雙曲線的基圓及其性質(zhì)

陜西省漢中市鎮(zhèn)巴中學(xué)(723600) 劉再平

陜西省漢中市龍崗學(xué)校(723000) 唐宜鐘

定理在平面直角坐標(biāo)系Oxy下,對于任意給定的雙曲線R2為其基圓,則有:

(1)圓O基的切線交雙曲線兩支于A、B兩點,則OA⊥OB;

(2)設(shè)A、B是雙曲線C兩支上的動點,OP⊥AB且P為垂足,若OA⊥OB,則點P的軌跡就是圓O基;

(3)設(shè)A、B是雙曲線C兩支上的動點,若OA⊥OB,則線段AB長的最小值為2R,三角形AOB面積的最小值為R2;

(4)過雙曲線的中心且互相垂直的兩條直線與雙曲線的四個交點構(gòu)成的四邊形為棱形,且棱形的內(nèi)切圓就是該雙曲線的基圓.

圖1

圖2

證明(1) 設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),即y1=kx1+m,y2=kx2+m,則

又直線y=kx+m與O基:x2+y2=相切,即則m2(b2-a2)=(1+k2)a2b2,將直線AB方程與雙曲線方程聯(lián)立:消y得:(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,所以

即

故OA⊥OB.

(2)設(shè)直線OA方程為y=kx,A(x1,kx1),將直線OA方程與雙曲線聯(lián)立:得即所以

所以

即|OP|=R,所以點P的軌跡就是以原點O為圓心,R為半徑的圓O基:x2+y2=R2.

(3)由(2)

則

當(dāng)且僅當(dāng)|OA|=|OB|時取等號,即|OA|2+|OB|2≥4R2.

根據(jù)題意OA⊥OB知|AB|2=|OA|2+|OB|2,所以|AB|2≥4R2,故|AB|≥2R,即SΔAOB=|AB|·|OP|≥·2R·|OP|=R2.

(4)如圖2,根據(jù)雙曲線關(guān)于原點的中心對稱性,即OA=OC,OB=OD,則四邊形ABCD為平行四邊形,由AC⊥BD,所以四邊形ABCD是棱形,又根據(jù)(2)可直接推出棱形ABCD的內(nèi)切圓就是該雙曲線的基圓.

從上述性質(zhì)的生成與證明過程中,不但能夠加深我們對其數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,而且還能感受到數(shù)學(xué)的簡潔美、嚴(yán)謹(jǐn)美與和諧美.