巧用隱圓模型 突破思維壁壘

仇書芹

摘?要：在中考數(shù)學(xué)試題中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一類有關(guān)圓的題目，這類題目在條件中沒有直接給出圓的有關(guān)信息，需要我們分析和探索，挖掘出這些隱藏的圓（簡(jiǎn)稱隱形圓），再利用和圓有關(guān)的知識(shí)進(jìn)行求解，由此深感對(duì)此類問題通性通法研究的必要性.

關(guān)鍵詞：幾何;模型;隱形圓

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）17-0029-03

一、根據(jù)圓的定義發(fā)現(xiàn)隱形圓

圓在幾何中的定義是：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓.定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑.當(dāng)題目中的條件出現(xiàn)“定長(zhǎng)”、“定點(diǎn)”這些條件時(shí)，可考慮作出隱形圓來解題.

1.定點(diǎn)+定長(zhǎng)模型

例1?（2014·成都·B填24）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是.

因?yàn)镸A′在整個(gè)過程中長(zhǎng)度不發(fā)生變化，A′始終在以M為圓心、MA為半徑的圓上，故當(dāng)A′為MC與圓的交點(diǎn)時(shí)，A′C的長(zhǎng)度最小.

解?如圖1，過點(diǎn)M作ME⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵M(jìn)D=1，∠MDE=∠MAN =60°，∴ED=12，ME=32，

∴EC=52.在Rt△MEC中，由勾股定理可得MC=7，∴A′C長(zhǎng)度的最小值是7-1.

學(xué)生在解決此題時(shí)，由于想到翻折的性質(zhì)—— 對(duì)應(yīng)線段相等，故而想到“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)”這一 結(jié)論，就可以利用 “隱圓”，以這個(gè)定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑作出這個(gè)隱藏的圓.再利用圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離的最值問題或一般幾何最值求解模型解決.

2.定點(diǎn)+等距模型

例2?（2017·成都·27（3））如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F，連接CE，CF.

解?①證明△CEF是等邊三角形;②若AE=5，CE=2，求BF的長(zhǎng).

①證明：如圖2，作BH⊥AE于H，連接BE.

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等邊三角形，

∴BA=BD=BC.∵E、C關(guān)于BM對(duì)稱，

∴BC=BE=BD=BA，F(xiàn)E=FC，∴A、D、E、C四點(diǎn)共圓，

∴∠AEC=∠ADC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等邊三角形.

例3?（2019·成都·28（3））如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，5），與x軸相交于B（-1，0），C（3，0）兩點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC′D，若點(diǎn)C′恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)C′和點(diǎn)D的坐標(biāo);

（3）設(shè)P是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△CPQ為等邊三角形時(shí)，求直線BP的函數(shù)表達(dá)式.

解?（3）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，點(diǎn)Q在x軸上方.

∵∠C′BH=60°，由翻折得∠DBH=12∠C′BH=30°.

∵點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，∴QB=QC.

∵△CPQ為等邊三角形， ∴QP=QC，∴QB=QP=QC，

∴B、C、P在以Q為圓心QC為半徑的圓上.

∴∠PBC=12∠PQC=30°，∴∠PBC=∠DBH，

∴點(diǎn)D在直線BP上.∵B（-1，0），D（1，233），

∴直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y=33x+33.

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，點(diǎn)Q在x軸下方.

同理可得∠PBC=12∠PQC=30°.

設(shè)BP與y軸相交于點(diǎn)E，

在Rt△BOE中，OE=OB·tan∠CBP=OB·tan30°=33，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-33），

∴直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y=-33x-33.

綜上所述，直線BP的函數(shù)表達(dá)式為

y=33x+33或y=-33x-33.

從以上例題我們可以看出，當(dāng)題目的條件中出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，并能找到到這個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的一些點(diǎn)時(shí)，就可以根據(jù)圓的定義作出隱形圓.

二、根據(jù)定線對(duì)定角發(fā)現(xiàn)隱形圓

圓中的任意一條弦長(zhǎng)確定，則所對(duì)的圓周角也確定.當(dāng)題目中出現(xiàn)定長(zhǎng)的線段及所對(duì)張角為定角時(shí)，可考慮作隱形圓解題.1.定弦+直角模型

例4?（2018·成都·28（3））如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以直線x=52對(duì)稱軸的拋物線y=ax2+bx+c與直線l：y=kx+m（k>0）交于A（1，1），B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，5），直線l與y軸交于點(diǎn)D.

