超聲波電機(jī)改進(jìn)非因果迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制

黃文文，宋 璐，史敬灼

(河南科技大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河南 洛陽 471023)

0 引 言

超聲波電機(jī)因包含壓電能量轉(zhuǎn)換、摩擦能量傳遞等過程，具有明顯的非線性運(yùn)行特征，不易得到理想的運(yùn)動(dòng)控制性能。為應(yīng)對(duì)超聲波電機(jī)的非線性，滑?？刂频萚1- 4]許多復(fù)雜控制策略都已被用于超聲波電機(jī)的運(yùn)動(dòng)控制，使系統(tǒng)的復(fù)雜度和成本增加，在一定程度上限制了超聲波電機(jī)的產(chǎn)業(yè)化應(yīng)用。

與上述控制策略不同，迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control，ILC)[5]在重復(fù)的運(yùn)行過程中，基于過往記憶，采用迭代方法使控制量的變化過程逐次趨近期望。作為一種非線性控制策略，ILC算法相對(duì)簡(jiǎn)單，能夠通過自身的學(xué)習(xí)過程來消除或抑制未建模動(dòng)態(tài)及時(shí)變特性的影響，適用于超聲波電機(jī)這類時(shí)變非線性的被控對(duì)象。將迭代學(xué)習(xí)控制應(yīng)用于超聲波電機(jī)的已有嘗試[6-8]顯現(xiàn)出ILC的優(yōu)勢(shì)，但作為初步嘗試，控制策略的設(shè)計(jì)與超聲波電機(jī)尚未有效匹配，有待進(jìn)一步研究。

傳統(tǒng)的基于記憶的學(xué)習(xí)控制方式，使ILC缺乏應(yīng)對(duì)當(dāng)前非重復(fù)擾動(dòng)的能力，魯棒性較差。一般認(rèn)為，反饋控制可以抑制當(dāng)前的非重復(fù)擾動(dòng)。在迭代學(xué)習(xí)控制中引入某種形式的實(shí)時(shí)反饋，有助于提高系統(tǒng)魯棒性，在使誤差沿迭代軸單調(diào)收斂的同時(shí)，改善系統(tǒng)沿時(shí)間軸的控制性能。另一方面，作為傳統(tǒng)ILC的拓展，非因果迭代學(xué)習(xí)將已知的過往控制信息進(jìn)行組合，通過更充分地利用已知信息來加快學(xué)習(xí)收斂速度，是一種有良好前景的ILC新方法。

本文將一種含狀態(tài)反饋的非因果迭代學(xué)習(xí)控制策略用于超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制，推導(dǎo)其收斂性判據(jù)并據(jù)此設(shè)計(jì)控制參數(shù)的具體數(shù)值。針對(duì)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)轉(zhuǎn)速持續(xù)下降的問題，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和控制律的對(duì)比分析，確定其原因并嘗試改進(jìn)控制策略，使之與超聲波電機(jī)的運(yùn)行特性更好匹配。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，將狀態(tài)反饋替換為轉(zhuǎn)速反饋或誤差反饋，不僅可消除轉(zhuǎn)速下降現(xiàn)象，且能夠應(yīng)對(duì)包含快時(shí)變特性在內(nèi)的非重復(fù)擾動(dòng)，提高超聲波電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的魯棒性。

1 超聲波電機(jī)非因果迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)

考察用如下狀態(tài)空間模型表述的離散時(shí)間系統(tǒng)

xk(i+1)=Axk(i)+Buk(i)
yk(i)=Cxk(i),0

(1)

式中，xk(i)∈m為狀態(tài)向量，uk(i)∈n為輸入向量，yk(i)∈r為輸出向量，α<∞為采樣序列長(zhǎng)度。令yref(i)∈r為參考輸入向量，則誤差為

ek(i)=yref(i)-yk(i)

(2)

標(biāo)準(zhǔn)ILC的設(shè)計(jì)目的，是使誤差序列{ek}沿迭代軸收斂。即，在n次迭代后，響應(yīng)過程的整體誤差值為0或小于某一允許偏差值。通常，迭代次數(shù)為一有限值，則在r(A)≥1的前提下，可使誤差沿迭代軸收斂；但控制過程沿迭代軸的收斂，并不保證控制響應(yīng)的動(dòng)態(tài)過程符合期望。于是可以看到，在許多應(yīng)用中，需要首先設(shè)計(jì)反饋控制環(huán)節(jié)來穩(wěn)定動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程，或者是獲取期望的動(dòng)態(tài)性能，然后再將ILC應(yīng)用于所得系統(tǒng)。文獻(xiàn)[9]給出了一種包含當(dāng)前狀態(tài)反饋的非因果控制器結(jié)構(gòu)，即

(3)

式中，K和Kj為需設(shè)計(jì)的控制參數(shù)值。這里，前次迭代過程誤差在i時(shí)刻對(duì)當(dāng)前次控制量的作用，體現(xiàn)為在i-wl≤i≤i+wh時(shí)刻的前次誤差加權(quán)和。

為將該控制律用于超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制，需確定式(3)中待定參數(shù)的具體數(shù)值?；?D系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，可得此控制律的穩(wěn)定性判據(jù)，為控制器的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

