何概型的教學(xué)過程與思考，望各位同仁指教.

一、教學(xué)過程

1. 思維沖突一：基本事件及度量

學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了古典概型及其求法，教師先引導(dǎo)學(xué)生解決例1.

例1? 某種飲料每箱6瓶，如果其中有2瓶不合格，問質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽出2瓶，檢測(cè)出不合格飲料的概率有多大？

解：① 確定基本事件（試驗(yàn)結(jié)果）：從6瓶中隨機(jī)抽出2瓶.

② 列出所有的基本事件. 將合格的飲料標(biāo)記為1，2，3，4，不合格的飲料標(biāo)記為[a，b]，不放回抽取2瓶，所有可能的基本事件如下：[1，2]，[1，3]，[1，4]，[1，a]，[1，b]，[2，3]，[2，4]，[2，a]，[2，b]，[3，4]，[3，a]，[3，b]，[4，a]，[4，b]，[a，b].

每一個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，所有的基本事件一共有[15]個(gè)，記為[n].

③ 事件[A=][抽出的2瓶飲料有不合格產(chǎn)品]，包含的基本事件的個(gè)數(shù)為[9]，記為[nA].

④ 概率[PA=A包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)=nAn=][915=35].

古典概型的思維步驟：確定基本事件;通過列出所有的基本事件計(jì)算出所有的基本事件的個(gè)數(shù)[n];求出事件[A]包含的基本事件的個(gè)數(shù)[nA];求概率[PA=][nAn]. 接著，教師引導(dǎo)學(xué)生解決例2.

例2? 一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤如圖1所示（每一部分的圓心角均四等分或八等分周角），甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，當(dāng)指針指向[B]區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝. 求甲獲勝的概率.

【設(shè)計(jì)意圖】例1為標(biāo)準(zhǔn)的古典概型問題，它與例2看似無關(guān)，但應(yīng)該關(guān)注其思想方法，而不是其外在形式. 兩道例題都選自教材，教學(xué)時(shí)要用好教材，盡量挖掘教材的內(nèi)涵和價(jià)值.

生1給出解法1，如下.

解法1：① 基本事件：指針指向的區(qū)域.

② 列出所有的基本事件：指向[N]的區(qū)域有3個(gè)，指向[B]的區(qū)域有3個(gè)， 一共有[6]個(gè)區(qū)域.

③ 事件[A=指向B區(qū)域]，包含的基本事件的個(gè)數(shù)為[3].

④ 概率[PA=36=12].

生2：這幾個(gè)區(qū)域有大有小，試驗(yàn)結(jié)果不是等可能的，這不是古典概型.

生3：添加輔助線，將圓盤八等分，如圖2所示，使指針指向每個(gè)扇形區(qū)域的可能性相等，則概率[PA=][48=12].

師：第一次指針指向[B]區(qū)域，第二次指針指向另一位置的[B]區(qū)域，兩次試驗(yàn)的結(jié)果是否等可能？

生4：我認(rèn)為基本事件不是區(qū)域，而是指針的指向，指向圓?。ǖ綀A心距離相等）上的點(diǎn)，指針指向圓弧上不同的兩點(diǎn)是兩個(gè)不同的基本事件，指向圓弧上每一個(gè)點(diǎn)都是等可能的，所以基本事件可以用幾何元素——點(diǎn)（指針指向圓弧上的點(diǎn)）來代表，可是這樣的基本事件又有一個(gè)問題：基本事件有無數(shù)多個(gè)，事件[A=][指向B區(qū)域]中所包含的基本事件（指針指向[B]區(qū)域中圓弧上的點(diǎn)）也有無數(shù)多個(gè)，怎么辦？

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們討論生4提出的兩個(gè)問題. 基本事件是指針指向圓弧上的點(diǎn)，指向任意一點(diǎn)都是等可能的嗎？基本事件個(gè)數(shù)無窮多，怎么辦？

學(xué)生討論.

師：基本事件個(gè)數(shù)無窮多，有什么辦法可以解決？從現(xiàn)實(shí)生活中的事例能否得到啟示？例如，稻谷的粒數(shù)太多無法計(jì)量就用重量來度量，水的分子數(shù)太多無法計(jì)量就用容積來度量，等等.

