試題解析

何婷

【問(wèn)題】

（2017本溪）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B（3，0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線AC與拋物線的另一交點(diǎn)為C（4，），與y軸交點(diǎn)為D，點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合）.

（1）求該拋物線的解析式;

（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，作PF∥y軸交直線AC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段EF的長(zhǎng)度為m，求m與t的函數(shù)關(guān)系式;

（3）點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△OPQ是以O(shè)P為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【背景】

1.試題出處：本題選自2017年本溪市中考數(shù)學(xué)試題的26題，是一題三問(wèn)的二次函數(shù)代幾綜合題，第一問(wèn)為待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，第二問(wèn)為運(yùn)用相似求兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，第三問(wèn)為直角三角形存在性問(wèn)題，此題適合于初三學(xué)生在中考綜合復(fù)習(xí)時(shí)使用.

2.涉及知識(shí)點(diǎn)：待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)表達(dá)式;三角形相似;等腰直角三角形性質(zhì)、三角形全等、垂直定義.

3.涉及思想方法：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、模型思想、類比思想.

4.題目難點(diǎn)：

（1）學(xué)生代數(shù)幾何綜合解題能力較弱，難以尋找解題思路;

（2）學(xué)生將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已學(xué)習(xí)的基本模型問(wèn)題的能力較弱.

【任務(wù)】

學(xué)生經(jīng)過(guò)了初中三年的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了三角形全等、三角形相似及二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，能夠熟練運(yùn)用全等的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題，能夠運(yùn)用三角形相似求線段長(zhǎng)、確定兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，也具備了一定的推理及運(yùn)算能力，但學(xué)生將代數(shù)、幾何知識(shí)綜合運(yùn)用的能力較弱，故講解時(shí)應(yīng)注重解題策略分析、方法歸納，引導(dǎo)學(xué)生逐步具備將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已學(xué)習(xí)的基本模型問(wèn)題的意識(shí)尤為重要。

【分析】

第一問(wèn)待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式學(xué)生掌握較好，這里就不再講解，提醒學(xué)生計(jì)算一定要準(zhǔn)確，表達(dá)式是解答后面兩問(wèn)的前提。

審題及解題策略分析

問(wèn)題（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，作PF∥y軸交直線AC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段EF的長(zhǎng)度為m，求m與t的函數(shù)關(guān)系式.

抓住已知和隱含條件分析解題思路：

解題過(guò)程如下：

問(wèn)題（3）點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△OPQ是以O(shè)P為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

最后一問(wèn)對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)相對(duì)較難，為了讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、抓住知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系，掌握解題方法，應(yīng)先從下面這道題由淺入深引導(dǎo)學(xué)生思維：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，3），在x軸上找一點(diǎn)C使得△ABC是直角三角形，求點(diǎn)C坐標(biāo).

初三學(xué)生已經(jīng)具備了分類討論意識(shí)和分析能力，很容易想到此題需分類討論直角三角形的直角頂點(diǎn)，進(jìn)而引出：

兩線一圓得坐標(biāo)：

（1）若∠A為直角，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C;

（2）若∠B為直角，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C;

（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C.（直徑所對(duì)的圓周角為直角）

重點(diǎn)還是如何求得點(diǎn)坐標(biāo)，C1，C2求法相同，以C2為例：

構(gòu)造一線三直角模型：

C3，C4求法相同，以C3為例：

構(gòu)造一線三直角模型步驟：

第一步：過(guò)直角頂點(diǎn)作一條水平或豎直的直線;

第二步：過(guò)另外兩端點(diǎn)向該直線作垂線，即可得一線三直角相似.

接下來(lái)，我們來(lái)解第（3）問(wèn)，△OPQ是以O(shè)P為直角邊的等腰直角三角形，因?yàn)橄薅艘粭l直角邊，此時(shí)只需分兩種情況，即∠OPQ為直角或∠POQ為直角，由于等腰的條件存在，因此一線三直角相似模型就變成了一線三直角全等模型，由對(duì)應(yīng)邊成比例列方程，變?yōu)楦鼮楹?jiǎn)單的由對(duì)應(yīng)邊相等列方程，應(yīng)用的模型為：

【目的】

本題是利用幾何圖形的性質(zhì)結(jié)合代數(shù)知識(shí)來(lái)考察的一道代幾綜合題，最后一問(wèn)是等腰直角三角形存在性問(wèn)題，用到了幾何中常見(jiàn)的一線三直角模型，縱觀遼寧省歷年各市中考試題中，此類型題屢見(jiàn)不鮮，例如：近三年有2019阜新中考第22題、2019鐵嶺中考第26題、2018朝陽(yáng)中考第25題、2018沈陽(yáng)中考第25題、2017本溪中考第26題、2017阜新中考第22題都考過(guò)此類型，做題時(shí)要根據(jù)直角頂點(diǎn)確定與否進(jìn)行分類討論，構(gòu)造三垂直模型，借助三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等列方程求解.對(duì)于構(gòu)造三垂直來(lái)說(shuō)，直角頂點(diǎn)已知的和直角頂點(diǎn)未知的完全就是兩個(gè)題目，直角頂點(diǎn)未知也許能畫(huà)出大概位置，但如何能畫(huà)出所有情況，才是問(wèn)題的關(guān)鍵，其實(shí)只要明確一點(diǎn)，畫(huà)出其中一種草圖構(gòu)造出三垂直后，表示出一組對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)相等關(guān)系列方程求解即可.事實(shí)上，無(wú)論直角頂點(diǎn)確定與否，所有的情況都可以歸結(jié)為同一個(gè)方程：OM=QN或PM=QN，故只需在用點(diǎn)坐標(biāo)表示線段時(shí)加上絕對(duì)值，便可計(jì)算出可能存在的其他情況.由此可以拓展到一般直角三角形存在性問(wèn)題的處理，同樣構(gòu)造三垂直，區(qū)別于等腰直角構(gòu)造的三垂直全等，沒(méi)了等腰的條件只能得到三垂直相似，再利用對(duì)應(yīng)邊成比例列方程求解即可.題型的變化在于動(dòng)點(diǎn)或許在某條直線上，也可能在拋物線上等.