初中幾何教學(xué)“最值”的解法

曲祥春

摘要：中考幾何最值問(wèn)題屬于綜合題的一個(gè)難點(diǎn)，其所涉的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，題型新穎，較好地考查出學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解、領(lǐng)悟能力偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓經(jīng)過(guò)的最短路程是I解析丨圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是1/4和創(chuàng)新能力以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。在解題教學(xué)中，要高度重視此類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本模型，導(dǎo)向通過(guò)建模的過(guò)程，讓學(xué)生深刻體會(huì)基本模型對(duì)解題的重要性。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);最值基本模型

幾何中的最值問(wèn)題屬于中考題型中的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，主要有兩方面的困難：一是對(duì)解決此類(lèi)問(wèn)題的常用的幾種數(shù)學(xué)模型理解不到位;二是此類(lèi)問(wèn)題常以動(dòng)態(tài)問(wèn)題形式出現(xiàn)，學(xué)生由于難以掌握運(yùn)動(dòng)中的數(shù)量關(guān)系而導(dǎo)致無(wú)法入手。

解答此類(lèi)幾何最值問(wèn)題主要依據(jù)的定理：（1）兩點(diǎn)之間，線段最短;（2）直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短;（3）三角形任意兩邊之和大于第三邊或三角形任意兩邊之差小于第三邊（三點(diǎn)共線時(shí)取得最值）。最值問(wèn)題是近年來(lái)中考常見(jiàn)的題型，根據(jù)不同的題型特征，建立模型，依據(jù)上述定理從而解決問(wèn)題。下面結(jié)合部分教學(xué)實(shí)例談?wù)劷鉀Q此類(lèi)問(wèn)題的方法。

—、基本模型

1、兩點(diǎn)之間，線段最短例1：如圖1，有一個(gè)圓錐形的糧堆，其主視圖是邊長(zhǎng)為6cm的正三角形，母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓經(jīng)過(guò)的最短路程是__。

【解析】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是1/4圓，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，確定起點(diǎn)和終點(diǎn)，從而由勾股定理求出答案。由扇形弧長(zhǎng)公式知，可得

。

2、垂線段最短

例2：如圖2，在RtAABC中AB=10，ZBAC=45°，ZBAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值__。

【解析】首先找出點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，因?yàn)锳D為ZBAC的平分線，所以B'在斜邊AC上且AB、AB，再過(guò)點(diǎn)B'作B'F丄AB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段B'F的長(zhǎng)即為所求.（點(diǎn)到直線的距離垂線段最短）在Rt△AFB'中，∵BAC=45°，AB'=AB=10，，。

3、三點(diǎn)共線

例3：如圖3，ZMON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為（ ）。

【解析】取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知：當(dāng)0、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，，。故選A。

二、常用方法

1、軌跡法

對(duì)于線段最值問(wèn)題，若線段的一端點(diǎn)是定點(diǎn)，另一端點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，可以考慮軌跡法，即考慮動(dòng)點(diǎn)的軌跡.若動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線，可以用“垂線段最短”原理解決;若動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓（或一段圓?。梢杂谩皥A最值模型”解決。

例4：如圖4，已知平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在直線x=l和x=4上O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對(duì)角線OB長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_。

【解析】如圖4，設(shè)直線x=l和x軸交于點(diǎn)E.作BF丄直線x=4點(diǎn)F，因?yàn)槠叫兴倪呅蜲ABC，所以O(shè)A和BC平行且相等，可得厶AOE和ACBF全等，所以O(shè)E=BF，可得點(diǎn)B的軌跡是直線x=5.當(dāng)點(diǎn)B在x軸上時(shí)，OB丄直線x=5，此時(shí)OB最小，最小值為5。

圓最值模型：如圖5，P是〇0外的一點(diǎn)，直線PO分別交〇O于點(diǎn)A，B，則PA是點(diǎn)P到〇O上的點(diǎn)的最短距離，是點(diǎn)P到〇〇上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離。

證明：如圖5，在〇0是任取一點(diǎn)C（不為A，B），連結(jié)PC，OC。

QPO

如圖6，在〇0是任取一點(diǎn)D（不為A，B），連接PD，OD。

QP〇+OD>PD，PB=PO+OB=PO+OD，...PB>PD，即PB是點(diǎn)P至IJ〇0上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離。

例5：如圖7，RtAABC中，AB丄BC，AB=6，BC=4，P是厶ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足ZPAB=ZPBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）。

【解析】根據(jù)ZPAB=ZPBC，可得ZAPB=90°，故點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上（如圖4）取的AB中點(diǎn)0，OC交〇0于點(diǎn)P，根據(jù)圓最值模型知，此CP時(shí)最小。

QOP=+AB=3，OC=5，CP的最小值為OC-OP=5-3=2。選B。

2、轉(zhuǎn)化法對(duì)于線段最值問(wèn)題，若線段的兩個(gè)端點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，可以考慮運(yùn)用轉(zhuǎn)化法，將它轉(zhuǎn)化為求與之有關(guān)的另一條線段的最值。

例6：如圖8，在等邊AABC中，AB=4，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)p關(guān)于直線AB，AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為M，N，則線段MN長(zhǎng)的取值范圍是_____。

【解析】如圖8，連結(jié)AP，AM，AN，由對(duì)稱(chēng)可得AP=AM=AN，ZBAP=ZMAB，ZCAP=Znac，ZMAN=2ZBAC=120。厶AMN是頂角為120°的等腰二角形，可得MN=V5AM=V5AP.于是求線段MN長(zhǎng)的取值范圍，就轉(zhuǎn)化為求線段AP長(zhǎng)的取值范圍.AP最小為AP垂直BC時(shí)，最大為AB，AP的取值范圍是2VI

3、函數(shù)法

當(dāng)線段最值問(wèn)題從幾何角度很難求解的時(shí)候，可以考慮引入?yún)?shù)，建立函數(shù)模型，用函數(shù)法來(lái)解決。

例7：如圖9，在AABC中，AB=AC=，BC=2，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）.過(guò)點(diǎn)P作PE//BC交AC于點(diǎn)E，作PF丄BC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，M是EF上的點(diǎn)，且EM=2FM，則PM的最小值是_。

解析1由條件“AB=AC=，BC=2”可知AABC是確定的，tanB=2;又根據(jù)作圖可知△PBF形狀也是確定的，并且有PF=2BF.所以，分析可得PM的大小取決于BF的大小，所以引入?yún)?shù)。

，化簡(jiǎn)得。所以當(dāng)時(shí)，PM有最小值，最小值為。

在最值問(wèn)題的教學(xué)中要注意重視引導(dǎo)學(xué)生分析題意，注重基本模型，讓學(xué)生深刻體會(huì)不同類(lèi)型的題目最終都可以化歸為幾個(gè)簡(jiǎn)單的模型，從而能較為輕松的解決相關(guān)問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]淺談一類(lèi)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最值的求法[J].符振勇.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2018（22）

[2]最值常求方法要優(yōu)[J].彭現(xiàn)省.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版）.2018（12）

[3]對(duì)一道幾何題的解法探究及思考[J].丁堅(jiān)鋒.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2018（11）