學(xué)生由此聯(lián)想到指針指向圓弧上的點(diǎn)排列起來可以用長(zhǎng)度來度量. 生4給出這個(gè)問題的解答，如下.

① 基本事件：指針指向圓弧（到圓心距離相等的點(diǎn)）上的點(diǎn).

② 所有基本事件=[指針指向圓弧上的所有點(diǎn)]，所有基本事件所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為[2πr]（[r]為點(diǎn)到圓心的距離），記為[n].

③ 事件[A=指針指向B區(qū)域中圓弧上的點(diǎn)]，構(gòu)成事件[A]的區(qū)域長(zhǎng)度為[πr]，記為[nA].

④ 概率[PA=nAn]=[πr2πr=12].

師：數(shù)量太多無法計(jì)量，就用其他單位來度量. 集合的元素個(gè)數(shù)太多無法計(jì)數(shù)時(shí)，就用其他單位來度量，或稱測(cè)度. 為了簡(jiǎn)化表達(dá)，我們約定所有基本事件的集合用[Ω]表示. 此題中，其測(cè)度值[lΩ=2πr]，事件[A]的測(cè)度值[lA=πr]，[PA=lAlΩ].

這個(gè)問題還可以進(jìn)行如下解釋：基本事件是指針的指向，就是方向射線，方向射線可以用幾何元素“角”來表示，角可以度量，得到解法2.

解法2：① 基本事件：指針的指向角.

② 所有基本事件[Ω=所有指向角，] [lΩ=360°].

③ [A=][指向B區(qū)域的角]，[lA]=[45°]+[90°]+[45°]=[180°].

④ 概率[PA=][lAlΩ=180°360°=12.]

【評(píng)析】知識(shí)建構(gòu)的過程也是問題解決的過程. 設(shè)置問題情境，引發(fā)學(xué)生思考探究，在問題解決的過程中，發(fā)現(xiàn)原有的知識(shí)方法不足以解決問題，而需要引入新概念、新方法才能解決時(shí)，新的知識(shí)自然而然就出現(xiàn)了. 在例2的求解過程中，使用的方法還是求古典概型的方法，只不過基本事件的個(gè)數(shù)無法度量而引入了新的度量方法，由此就建立了新的概率模型，即幾何概型. 這樣的知識(shí)建構(gòu)不僅位于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，容易將新知識(shí)融入學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，而且直指新知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)容，這樣就不會(huì)使學(xué)生空泛地知道幾何概型大致是與幾何有關(guān)的概率模型，卻不了解幾何概型中最本質(zhì)的基本事件是什么. 由此可知，設(shè)置合乎知識(shí)內(nèi)在發(fā)展邏輯的問題情境尤為重要.

2. 思維沖突二：用幾何中的點(diǎn)代表數(shù)

例3? 某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)手表停了. 他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.

師：電臺(tái)是每小時(shí)報(bào)時(shí)一次，在0 ～ 60分鐘之間任何時(shí)刻打開收音機(jī)聽到報(bào)時(shí)的可能性相等，雖然0 ～ 60分鐘之間有無窮多個(gè)時(shí)刻，無法計(jì)數(shù)，但是時(shí)間可以度量.

生5給出解法，如下.

解：① 基本事件：打開收音機(jī)的時(shí)刻.

② [lΩ=60]分鐘.

③ [A=][打開收音機(jī)等待的時(shí)間不多于10分鐘，即][時(shí)刻位于50，60時(shí)間段內(nèi)，lA=60-50=10]分鐘.

④ [PA=lAlΩ]=[1060=16].

師：0 ～ 60分鐘之間，分針剛好轉(zhuǎn)了一圈，所以打開收音機(jī)的時(shí)刻可以以分針的指向角來表示.

生6給出解法，如下.

解：① 基本事件：打開收音機(jī)時(shí)分針的指向角.

② [lΩ=360°].

③[A=][等待的時(shí)間不多于10分鐘的分針指向角]，[lA=60°].

④[PA=lAlΩ=60°360°=][16.]

