吳國(guó)連
摘 要:近些年來(lái),隨著我國(guó)教育體制的深化改革,素質(zhì)教育的全面推進(jìn),傳統(tǒng)的教學(xué)模式已經(jīng)無(wú)法適應(yīng)當(dāng)前的教育需求。為此,如何改變這一現(xiàn)狀已經(jīng)成為教育部分與學(xué)校主要面臨的問(wèn)題之一。在這種形勢(shì)下,怎樣有效解決高中數(shù)學(xué)中恒成立問(wèn)題是師生共同關(guān)注的熱點(diǎn)之一,本文章主要針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了深入的分析與研究。
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);恒成立問(wèn)題;解析
恒成立問(wèn)題作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要構(gòu)成部分之一,其相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)與問(wèn)題的解答長(zhǎng)久以來(lái)都是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn),同時(shí)也是數(shù)學(xué)高考題目中的必考問(wèn)題之一。為此,如何通過(guò)科學(xué)高效的方法來(lái)快速、準(zhǔn)確的解決之一問(wèn)題已經(jīng)成為高中生不斷探究的問(wèn)題之一。為此,下述內(nèi)容主要針對(duì)恒成立的概念、類型與學(xué)習(xí)方法進(jìn)行了詳細(xì)的敘述。
1.恒成立的基本概念
恒成立主要是在包含有兩個(gè)或者是兩個(gè)以上未知數(shù)取值關(guān)于方程或不等式的解或解集無(wú)影響的式子基礎(chǔ)上,尋找未知數(shù)的取值范圍或解集。
2.高中數(shù)學(xué)中恒成立的基本類型
2.1類型1
一次函數(shù)型:其具體是指在某一個(gè)變化過(guò)程當(dāng)中,分別設(shè)兩個(gè)變量x與y,若二者如果滿足y=kx+b(其中,k為一次項(xiàng)系數(shù),且k≠0,b指任意常數(shù))這一關(guān)系,那么就可以認(rèn)為y是x的一次函數(shù)。其中x為自變量,y為因變量(又被稱作函數(shù))。
2.2類型2
二次函數(shù)型:在一般情況下,經(jīng)常將形如y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)這種函數(shù)稱為二次函數(shù)。其中,a為二次項(xiàng)系數(shù),b具體是指一次項(xiàng)系數(shù),c被稱為常數(shù)項(xiàng)。X與y分別為自變量與因變量。同時(shí),等號(hào)右邊自變量的最高次數(shù)為2。
2.3類型3
變量分離型:該類型主要是將一個(gè)方程中的含有各個(gè)變量項(xiàng)相互分離出倆,從而將原有方程拆分成多個(gè)簡(jiǎn)單,且只包含一個(gè)自變量的常微分方程。通過(guò)線性疊加原理來(lái)把非齊次方程拆合理拆分成多個(gè)齊次方程或者是便于求解的方程。再應(yīng)用高數(shù)知識(shí)與級(jí)數(shù)求解知識(shí)來(lái)找出多種巧妙的解題方法,并求出每一個(gè)方程的通解,最后將通解合理“組裝起來(lái)”。
3.高中數(shù)學(xué)中恒成立問(wèn)題的解析
3.1定義域中恒成立問(wèn)題解析
例題:已知f(x)的定義域?yàn)閇-2,3],求取函數(shù)F(x)=f(x)-f(-x)的定義域。這種類型的試題是較為典型的定義域恒成立問(wèn)題,在解答這種類型題的過(guò)程中,大部分情況下要先從其自身的定義域開(kāi)始入手,通過(guò)-2<=x<=3,學(xué)生能力推理出f(-x)中,-2<=-x<=3,要想確保該例題中f(x)與f(-x)共同成立,就要求-2<=x<=2,為此,可以得出統(tǒng)一的結(jié)論,F(xiàn)(x)的定義域?yàn)閇-2,2]。
針對(duì)定義域中恒成立這一問(wèn)題來(lái)說(shuō),其難度系數(shù)均較為簡(jiǎn)單。為此,教師在教學(xué)的過(guò)程中,首先要讓學(xué)生熟練掌握函數(shù)定義域的具體含義,并從其入手,明確函數(shù)對(duì)各個(gè)條件起到的限制作用,以此來(lái)準(zhǔn)確的判斷出函數(shù)具體的定義域范圍。近些年來(lái),定義域恒成立這一問(wèn)題在高考數(shù)學(xué)命題中所占的比重在逐年增加,同時(shí)也會(huì)將更加復(fù)雜的知識(shí)穿插其中。學(xué)生在解析這類問(wèn)題時(shí)一定要保持沉著冷靜,從已知的實(shí)際條件出發(fā),明確多個(gè)條件的限制,最后求取出正確的取值范圍。
3.2不等式中恒成立問(wèn)題解析
在高中數(shù)學(xué)恒成立問(wèn)題中,不等式恒成立問(wèn)題的出題率較高,出題次數(shù)較為頻繁。例題:一元二次不等式f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0,求取出這一不等式中函數(shù)x的取值范圍,并滿足不等式的成立條件?在解題這種一元二次不等式方程期間。首先,教師要要求學(xué)生靈活掌握與應(yīng)用一元一次函數(shù)與一元二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí),在明確a=0的情況下,不等式會(huì)由一個(gè)一元二次不等式轉(zhuǎn)化成一個(gè)一元一次不等式,但根據(jù)題目中給出的要求,將不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次不等式。為此,學(xué)生要想從根本上保證該不等式的成立,首要明確的問(wèn)題就是a≠0。其次,學(xué)生在求取取值范圍時(shí)要反其道而行,先把傳統(tǒng)變量x與常數(shù)a的身份進(jìn)行順利的轉(zhuǎn)化,把a(bǔ)當(dāng)作變量,把x當(dāng)作常量,并要同時(shí)設(shè)g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3,此時(shí),a就在[-1,1]這一區(qū)間內(nèi),在此基礎(chǔ)上,學(xué)生就可以推動(dòng)出,若x的取值范圍在[-1,1]之間,就可以保證一元二次不等式f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0的成立。
學(xué)生在求解這一類型的恒成立問(wèn)題中,實(shí)現(xiàn)要熟練掌握傳統(tǒng)變量與常量之間的靈活轉(zhuǎn)換,并準(zhǔn)確求取出其子變量函數(shù)的具體取值范圍,進(jìn)而對(duì)變量的具體取值范圍進(jìn)行推斷。通過(guò)這種解題思路與解題方式,不僅可以大大降低不等式中恒成立問(wèn)題的求解難度,同時(shí)也可以進(jìn)一步提高學(xué)生計(jì)算取值范圍的準(zhǔn)確度。為此,該種解題方式應(yīng)該得到教師與學(xué)生廣泛的推廣與應(yīng)用。
總結(jié):總而言之,恒成立作為一種綜合性較強(qiáng),內(nèi)容較為復(fù)雜的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題之一,學(xué)生通過(guò)單一的解題思路與方法是無(wú)法進(jìn)行解決的。為此,教師在日常關(guān)于恒成立問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中,要充分重視學(xué)生思維的訓(xùn)練與培養(yǎng),通過(guò)多樣化的練習(xí)方法來(lái)不斷糾正學(xué)生單一的解題思維,幫助學(xué)生深入挖掘恒成立問(wèn)題與特定數(shù)學(xué)思想方法之間某種特點(diǎn)的練習(xí),以此來(lái)實(shí)現(xiàn)舉一反三,大大提高學(xué)生解決恒成立問(wèn)題的正確率。
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