若存在Y>0，Z>0，Na和Nj，j=-wl,…,wh使線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequation, LMI)

(4)

成立，則ILC動(dòng)態(tài)重復(fù)過程是穩(wěn)定的。其中

Y=diag{Ya,y-Wl,…,Y0,…,Ywh}
Z=diag{Za,Z-wl,…,Z0,…,Zwh}
N=diag{Na,N-wl,…,N0,…,Nwh}

(6)

若LMI式(4)成立，則易得使系統(tǒng)穩(wěn)定收斂的控制參數(shù)矩陣為

(7)

由式(7)，設(shè)計(jì)超聲波電機(jī)ILC轉(zhuǎn)速控制器，為確定能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K及Kj值，應(yīng)首先尋找使式(4)成立的Y、Z和Nj,j=-wl,…,wh。實(shí)際應(yīng)用中，矩陣Y、Z和N可通過隨機(jī)方式產(chǎn)生。具體來說，以wl=1、wh=3為例，對(duì)應(yīng)于控制律表達(dá)式中待定參數(shù)為K、K-1、K0、K1、K2和K3。應(yīng)用穩(wěn)定性判據(jù)得到滿足穩(wěn)定性條件的系數(shù)值。矩陣Y、Z和N中待求量個(gè)數(shù)均為9，采用下式產(chǎn)生指定范圍內(nèi)的1000,000組隨機(jī)數(shù)

b=(max-min)rand(1,9)+min

(8)

式中，rand( )函數(shù)產(chǎn)生[0,1]區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；(max，min)為待定元素的取值范圍。

在所產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)中，篩選使式(4)成立的多組Y、Z和N，用式(7)計(jì)算對(duì)應(yīng)的K、K-1、K0、K1、K2和K3值，得到轉(zhuǎn)速控制器，進(jìn)行電機(jī)轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)仿真，根據(jù)轉(zhuǎn)速控制性能的優(yōu)劣來選定一組適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)值。這里，取穩(wěn)態(tài)誤差ess、超調(diào)量h、調(diào)節(jié)時(shí)間ts來表征轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)的性能。為便于比較不同參數(shù)值情況下的控制效果，定義如下綜合指標(biāo)值cpk

cpk=10ess+2h+ts

(9)

經(jīng)計(jì)算，得超聲波電機(jī)ILC轉(zhuǎn)速控制器參數(shù)為K=[0.16153,-0.059898,-0.059950,-0.0067279]、K-1=0.022383、K0=0.058837、K1=0.022383、K2=0.35702、K3=0.15695。

2 超聲波電機(jī)非因果迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制實(shí)驗(yàn)研究

對(duì)上述設(shè)計(jì)的超聲波電機(jī)迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制策略進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)用電機(jī)為Shinsei USR60兩相行波超聲波電機(jī)，控制器通過DSP編程實(shí)現(xiàn)；使用與電機(jī)同軸連接的光電編碼器測(cè)量電機(jī)轉(zhuǎn)速，構(gòu)成轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)中，連續(xù)進(jìn)行多次階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證上述迭代學(xué)習(xí)控制策略在多次重復(fù)響應(yīng)過程中的學(xué)習(xí)控制效果。

采用前述控制參數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)速控制實(shí)驗(yàn)，得到轉(zhuǎn)速階躍給定值為30r/min情況下的迭代學(xué)習(xí)控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實(shí)測(cè)，wl=1,wh=3,30r/min)

可以看出，第三次迭代控制響應(yīng)曲線出現(xiàn)轉(zhuǎn)速持續(xù)下降的現(xiàn)象。在生產(chǎn)實(shí)際中，這種顯著偏離期望運(yùn)行狀態(tài)的現(xiàn)象，可能導(dǎo)致廢品甚至更為嚴(yán)重的后果。雖然在ILC作用下，第四次階躍響應(yīng)已經(jīng)恢復(fù)正常，但是嚴(yán)重偏離期望狀態(tài)的第三次階躍響應(yīng)仍然是不可接受的。

考察實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，第三次迭代的轉(zhuǎn)速值從第九個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)開始減小，第九個(gè)點(diǎn)前后兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的控制量計(jì)算中，用到的上次迭代的誤差值均較小，都小于0.3，而誤差項(xiàng)前面的系數(shù)均為正，故導(dǎo)致控制量減小的因素應(yīng)是控制量計(jì)算式中的狀態(tài)變量項(xiàng)。進(jìn)一步考察控制律中狀態(tài)變量項(xiàng)的具體數(shù)值，四個(gè)狀態(tài)變量差值項(xiàng)均為負(fù)，它們各自所乘系數(shù)值分別為0.16153，-0.059898，-0.059950，-0.0067279，只有第一個(gè)是正，其余均為負(fù)，即控制量計(jì)算式中唯一的負(fù)值項(xiàng)來自狀態(tài)變量x1的本次與上次的差值，且其前所乘系數(shù)值大于其它各項(xiàng)系數(shù)值?？梢?，在轉(zhuǎn)速接近給定值時(shí)，由于前次誤差值越來越小，控制律中誤差項(xiàng)的絕對(duì)數(shù)值越來越小，狀態(tài)變量項(xiàng)逐漸起主導(dǎo)作用，導(dǎo)致控制量逆勢(shì)減小。隨著控制量的減小，當(dāng)前狀態(tài)變量值也減小，而前次控制過程的狀態(tài)變量值又是增加的，從而使得狀態(tài)變量差值越來越大。于是，控制量持續(xù)減小，轉(zhuǎn)速持續(xù)下降。