師：每個(gè)時(shí)刻都可以用一個(gè)數(shù)來表示，0 ～ 60分鐘之間有無窮多個(gè)時(shí)刻，那么就有無窮多個(gè)數(shù)，而這些數(shù)是連續(xù)的，又該如何度量？

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，無數(shù)個(gè)連續(xù)的實(shí)數(shù)在數(shù)軸上排列形成線段，度量值就是這條線段的長(zhǎng)度. 例如，[A=x0<x<10]，[lA=10]，如圖3所示.

生7給出解法，如下.

解：① 基本事件：0 ～ 60之間所有的數(shù).

②[lΩ=60].

③[A=50，60]，[lA=60-50=10].

④[PA=lAlΩ]=[1060=16].

由此可知，在所學(xué)的概率模型中，當(dāng)基本事件（試驗(yàn)結(jié)果）的個(gè)數(shù)無法計(jì)量時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)或角，其概率就是點(diǎn)或角構(gòu)成區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）或角度的比值. 這種概率模型就是幾何概型.

【評(píng)析】幾何概型本質(zhì)上是試驗(yàn)的所有結(jié)果無窮多，讓學(xué)生在不同情境中體會(huì)什么是“所有結(jié)果無窮多的度量”，加深對(duì)幾何概型的理解，也就明白了教材編寫者的用意. 時(shí)刻的表示方式有很多種，既可以直觀地用指針的方向表示，也可以用實(shí)數(shù)表示. 學(xué)生可以自然地想到用數(shù)軸上的點(diǎn)來度量這些實(shí)數(shù)，即用形表示數(shù)，這就在無形中發(fā)展了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

3. 思維沖突三：從一維到二維

例4? 假設(shè)小明家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30 — 7：30之間把報(bào)紙送到家中，小明的父親離開家去上班的時(shí)間在早上7：00 — 8：00之間，問小明的父親在離開家前拿到報(bào)紙（稱為事件[A]）的概率是多少？

生8：這里有兩個(gè)時(shí)間，一個(gè)是送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間，另一個(gè)是父親離開家的時(shí)間，基本事件是哪一個(gè)？

師：之前我們拋甲、乙兩顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有兩個(gè)，基本事件是什么？

生8：甲、乙兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為[x，y]，用實(shí)數(shù)對(duì)[x，y]表示. 哦，我明白了！設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為[x]，父親離開家的時(shí)間為[y]. ① 基本事件為：[x，y]. ② 所有的基本事件（所有試驗(yàn)結(jié)果）為：[Ω=][x，y6：30≤x≤7：30，7：00≤y≤8：00]. 基本事件個(gè)數(shù)不可數(shù)，需要用度量值，那么如何度量？

師：實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)，實(shí)數(shù)對(duì)[x，y]對(duì)應(yīng)平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)，無數(shù)個(gè)連續(xù)的實(shí)數(shù)對(duì)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)排列形成平面圖形，度量值就是這個(gè)平面圖形的面積.

生8：現(xiàn)在我知道如何解了，如圖4所示，[Ω]的面積[SΩ=][1×1=1]，[A=][父親在離開家前能得到報(bào)紙]=[x，yy≥x，6：30≤x≤7：30，7：00≤y≤8：00]，[A]的面積[SA=1-12×12×12=78]，概率[PA=SASΩ=78].

師：實(shí)數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，實(shí)數(shù)對(duì)[x，y]用平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)表示，實(shí)數(shù)組[x，y，z]就可以用空間中的點(diǎn)表示，這就是數(shù)形結(jié)合思想，即把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成形的問題思考.

【評(píng)析】理解教材的設(shè)計(jì)意圖和內(nèi)在的知識(shí)聯(lián)系，了解知識(shí)的發(fā)生發(fā)展是由淺入深、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的，學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律也是如此. 通過類比，讓學(xué)生掌握一種基本數(shù)學(xué)思想：一個(gè)量可以用一維數(shù)軸（直線）上的點(diǎn)表示，兩個(gè)量可以用二維平面上的點(diǎn)[x，y]表示，三個(gè)量用三維空間中的點(diǎn)[x，y，z]表示，……這也就是用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

4. 思維沖突四：從無限到有限

例5 （1）在[0，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，求取到0.5的概率.

