從中國(guó)版《幾何原本》研究測(cè)度幾何

程碧波

摘要：本文基于中國(guó)版《幾何原本》重新審視測(cè)度問(wèn)題，提出幾何與幾分理論下的測(cè)度等、測(cè)度鄰域、測(cè)度勢(shì)和測(cè)度連續(xù)等定義，并給出新理論下的確界定理、區(qū)間套定理、中值定理等。

關(guān)鍵詞：測(cè)度;幾何;幾何原本;測(cè)度幾何

本文基于徐光啟版《幾何原本》（以下稱(chēng)中國(guó)版《幾何原本》）重新審視測(cè)度問(wèn)題。中國(guó)版《幾何原本》卷五第一界，闡述了“幾何”之含義：“分者，幾何之幾何也。小能度大，以小為大之分。以小幾何度大幾何謂之分。曰，幾何之幾，何者謂非？此小幾何不能為此大幾何之分也。如一點(diǎn)無(wú)分亦非幾何，即不能為線(xiàn)之分也。一線(xiàn)無(wú)廣狹之分，非廣狹之幾何，即不能為面之分也。一面無(wú)厚薄之分，非厚薄之幾何，即不能為體之分也。曰，能度大者謂小幾何，大幾何能盡大之分者也。”這段話(huà)清晰地闡述了何為“幾何”：某量可以被更小的某度來(lái)分盡，既無(wú)不足亦無(wú)余數(shù)的，此量即為大幾何，此度即為小幾何。如果不能分盡，就“不為大幾何內(nèi)小幾何也”，換言之，就不叫幾何。本段對(duì)不能分盡的，給出了另一個(gè)專(zhuān)門(mén)名詞“幾分”?！叭舨槐M分者，當(dāng)稱(chēng)幾分”。

一、切邊角、曲線(xiàn)角與無(wú)窮小量的圖形與數(shù)學(xué)表示

通常認(rèn)為可繪制出的量均為有限小量，但中國(guó)版《幾何原本》給出了可繪制的無(wú)窮小量“切邊角”?！扒羞吔恰奔辞芯€(xiàn)與曲線(xiàn)的夾角，其無(wú)限趨于0但實(shí)際上并不等于0。進(jìn)一步地，“切邊角”是導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)的代表，絕大多數(shù)導(dǎo)數(shù)值的極限為有窮值，但導(dǎo)數(shù)值本身并不是有窮值。例如：

（1）式即中國(guó)版《幾何原本》所說(shuō)的“曲線(xiàn)角”，其值包含無(wú)窮小量。通常說(shuō)其實(shí)取的是時(shí)的極限值，即直線(xiàn)角斜率。任何時(shí)候的曲線(xiàn)角與斜率相差小量。因此可繪制出的量中通常均有無(wú)窮小量。由（1）亦可知，將舍棄為0的后果，是失去了“曲線(xiàn)”的特征。更一般地，現(xiàn)代數(shù)學(xué)把點(diǎn)作為線(xiàn)的構(gòu)成部分，把單點(diǎn)作為無(wú)窮區(qū)間套的唯一公共點(diǎn)，都表明現(xiàn)代數(shù)學(xué)認(rèn)為存在尺度為無(wú)限小乃至0的圖形。

下文將含有無(wú)窮大、無(wú)窮小項(xiàng)的數(shù)值稱(chēng)為無(wú)窮數(shù)值，否則稱(chēng)為有窮數(shù)值。并用表示所有正無(wú)窮小數(shù)，表示所有負(fù)無(wú)窮小數(shù)。因此表示既不無(wú)窮小亦不無(wú)窮大的數(shù)（但既可能有窮也可能無(wú)窮），稱(chēng)為有限數(shù)。

二、現(xiàn)有極限、連續(xù)及相關(guān)定理存在的問(wèn)題

當(dāng)前的數(shù)學(xué)體系對(duì)測(cè)度的理解存在較大的問(wèn)題，這也說(shuō)明此數(shù)學(xué)體系的確是在中國(guó)版《幾何原本》的基礎(chǔ)上發(fā)展，但卻錯(cuò)誤中國(guó)版《幾何原本》關(guān)于測(cè)度的闡述，從而出現(xiàn)方向性的問(wèn)題。