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    一類具有雙參數(shù)的有序分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題

    2020-09-09 06:49:08張海燕
    宿州學(xué)院學(xué)報(bào) 2020年7期
    關(guān)鍵詞:特征方程初值不動(dòng)點(diǎn)

    張海燕,馮 馮

    1.宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽宿州,234000;2.靈璧縣第五中學(xué),安徽宿州,234000

    本文考慮一類具有雙參數(shù)的黎曼-劉維爾有序分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題:

    (1)

    有序分?jǐn)?shù)階微分方程在自動(dòng)化控制系統(tǒng)和非牛頓流體中有廣泛的應(yīng)用背景,近年來該領(lǐng)域獲得了許多優(yōu)秀成果[1-8]。特別地,文獻(xiàn)[1-4]利用Banach壓縮映射原理和Leary-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理,獲得了幾類Caputo有序分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在唯一性結(jié)論,參考文獻(xiàn)[5-8]進(jìn)一步給出了幾類Hadamard有序分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的可解性。

    上述文獻(xiàn)均是對(duì)單參數(shù)情形下的有序分?jǐn)?shù)階微分方程問題進(jìn)行研究,受此啟發(fā),本文考慮一類具有雙參數(shù)的有序分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題(1)。和已有文獻(xiàn)相比,方程(1)中含有兩個(gè)參數(shù)k1,k2,這會(huì)導(dǎo)致將分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題等價(jià)變形為積分方程較有難度。本文通過分?jǐn)?shù)階積分算子,將問題(1)轉(zhuǎn)化為常微分方程,結(jié)合相應(yīng)的特征方程特征根方法和常數(shù)變易法克服上述困難。由于引入了雙參數(shù),問題(1)的研究更具一般性,應(yīng)用范圍更廣泛,能更精確地描述一些控制過程模型。

    1 預(yù)備知識(shí)

    定義1[9]若可積函數(shù)g:(0,+)→R,則α階黎曼-劉維爾分?jǐn)?shù)階積分定義為:

    定義2若可積函數(shù)f:(0,+)→R,則α階黎曼-劉維爾分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為:

    引理1若函數(shù)μ(x)在(0,1)上連續(xù),且α>0,則分?jǐn)?shù)階微分方程Dαμ(x)=0的解為

    μ(x)=c1xα-1+c2xα-2+…+cnxα-n

    這里n如定義2所述,ci∈R,i=1,2,…,n。

    引理2若函數(shù)g∈L(J,R)且p>q>0,則對(duì)任意t∈[0,1]有

    IPIqg(t)=Ip+qg(t),DPIPg(t)=g(t),DqIpg(t)=Ip-qg(t)

    引理3設(shè)k12≥4k2,x(t)∈C3(J,R)且g∈(J,R),則有序分?jǐn)?shù)階微分方程

    (2)

    有唯一解為

    (3)

    證明對(duì)方程(2)兩邊利用分?jǐn)?shù)階積分算子Iq直接積分,由引理1和引理2可得:

    x(t)+a1tq-1+a2tq-2+a3tq-3+k1I1(x(t)+b1tq-2+b2tq-3)+k2I2(x(t)+c1tq-3)=Iqg(t)

    其中a1,a2,a3,b1,b2,c1為任意常數(shù)。由初值條件x(0)=0可知a3=0。對(duì)上式求導(dǎo)數(shù),有

    x′(t)+a1(q-1)tq-2+a2(q-2)tq-3+k1(x(t)+b1tq-2+b2tq-3)+k2I1(x(t)+c1tq-3)=Iq-1g(t)

    由初值條件x(0)=x′(0)=0,知a2=b2=0。接著對(duì)上式再求一階導(dǎo)數(shù),有

    x″(t)+a1(q-1)(q-2)tq-3+k1[x′(t)+b1(q-2)tq-3]+k2(x(t)+c1tq-3)=Iq-2g(t)

    由初值條件x(0)=x′(0)=x″(0)=0,知a1=b1=c1=0。因此有:

    x″(t)+k1x′(t)+k2x(t)=Iq-2g(t)

    (4)

    此方程為二階常系數(shù)非齊次微分方程,其通解為:

    x(t)=yc(t)+yp(t)

    (5)

    其中yc(t)為方程(4)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解,yp(t)為方程(4)的一個(gè)特解。為求yc(t),考慮方程(4)對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程ξ2+k1ξ+k2=0,其特征根為:

    當(dāng)k12>4k2時(shí),λ1≠λ2,故方程(4)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為:

    yc(t)=d1eλ1t+d2eλ2t

    (6)

    其中d1,d2為任意常數(shù)。此時(shí)基礎(chǔ)解系的Wronskian行列式為:

    =(λ2-λ1)e(λ1+λ2)t≠0

    結(jié)合(6)式,應(yīng)用常數(shù)變易法,可得特解(7)式:

    (7)

    將(5)(6)(7)式代入(2)式,在初值條件下可知d1=d2=0,此時(shí)方程(2)的解為x(t)=yp(t)。

    當(dāng)k12=4k2時(shí),λ1=λ2,方程(4)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為:

    yc(t)=e1eλ1t+e2teλ1t

    (8)

    其中e1,e2為任意常數(shù)。此時(shí)基礎(chǔ)解系的Wronskian行列式為:

    =e2λ1t≠0

    結(jié)合(8)式,應(yīng)用常數(shù)變易法,可得特解:

    (9)

    將(5)(8)(9)式代入(2)式,在初值條件下可知e1=e2=0,此時(shí)方程(2)的解為x(t)=yp(t)。

    綜上所述,(3)式成立,引理得證。

    注1:若兩參數(shù)值相同,方程(2)的解為x(t)=Iqg(t),這為常見情形,本文忽略。若k12<4k2,方程(4)對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程有兩共軛復(fù)根,處理方法和上文類似,本文不考慮此情況。

    (10)

    由引理3易知算子T在E中的不動(dòng)點(diǎn)即為方程(1)的解。

    引理4算子T:E→E是全連續(xù)的。

    證明首先,由于f是連續(xù)的,因此算子T是連續(xù)的。接著,設(shè)Ω是E中的有界集,則由f的連續(xù)性知,對(duì)任意的x∈Ω,存在正數(shù)L>0,使得|f(t,x)|≤L,t∈J。因此有:

    (11)

    則算子T在Ω上是一致有界的。

    然后,設(shè)t1,t2∈J且0≤t1

    對(duì)?ε>0,?δ(ε)>0,當(dāng)|t2-t1|<δ時(shí),有:

    |eλ1(t2-t1)-1|<ε,|eλ2(t2-t1)-1|<ε,

    |eλ1t2-eλ1t1|<ε,|t2eλ1t2-t1eλ1t1|<ε

    于是有:

    因此,由等度連續(xù)的定義可知,算子T在Ω上是等度連續(xù)的。綜上所述,應(yīng)用Arzela-Ascoli定理可知T:E→E是全連續(xù)的,引理得證。

    引理5[10]設(shè)D是巴拿赫空間E中的有界凸閉集,A:D→D全連續(xù),則A在D中必有不動(dòng)點(diǎn)。

    引理6[11]設(shè)D是巴拿赫空間E的閉子集,F(xiàn):D→D是一個(gè)嚴(yán)格的壓縮映射,即對(duì)x,y∈D,|Fx-Fy|

    2 主要結(jié)果

    為了方便,引入記號(hào):

    定理1若存在正常數(shù)A1,A2,對(duì)?t∈J和x∈R,使得:

    |f(t,x(t))|≤A1|x(t)|θ+A2,0<θ<1

    (12)

    成立,則方程(1)在E中必有一解。

    因此算子T:Dr→Dr,結(jié)合引理4可知T:Dr→Dr是全連續(xù)的。由引理5可知算子T在Dr中必有不動(dòng)點(diǎn),即方程(1)在E中必有一解。

    定理2若存在正常數(shù)B1,B2,對(duì)?t∈J和x∈R,使得:

    |f(t,x(t))|≤B1|x(t)|λ+B2,1<λ

    證明與定理1證明相似,僅需Dr中r滿足

    定理3若存在正常數(shù)C1,C2,對(duì)?t∈J和x∈R,使得:

    |f(t,x(t))|≤C1|x(t)|+C2,

    成立且ΛC1<1, 則方程(1)在E中必有一解。

    證明與定理1證明相似,省略。

    注2:定理1-3對(duì)非線性項(xiàng)條件|f(t,x(t))|≤C1|x(t)|τ+C2,τ∈(0,+),分三種情況進(jìn)行了討論,獲得了解的存在性充分條件。根據(jù)τ不同值,直接驗(yàn)證充分條件,得到相應(yīng)結(jié)果,這在應(yīng)用上是比較方便的。

    定理4若存在正常數(shù)D1,對(duì)?t∈J和x∈R,使得:

    |f(t,x(t))-f(t,y(t))|≤D1|x(t)-y(t)|成立且ΛD1<1,則方程(1)在E中必有一解。

    先證明T:Dh→Dh。對(duì)x∈Dh,由(11)式和定理?xiàng)l件可知:

    因此‖Tx‖≤Λ(D1‖x‖+D2)≤h,即T:Dh→Dh。

    接著證明算子T是一個(gè)壓縮映射。對(duì)x,y∈Dh,t∈[0,1],由定理?xiàng)l件可知:

    ≤ΛD1‖x-y‖

    因此,‖Tx-Ty‖≤ΛD1‖x-y‖,注意到ΛD1<1,因此算子T是一個(gè)壓縮映射,由引理6可知T在E中存在唯一不動(dòng)點(diǎn),即方程(1)在E中存在唯一解,定理4得證。

    例1考慮有序分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題:

    (13)

    結(jié)合定理1可知,此時(shí)A1=2,A2=1,θ=0.2,顯然定理1條件滿足,故初值問題(13)在E中必有一解。

    例2考慮有序分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題:

    (14)

    |f(t,x(t))-f(t,y(t))|≤0.5|x(t)-y(t)|

    3 結(jié) 語

    本文考慮了一類具有雙參數(shù)的黎曼-劉維爾有序分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題,通過利用常微分方程中的特征方程特征根方法和常數(shù)變易法,結(jié)合非線性分析中的Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Banach壓縮映射原理,獲得該問題解的存在唯一性充分條件,推廣和改進(jìn)了單參數(shù)情形下有序分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性結(jié)果。

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