（2）在例2中，指針指向[B]區(qū)域與[N]區(qū)域的分界線的概率是多少？誰獲勝？

通過具體實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)到有限相對(duì)無限的概率為0. 由此導(dǎo)致了古典概型與幾何概型之間產(chǎn)生一些差異.

生9：0.5對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的長(zhǎng)度為0，[PA=][lAlΩ=01=0].

生10：[B]區(qū)域與[N]區(qū)域的分界線有6條，對(duì)應(yīng)圓弧上有6個(gè)點(diǎn)，[lA=6×0=0]，[PA=lAlΩ=02πr=][0]，指向分界線的概率為0，所以對(duì)誰獲勝都沒影響.

師：對(duì)于第（1）小題，也可以用古典概型來理解，[PA=][nAn]=[1∞=0]，就像是從游泳池中隨機(jī)抽取一個(gè)水分子，抽到某個(gè)特定水分子的概率肯定為0. 因?yàn)槭录A]的概率是其發(fā)生頻率隨試驗(yàn)次數(shù)增加的穩(wěn)定值，在這個(gè)問題中穩(wěn)定值為0也就不難理解了，因此，數(shù)學(xué)有時(shí)很美妙，有時(shí)也很奇怪.

在幾何概型中，概率為0的事件不一定是不可能事件，概率為1的事件也不一定是必然事件，這與古典概型不同. 隨機(jī)事件[A]的概率范圍由古典概型中的[0<PA<1]，擴(kuò)充到了幾何概型中的[0≤PA≤1]. 甚至還有，在區(qū)間[0，1]上任取一個(gè)數(shù)，取到有理數(shù)的概率為0.

練習(xí)：若[PA？B=PA+PB=1]，則事件[A]與事件[B]的關(guān)系是（??? ）.

（A）互斥不對(duì)立??? （B）對(duì)立不互斥

（C）互斥且對(duì)立??? （D）以上答案都不對(duì)

【評(píng)析】對(duì)基本事件個(gè)數(shù)的度量方式不同，因此幾何概型有它獨(dú)特的性質(zhì)，這些性質(zhì)奇特而美妙，雖然不符合直觀感覺，但是經(jīng)過內(nèi)在邏輯計(jì)算得到后，會(huì)發(fā)現(xiàn)也在情理之中. 讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的美、體會(huì)到數(shù)學(xué)的妙，這同樣是用數(shù)學(xué)眼光欣賞世界. 當(dāng)教師提出“取到有理數(shù)”的概率為0時(shí)，還會(huì)引發(fā)學(xué)生通過課外閱讀進(jìn)一步探索的欲望，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣也會(huì)由此點(diǎn)燃. 這是不能通過學(xué)生大量做題獲得的，需要教師挖掘教材內(nèi)涵，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)那榫常拍苁箤W(xué)生充分領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想之美.

二、教學(xué)思考

1. 基本事件的幾何元素

幾何概型中最重要的是理解表示基本事件（試驗(yàn)結(jié)果）的幾何元素是什么. 對(duì)于同一個(gè)問題可以選擇不同的幾何元素，但基本事件的發(fā)生必須等可能. 下面兩道例題的出錯(cuò)率非常高，有時(shí)即便能夠解答正確也無法說清楚解題思路.

例6? 在區(qū)間[-1，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)[x]，則[cosπx2]的值介于0到[12]之間的概率為（??? ）.

（A）[13]??&nbsp;????????????????????????????????? （B）[2π]

（C）[12]?????????????????????????????????&nbsp;?? （D）[23]

簡(jiǎn)解：① 基本事件：區(qū)間[-1，1]上的數(shù)[x].

② [lΩ=2].

③ [A=x0<cosπx2<12，且-1≤x≤1]

[=x23<x<1或-1<x<-23，]

[lA=23].

④ [PA=lAlΩ=13].

例7? 如圖5，給定兩個(gè)單位平面向量[OA]和[OB]，它們的夾角為120°. 點(diǎn)[C]為以[O]為圓心的圓弧[AB]上任意一點(diǎn)，且[OC=xOA+yOB]（其中[x，y∈][R]），則滿足[x+y≥2]的概率是（??? ）.

（A）[2-2]????????????????????????? （B）[34]

（C）[π4]????????????????????????????????? （D）[23]

簡(jiǎn)解：① 基本事件：圓弧[AB]上的點(diǎn).

