解答排列組合問(wèn)題的常見(jiàn)技巧

呂相紅

排列組合是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，具有較強(qiáng)的抽象性和靈活性，很多同學(xué)在解答排列組合題時(shí)經(jīng)常會(huì)得出各種錯(cuò)誤的答案，針對(duì)這種情況，筆者對(duì)排列組合問(wèn)題的常見(jiàn)解題技巧進(jìn)行了總結(jié)，以供大家參考。

一、位置優(yōu)先法

位置優(yōu)先法也稱(chēng)為特殊元素法，是優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或者位置的方法，該方法主要適用于對(duì)某些元素有特殊要求的排列組合問(wèn)題，在運(yùn)用位置優(yōu)先法解題時(shí)，我們首先要明確有特殊要求的元素或者位置，將其優(yōu)先排列，然后再處理其他沒(méi)有要求的元素。

例1.由0-5個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)字?jǐn)?shù)的五位數(shù)，且這個(gè)五位數(shù)為奇數(shù)，那么一共有多少個(gè)這樣的數(shù)字？

解析：該五位數(shù)為奇數(shù)，對(duì)數(shù)字的首位數(shù)與個(gè)位數(shù)有特殊要求，我們需要運(yùn)用位置優(yōu)先法來(lái)解題，它的個(gè)位數(shù)必須為奇數(shù)，只能為1.3.5.有三種選擇;而首位數(shù)不能夠?yàn)?.只能取1.2.3.4.5.有5種選擇，然后我們?cè)偬幚硎Ｓ嗟脑亍?/p>

解：如圖1.首先，對(duì)個(gè)位數(shù)字進(jìn)行排列，一共有c3種排列;

然后，對(duì)首位數(shù)字進(jìn)行排列，一共有c4種排列;

最后，對(duì)中間的數(shù)字進(jìn)行排列，一共有A4種排列;

由分步計(jì)數(shù)原理可得C4C3C4=288種排列，即一共有288個(gè)這樣的數(shù)字。

二、窮舉法

窮舉法主要就是結(jié)合具體的解題需求，將研究對(duì)象一一羅列出來(lái)，之后逐一對(duì)其進(jìn)行分析、加工，判斷其結(jié)果是否滿(mǎn)足題設(shè)條件，該方適用于較為復(fù)雜的排列組合問(wèn)題。

例2.現(xiàn)有編號(hào)為1-5的5個(gè)小球，若將這5個(gè)球投入到1.2.3.4.5的5個(gè)小盒子中，要求每個(gè)盒子中有且只有1個(gè)球，則恰好有兩個(gè)盒子的編號(hào)與投入小球編號(hào)相同的投放方法多少種？

解析：若從5個(gè)小球中選擇兩個(gè)，將其與編號(hào)相對(duì)應(yīng)的盒子放在一起，則一共有c5種方法，然后將剩余的3個(gè)小球放入剩余的三個(gè)盒子中，且使小球的編號(hào)與盒子的編號(hào)不同，如圖2.當(dāng)3號(hào)小球投入到4號(hào)盒子時(shí)，剩余兩個(gè)小球有且僅有一種放置方法，同理將3號(hào)小球放入到5號(hào)盒子中，剩余兩個(gè)小球有且只有一種放置方法，則共有2C5=20種投放方法。

三、先選后排法

先選后排法一般用于較為復(fù)雜的排列組合混合問(wèn)題，在解題時(shí)，我們需要認(rèn)真審題，分析其中的元素，先選定需要排列的對(duì)象，之后再對(duì)其進(jìn)行排列，解題會(huì)用到分步計(jì)數(shù)原理和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理。

例3.某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市中投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，則該外商不同的投資方案有__種。

解析：本題需要分兩種情況：

（1）在一個(gè)城市投資2個(gè)項(xiàng)目，在另一城市投資1個(gè)項(xiàng)目，將項(xiàng)目分成2個(gè)與1個(gè)，有c33種;在4個(gè)城市當(dāng)中，選擇2個(gè)城市作為投資對(duì)象，有A4=12種，這種情況共有3×12=36種。

（2）有三個(gè)城市各獲得一個(gè)投資的項(xiàng)目，獲得投資項(xiàng)目的城市有c4=4種;安排項(xiàng)目與城市對(duì)應(yīng)，有A3=6種，這種情況共有4x6=24種。

綜上，該外商不同的投資方案共有36+24=60種，

本題主要運(yùn)用先選后排法解題，我們首先需要選出在4個(gè)城市投資的方案，然后再進(jìn)行排列。

四、求冪法

求冪策略主要適用于重排問(wèn)題，重排問(wèn)題是指將n個(gè)元素重新排列，且每個(gè)元素均不受位置的限制，可以逐一安排位置的問(wèn)題，一般地，將n個(gè)沒(méi)有限制的元素安排到m個(gè)位置上有m種排列方法，

例4.將7個(gè)人分為兩組，第一組3人，第二組4人，則有多少種排法？

解析：本題屬于重排問(wèn)題，可以分兩步完成，首先，先選a、b、c作為第一組，排列方法為A3種;然后排第二組，第二組有4人，排列方法有A4種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有A3-A4=5040種方法，

要想成功地解答排列組合問(wèn)題，同學(xué)們需要仔細(xì)分析題目的條件，確定問(wèn)題的類(lèi)型，然后選擇相應(yīng)的方法來(lái)解題，梳理好解題的思路是解答排列組合問(wèn)題的關(guān)鍵。

（作者單位：江蘇省濱海縣八灘中學(xué)）