淺談高中數學教材中“1”的七十二變

葉其基

摘 要：高中數學教材中，許多題目的解答離不開“1”的身影，“1”就像孫悟空會七十二變，靈活掌握這些“1”的變化，給我們解題帶來極大的方便，本文就從指對函數，三角函數，不等式，二項式定理四個方面來尋找“1”的七十二變。

關鍵詞：高中數學;“1”;指對函數;三角函數;不等式;二項式定理

一、指對函數中“1”的妙用

在指數函數和對數函數中，“1”在解決比較大小，過定點等題目中起到一個十分巧妙的作用。用上了“1”這個橋梁，許多問題就會迎刃而解。

例1（必修一p57）比較的大小

解：因為 ? 所以

方法小結：因為1.7和0.9不相等，所以這兩個函數的大小不能直接利用單調性來判斷大小，故要找到一個橋梁，把這兩個值連接起來，通過這個橋梁“1”分別和這兩個數分別比較大小，然后確定這兩個函數值的大小。這里利用了“”這個變化。

例2（必修一p82）比較 的大小

解：因為 ? 所以>

方法小結：這兩個對數不是同底，故也是不能用單調性來解決，這個時候用上了“”這個變化，順利地把這兩個函數值的大小比較出來。

例3函數的圖像恒過定點p，點p的坐標為

解：令 x-3=0，這時x=3，則，故函數的圖像過定點（3，3），即點 P的坐標為（3，3）

方法小結：指數函數的圖像過定點（0，1），據此可解決形如的函數圖像過定點問題，即令，函數圖像過定點，這里就要抓住這個變化。

例4.函數的圖像恒過定點

解：令x+3=1，這時x=-2，則，故函數的圖像恒過定點（-2，-1）

方法小結：對數函數的圖像恒過點（1，0），據此可解決形如的函數過定點問題，即令x+c=1，即x=1-c，得y=b，函數圖像過定點（1-c，b），這里就要抓住這個變化。

二、三角函數中“1”的變化

在三角函數中，“1”也是一個多面手，常見的變化是同角三角函數在的平方關系和tan45°=1，這些變化對我們解決相關的問題是很關鍵的。

例5.（必修四 p69）已知tanα=3，計算sinαcosα

解：原式====

方法小結：在三角函數當中經常要用上，但是題目往往不會直接給出，要像例5那樣要無中生有，利用“”的性質，變出個“1”來。所以在解題的時候一定要找準方法，留意這個“1”的妙用。

例6.（必修四p130）計算

解： =

方法小結：在正切函數當中往往隱藏著tan45°=1這個條件，許多時候用上了“1”這個變化在求解中馬上就可以把非特殊值的角度算成特殊值的角度，從而達到解題的目的。

三、“1”在基本不等式中的靈活變化

例7.（選修4-5p35）設，，求證：

證明：因為 所以=（a+b）（） = ≥ =4

當且僅當時，即時，等號成立。

方法小結：在不等式證明或者求最值的時候，需要我們來創(chuàng)造這個條件“”。這里“1”的這個變化就能給我們創(chuàng)造“定值”，但是有些題目中并沒有直接給出“1”，我們就要把“1”變出來或者挖掘題目當中隱含的“1”出來，所以在解題中我們一定要多留意題目中數據的特點，多積累一些常用的變化，這給我們解題會帶來意想不到的效果。

四、不等式證明中“1”的代換。

例8（選修4-5p22）已知是正數，求證：，當且僅當時，等號成立。

證明：將兩邊不等式相除，得

根據要證的不等式的特點（交換的位置，不等式不變），不妨設>0，于是 所以 ?當且僅當時，等號成立，故

方法小結：在不等式證明中一般用“作差比較法”和“作商比較法”，其中一個“作商比較法”往往就是要借助“1”的代換來證明證明一些比較復雜的不等式證明題.即：當時，

五、“1”在二項式定理中的妙用

例9（選修2-3p40）用二項式定理證明5555+9能被8整除

證明：因為5555+9=（56-1）55+9=

由于各項都含有因數8，故能被8整除，即5555+9能被8整除

方法小結：面對一些高次方的多項式整除問題，我們就可以考慮把這個高次方的數變成一個數與“1”的運算，即：，從而變成二項式定理的應用，通過二項式定理的展開運算來達到我們解題的目的。

高中數學教材中“1”的七十二變在解題中起著許多神奇的作用，借助“1”的變化來達到“化難為易，化繁為簡”的目的，重視“1”的靈活運用，會找到解題的“1”想不到的方法，會起到“1”點通的妙效。當然，“1”在教材中還有許多變化，需要我們在平時的教學當中不斷總結和歸納。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書數學必修1 4 [M].北京.人民教育出版社