一類具有雙參數(shù)的有序分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題

張海燕，馮 馮

1.宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽宿州，234000;2.靈璧縣第五中學(xué)，安徽宿州，234000

本文考慮一類具有雙參數(shù)的黎曼-劉維爾有序分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題:

(1)

有序分?jǐn)?shù)階微分方程在自動(dòng)化控制系統(tǒng)和非牛頓流體中有廣泛的應(yīng)用背景,近年來該領(lǐng)域獲得了許多優(yōu)秀成果[1-8]。特別地,文獻(xiàn)[1-4]利用Banach壓縮映射原理和Leary-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，獲得了幾類Caputo有序分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在唯一性結(jié)論，參考文獻(xiàn)[5-8]進(jìn)一步給出了幾類Hadamard有序分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的可解性。

上述文獻(xiàn)均是對(duì)單參數(shù)情形下的有序分?jǐn)?shù)階微分方程問題進(jìn)行研究，受此啟發(fā),本文考慮一類具有雙參數(shù)的有序分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題(1)。和已有文獻(xiàn)相比，方程(1)中含有兩個(gè)參數(shù)k1,k2，這會(huì)導(dǎo)致將分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題等價(jià)變形為積分方程較有難度。本文通過分?jǐn)?shù)階積分算子，將問題(1)轉(zhuǎn)化為常微分方程，結(jié)合相應(yīng)的特征方程特征根方法和常數(shù)變易法克服上述困難。由于引入了雙參數(shù)，問題(1)的研究更具一般性,應(yīng)用范圍更廣泛，能更精確地描述一些控制過程模型。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[9]若可積函數(shù)g:(0,+)→R,則α階黎曼-劉維爾分?jǐn)?shù)階積分定義為:

定義2若可積函數(shù)f:(0,+)→R,則α階黎曼-劉維爾分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為:

引理1若函數(shù)μ(x)在(0,1)上連續(xù),且α>0，則分?jǐn)?shù)階微分方程Dαμ(x)=0的解為

μ(x)=c1xα-1+c2xα-2+…+cnxα-n

這里n如定義2所述,ci∈R，i=1,2,…,n。

引理2若函數(shù)g∈L(J,R)且p>q>0，則對(duì)任意t∈[0,1]有

IPIqg(t)=Ip+qg(t)，DPIPg(t)=g(t),DqIpg(t)=Ip-qg(t)

引理3設(shè)k12≥4k2,x(t)∈C3(J,R)且g∈(J,R)，則有序分?jǐn)?shù)階微分方程

(2)

有唯一解為

(3)

證明對(duì)方程(2)兩邊利用分?jǐn)?shù)階積分算子Iq直接積分,由引理1和引理2可得:

x(t)+a1tq-1+a2tq-2+a3tq-3+k1I1(x(t)+b1tq-2+b2tq-3)+k2I2(x(t)+c1tq-3)=Iqg(t)

其中a1,a2,a3,b1,b2,c1為任意常數(shù)。由初值條件x(0)=0可知a3=0。對(duì)上式求導(dǎo)數(shù),有

x′(t)+a1(q-1)tq-2+a2(q-2)tq-3+k1(x(t)+b1tq-2+b2tq-3)+k2I1(x(t)+c1tq-3)=Iq-1g(t)

由初值條件x(0)=x′(0)=0，知a2=b2=0。接著對(duì)上式再求一階導(dǎo)數(shù),有

x″(t)+a1(q-1)(q-2)tq-3+k1[x′(t)+b1(q-2)tq-3]+k2(x(t)+c1tq-3)=Iq-2g(t)

由初值條件x(0)=x′(0)=x″(0)=0，知a1=b1=c1=0。因此有:

x″(t)+k1x′(t)+k2x(t)=Iq-2g(t)

(4)

此方程為二階常系數(shù)非齊次微分方程，其通解為:

x(t)=yc(t)+yp(t)

(5)

其中yc(t)為方程(4)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，yp(t)為方程(4)的一個(gè)特解。為求yc(t)，考慮方程(4)對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程ξ2+k1ξ+k2=0，其特征根為:

當(dāng)k12>4k2時(shí)，λ1≠λ2，故方程(4)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為:

yc(t)=d1eλ1t+d2eλ2t

(6)

其中d1,d2為任意常數(shù)。此時(shí)基礎(chǔ)解系的Wronskian行列式為:

=(λ2-λ1)e(λ1+λ2)t≠0

結(jié)合(6)式，應(yīng)用常數(shù)變易法，可得特解(7)式:

(7)

將(5)(6)(7)式代入(2)式，在初值條件下可知d1=d2=0，此時(shí)方程(2)的解為x(t)=yp(t)。

當(dāng)k12=4k2時(shí)，λ1=λ2，方程(4)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為:

yc(t)=e1eλ1t+e2teλ1t

(8)

其中e1,e2為任意常數(shù)。此時(shí)基礎(chǔ)解系的Wronskian行列式為:

=e2λ1t≠0

結(jié)合(8)式，應(yīng)用常數(shù)變易法，可得特解:

(9)

將(5)(8)(9)式代入(2)式，在初值條件下可知e1=e2=0，此時(shí)方程(2)的解為x(t)=yp(t)。

綜上所述，(3)式成立，引理得證。

注1:若兩參數(shù)值相同，方程(2)的解為x(t)=Iqg(t)，這為常見情形，本文忽略。若k12<4k2，方程(4)對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程有兩共軛復(fù)根，處理方法和上文類似，本文不考慮此情況。

(10)

由引理3易知算子T在E中的不動(dòng)點(diǎn)即為方程(1)的解。

引理4算子T:E→E是全連續(xù)的。

證明首先，由于f是連續(xù)的，因此算子T是連續(xù)的。接著，設(shè)Ω是E中的有界集，則由f的連續(xù)性知，對(duì)任意的x∈Ω，存在正數(shù)L>0，使得|f(t,x)|≤L,t∈J。因此有:

(11)

則算子T在Ω上是一致有界的。

然后，設(shè)t1,t2∈J且0≤t1

對(duì)?ε>0,?δ(ε)>0，當(dāng)|t2-t1|<δ時(shí)，有:

|eλ1(t2-t1)-1|<ε,|eλ2(t2-t1)-1|<ε,

|eλ1t2-eλ1t1|<ε,|t2eλ1t2-t1eλ1t1|<ε

于是有:

因此,由等度連續(xù)的定義可知，算子T在Ω上是等度連續(xù)的。綜上所述，應(yīng)用Arzela-Ascoli定理可知T:E→E是全連續(xù)的，引理得證。

引理5[10]設(shè)D是巴拿赫空間E中的有界凸閉集，A:D→D全連續(xù)，則A在D中必有不動(dòng)點(diǎn)。

引理6[11]設(shè)D是巴拿赫空間E的閉子集，F(xiàn):D→D是一個(gè)嚴(yán)格的壓縮映射，即對(duì)x,y∈D,|Fx-Fy|

2 主要結(jié)果

為了方便，引入記號(hào):

定理1若存在正常數(shù)A1,A2，對(duì)?t∈J和x∈R，使得:

|f(t,x(t))|≤A1|x(t)|θ+A2,0<θ<1

(12)

成立,則方程(1)在E中必有一解。

因此算子T:Dr→Dr，結(jié)合引理4可知T:Dr→Dr是全連續(xù)的。由引理5可知算子T在Dr中必有不動(dòng)點(diǎn)，即方程(1)在E中必有一解。

定理2若存在正常數(shù)B1,B2，對(duì)?t∈J和x∈R，使得:

|f(t,x(t))|≤B1|x(t)|λ+B2,1<λ

證明與定理1證明相似，僅需Dr中r滿足

定理3若存在正常數(shù)C1,C2，對(duì)?t∈J和x∈R，使得:

|f(t,x(t))|≤C1|x(t)|+C2,

成立且ΛC1<1， 則方程(1)在E中必有一解。

證明與定理1證明相似，省略。

注2:定理1-3對(duì)非線性項(xiàng)條件|f(t,x(t))|≤C1|x(t)|τ+C2,τ∈(0,+)，分三種情況進(jìn)行了討論，獲得了解的存在性充分條件。根據(jù)τ不同值，直接驗(yàn)證充分條件，得到相應(yīng)結(jié)果，這在應(yīng)用上是比較方便的。

定理4若存在正常數(shù)D1，對(duì)?t∈J和x∈R，使得:

|f(t,x(t))-f(t,y(t))|≤D1|x(t)-y(t)|成立且ΛD1<1，則方程(1)在E中必有一解。

先證明T:Dh→Dh。對(duì)x∈Dh，由(11)式和定理?xiàng)l件可知:

因此‖Tx‖≤Λ(D1‖x‖+D2)≤h，即T:Dh→Dh。

接著證明算子T是一個(gè)壓縮映射。對(duì)x,y∈Dh,t∈[0,1]，由定理?xiàng)l件可知:

≤ΛD1‖x-y‖

因此,‖Tx-Ty‖≤ΛD1‖x-y‖，注意到ΛD1<1,因此算子T是一個(gè)壓縮映射，由引理6可知T在E中存在唯一不動(dòng)點(diǎn)，即方程(1)在E中存在唯一解，定理4得證。

例1考慮有序分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題:

(13)

結(jié)合定理1可知，此時(shí)A1=2,A2=1,θ=0.2，顯然定理1條件滿足，故初值問題(13)在E中必有一解。

例2考慮有序分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題:

(14)

|f(t,x(t))-f(t,y(t))|≤0.5|x(t)-y(t)|

3 結(jié) 語

本文考慮了一類具有雙參數(shù)的黎曼-劉維爾有序分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題，通過利用常微分方程中的特征方程特征根方法和常數(shù)變易法，結(jié)合非線性分析中的Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Banach壓縮映射原理，獲得該問題解的存在唯一性充分條件，推廣和改進(jìn)了單參數(shù)情形下有序分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性結(jié)果。