控制律中的狀態(tài)變量項(xiàng)，是作為本次迭代控制過程的實(shí)時(shí)反饋信息用于控制的，我們期望通過引入狀態(tài)反饋來達(dá)成閉環(huán)控制效果。但從圖1及相關(guān)實(shí)驗(yàn)的分析可知，一方面，在應(yīng)對(duì)擾動(dòng)時(shí)，狀態(tài)變量項(xiàng)的作用效果不佳；另一方面，當(dāng)轉(zhuǎn)速趨近給定值、狀態(tài)變量項(xiàng)起主導(dǎo)作用時(shí)，出現(xiàn)了圖1所示轉(zhuǎn)速持續(xù)下降的現(xiàn)象。

可用作實(shí)時(shí)反饋信息的量，除狀態(tài)變量外，還可以是輸出量(電機(jī)轉(zhuǎn)速)、系統(tǒng)誤差。下面采用當(dāng)前轉(zhuǎn)速值、誤差值替換控制律中的狀態(tài)變量。為便于對(duì)比控制性能，對(duì)前述實(shí)驗(yàn)中4個(gè)狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)的4個(gè)系數(shù)值求平均，作為當(dāng)前轉(zhuǎn)速值、誤差值的系數(shù)值，替換控制量計(jì)算式中的狀態(tài)變量項(xiàng)。進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)分別如圖2和圖3所示。

圖2 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實(shí)測(cè)，wl=1,wh=3,y)

可見，在轉(zhuǎn)速給定值與圖1相同的情況下，采用當(dāng)前轉(zhuǎn)速值或誤差值替換狀態(tài)變量進(jìn)行控制量計(jì)算，所得轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)不再出現(xiàn)轉(zhuǎn)速下降的現(xiàn)象，表明這一改進(jìn)措施是有效的。

圖3 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實(shí)測(cè)，wl=1,wh=3,e)

進(jìn)行間歇加載實(shí)驗(yàn)，控制參數(shù)不變，得到轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)分別如圖4、圖5所示。由圖4、圖5可以看出，兩圖中加載的第2和4次階躍響應(yīng)過程，只有第2次出現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)誤差，隨后的第3次及后續(xù)階躍響應(yīng)已無穩(wěn)態(tài)誤差，表明所述ILC控制策略對(duì)間歇加載等擾動(dòng)具有一定的適應(yīng)能力。

圖4 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實(shí)測(cè)，wl=1,wh=3,y,第2、4次階躍響應(yīng)負(fù)載0.2Nm)

圖5 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實(shí)測(cè), wl=1,wh=3,e, 第2、4次階躍響應(yīng)負(fù)載0.2Nm)

實(shí)驗(yàn)中負(fù)載突變，控制量需發(fā)生相應(yīng)的變化以應(yīng)對(duì)負(fù)載擾動(dòng)。加載時(shí)，控制量應(yīng)增加以使轉(zhuǎn)速達(dá)到給定值?？刂坡芍械膶?shí)時(shí)反饋項(xiàng)，即當(dāng)前轉(zhuǎn)速項(xiàng)、誤差項(xiàng)，有助于調(diào)整控制量值，對(duì)非重復(fù)性的擾動(dòng)給出更及時(shí)的響應(yīng)。圖6給出了與圖4對(duì)應(yīng)的控制量變化曲線?？梢钥闯?，使用當(dāng)前轉(zhuǎn)速y的情況下，第2次響應(yīng)過程中控制量變化不大，但出現(xiàn)了波動(dòng)；而第4次響應(yīng)過程中控制量明顯增大，因此第2次階躍響應(yīng)出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差，第4次加載已經(jīng)不再出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差。

圖6 控制量變化曲線(實(shí)測(cè),wl=1,wh=3,y)

3 結(jié) 語

針對(duì)超聲波電機(jī)的運(yùn)行特點(diǎn)，將一種非因果迭代學(xué)習(xí)控制器應(yīng)用于超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制。該控制器在非因果迭代學(xué)習(xí)中引入狀態(tài)反饋?zhàn)鳛閷?shí)時(shí)反饋。但在狀態(tài)變量占主導(dǎo)作用時(shí)，出現(xiàn)轉(zhuǎn)速下降現(xiàn)象。針對(duì)這一問題，將狀態(tài)反饋替換為轉(zhuǎn)速反饋或誤差反饋。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用當(dāng)前轉(zhuǎn)速或誤差代替狀態(tài)變量，能夠消除轉(zhuǎn)速接近給定值時(shí)持續(xù)下降的現(xiàn)象，對(duì)間歇加載等擾動(dòng)具有一定的適應(yīng)能力。