② [lΩ=][2π3].

③ [A=點(diǎn)COC=xOA+yOB，x+y≥2]，[x，y∈R.]

過點(diǎn)[C]作[AB∥AB]，交[OA]于點(diǎn)[A]，交[OB]于點(diǎn)[B]，作[CE∥OB]，交[OA]于點(diǎn)[E]，作[CF∥OA]，交[OB]于點(diǎn)[F]，如圖6所示.

則[OC=OE+OF=xOA+][yOB].

所以[x=OE]，[y=OF=CE=EA].

當(dāng)[x+y=][OA=2]時(shí)，

由正弦定理，得[∠OCA=135°]，[∠COA=][15°].

所以點(diǎn)[C]在15°至105°的圓弧上，[lA=π2].

④[PA=lAlΩ=34].

只要分清基本事件是什么，就容易區(qū)分下列容易混淆的兩道經(jīng)典題.

例8? 如圖7，在等腰直角三角形[ABC]的斜邊[AB]上任取一點(diǎn)[M]，求[AM<AC]的概率.

說明：基本事件是[AB]上的點(diǎn);[lΩ=2AC].

例9? 如圖8，在等腰直角三角形[ABC]中，過直角頂點(diǎn)[C]在[∠ACB]內(nèi)部任作一條射線[CM]， 與線段[AB]交于點(diǎn)[M]， 求[AM<AC]的概率.

說明：基本事件是射線[CM]的方向，用射線[CM]與邊[CA]的夾角表示;[lΩ=π2].

2. 基本方法

求古典概型和幾何概型的基本方法是一樣的.

首先，確定基本事件（試驗(yàn)結(jié)果）的發(fā)生必須是等可能的;其次，求基本事件的個(gè)數(shù)[n]，如果無法求出則用幾何元素點(diǎn)或方向來代表基本事件;再次，找到幾何元素組成的圖形，求事件[A]中包含的基本事件的個(gè)數(shù)[nA];最后，求概率[PA=nAn].

這樣一來，為什么命名為幾何概型，以及為什么要求幾何概型就清楚明了了. 同時(shí)，從生活中理解了測(cè)度的概念：稻谷的粒數(shù)太多無法計(jì)數(shù)粒數(shù)就用重量來度量，水的分子數(shù)太多無法計(jì)數(shù)就用容積來度量.

3. 貝特朗（Bertrand）問題

幾何概型一般是用幾何元素（角或點(diǎn)）表示基本事件，下面我們以角和點(diǎn)表示基本事件，分別說明著名的“貝特朗（Bertrand）問題”.

貝特朗（Bertrand）問題：若在半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)地取一條弦，則其長(zhǎng)度超過該圓的內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率是多少？

用弦心角來表示弦，不同弦長(zhǎng)所對(duì)的弦心角不同，不同的同長(zhǎng)弦（弦心角）都是繞圓心旋轉(zhuǎn)一周，是等可能的. 問題轉(zhuǎn)化為：① 基本事件為弦心角;②[lΩ]= [180°];③ [A=弦心角大于120°]，[lA=180°-120°=60°];④ [PA=lAlΩ=60°180°=13].

如果用弦的中點(diǎn)表示弦，則不同弦長(zhǎng)的弦所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不同，不同弦長(zhǎng)的弦繞圓心旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，中點(diǎn)排列所組成的圓的測(cè)度（長(zhǎng)度）不同，不是等可能的，所以用弦的中點(diǎn)作為基本事件，[lΩ=π]，超過內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的弦的中點(diǎn)在半徑為[12]的圓內(nèi)，[lA=π4]，[PA=14]，這樣求解就是錯(cuò)的. 同樣，用弦心距[d]作為表示不同弦長(zhǎng)的基本事件也是錯(cuò)誤的. 因此，涉及旋轉(zhuǎn)或方向的問題，要用角表示基本事件.

三、結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師需要關(guān)注題型，關(guān)注題目?jī)?nèi)在知識(shí)與思想方法之間的聯(lián)系，重視概念和思想的形成過程. 真正的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想.

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收稿日期：2020-07-02

作者簡(jiǎn)介：李定平（1965— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與高考試題研究.