（3）若在x軸上有且僅有一點(diǎn)P，使∠APB=90°，求k的值.

解?如圖5，由題可得：k+m=1，∴m=1-k.

∴直線l：y=kx+1-k，∴kx+1-k=x2-5x+5，

即x2-k+5x+k+4=0.

∴x1=1，x2=k+4.

∴B（k+4，k2+3k+1）.

設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，∵點(diǎn)P有且只有一個(gè)，∠APB=90°，

∴點(diǎn)P在以 AB為直徑的圓上，以 AB為直徑的圓與

x軸只有一個(gè)交點(diǎn)P，且為切點(diǎn).

∴QP⊥x軸，∴P為MN的中點(diǎn).

∴ xp=xM+xN2=1+k+42=k+52，∴P（k+52，0）.

∵△AMP∽△PNB，∴AMPM=PNBN， ∴AM×BN=PN×PM.

∴1×k2+3k+1）=k+4-k+52（k+52-1），

即3k2+6k-5=0，解得k=-1±263.

∵k>0，∴k=-1+263.

2.定弦+非直角模型

例5?（2019·鄂爾多斯·16）如圖，在圓心角為90°的扇形OAB中，OB=2，P為AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，設(shè)M為△OPE的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為.

解?如圖6，∵PE⊥OB，∴∠PEO=90°.

∵點(diǎn)M是內(nèi)心，∴∠OMP=135°.

∵OB=OP，∠MOB=∠MOP，OM=OM，

∴△OMB≌△OMP（SAS），

∴∠OMB=∠OMP=135°，

∴點(diǎn)M的軌跡是弓形OB上的圓弧，

∴OB所在圓的圓心Q一定在弦OB的中垂線上，

且∠BQO=2（180°-135°）=90°.

以O(shè)B為斜邊在OB的左邊作等腰Rt△QOB，

以Q為圓心，OB為半徑作圓.

∴點(diǎn)M的軌跡是OB，其所對(duì)的圓心角∠BQO=90°，

∴內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)90π×2180=2π2.

三、根據(jù)定弦對(duì)等角或互補(bǔ)發(fā)現(xiàn)隱形圓模型

當(dāng)位于線段異側(cè)的兩個(gè)角互補(bǔ)或位于線段同側(cè)的兩個(gè)角相等，則這四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，即四點(diǎn)共圓.

例6?（2017·重慶·24（2））如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，連接BE.

（1）若AB=42，BE=5，求AE的長(zhǎng);

（2）點(diǎn)D是線段BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，連接CD、CF，當(dāng)AF=DF時(shí)，求證：DC=BC.

（2）如圖7，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°.

∵AF⊥BD，∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴A，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓，∴∠CFB=∠CAB=45°，

∴∠DFC=∠AFC=135°.

在△ACF與△DCF中，AF=DF，∠AFC=∠DFC，CF=CF，

∴△ACF≌△DCF（SAS），∴CD=AC.

∵AC=BC，∴DC=BC.

例7?（2019·張家界·14）14.如圖：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊的中點(diǎn)，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接PD，則tan∠APD=?.

解?如圖8，連接AF.

∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，∴CF=BE.

易證Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），則有AE⊥BF，∠APF=∠ADF=90°.

∴A、P、F、D四點(diǎn)共圓，∴∠AFD=∠APD.

∴tan∠APD=tan∠AFD=2.

“隱形圓模型”的應(yīng)用實(shí)際上是數(shù)學(xué)建模的其中一種形式，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生親自經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展.

因此要提高學(xué)生解決幾何問題的能力，在平時(shí)的教學(xué)過程中，我們教師要善于引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容整理歸納出類型和方法，經(jīng)過加工提煉，得出有指導(dǎo)價(jià)值、有典型結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別模型、應(yīng)用模型的能力，能在有限的考試時(shí)間內(nèi)，快速破解難題.

參考文獻(xiàn)：

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[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[責(zé)任編輯：李?璟]