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    巧設輔助元 妙解應用題

    2020-09-06 13:18:31王梅
    初中生世界·七年級 2020年8期
    關(guān)鍵詞:平路每千克平均價格

    王梅

    列方程解應用題是初中數(shù)學學習的重點,也是難點。怎樣列方程解應用題?除了找出題中的相等關(guān)系外,關(guān)鍵還在于如何設元(未知數(shù))。設什么為元,需根據(jù)具體問題的條件來確定。

    對未知元的選擇,有時可將所求的量設為未知元,稱為直接設元;有時需要將要求的量以外的其他量設為未知元,稱為間接設元。有些應用題中隱含一些未知的量,這些與求解無直接聯(lián)系,但如果不指明這些量的存在,則難求其解,這時需把這些未知的量設元,以便建立等量關(guān)系,稱為設輔助元。恰當?shù)卦O輔助元,設而不求,能起到化難為易、化繁為簡的作用,從而提高解題效率。

    例1小王到集貿(mào)市場買香蕉,買每千克3元的香蕉用去所帶錢數(shù)的一半,而其余的錢都買了每千克2元的香蕉,求小王所買的香蕉的平均價格。

    【分析】香蕉的平均價格=總價格÷總數(shù)量,如果能求出總價格和總數(shù)量之間的比值,就能得到香蕉的平均價格。

    解:設小王買了每千克3元的香蕉x千克,每千克2元的香蕉y千克,所用的錢數(shù)都是所帶錢數(shù)的一半。

    3所以3x=2y,即y=2x。

    因此,小王共買了x+y千克香蕉,花去了3x+2y=6x(元)。

    所以所買的香蕉的平均價格是每千克3x+2y=6x=2.4(元)。答略。

    x+y2.5x

    【點評】根據(jù)已知條件設輔助元,建立兩個方程,巧妙地將兩個未知數(shù)轉(zhuǎn)化為一個未知數(shù),并利用關(guān)系式求出比值,從而得到平均價格。

    例2某班春游,上午8時從學校出發(fā),先沿平路到山腳下,再爬到山頂,在山頂停留1.5h,沿原路返回學校時已是下午3時30分。已知平路每小時行4km,上山速3度是平路的4,下山速度是上山的2倍,求所行全程。

    【分析】依據(jù)題意可知全程行走所用時間為15.5-8-1.5=6h。設平路為xkm,坡路為ykm,根據(jù)平路所用的時間,加上山所用時間,再加下山所用時間,再加平路所用的時間為總時間,得到方程,從而求解。

    解:設平路為xkm,坡路為ykm。

    依題意,得4x+3y+6y+4x=6。

    化簡得x+y=12,

    所以2x+2y=24。

    所以全程為24km。答略。

    【點評】本題并沒有求出平路與坡路的路程,而是設出輔助元,再巧妙地通過關(guān)系式,求得它們的關(guān)系。

    例3有人問一位老師:“你教的班有多少學生?”老師說:“一半學生在學數(shù)學,四分之一的學生在學音樂,七分之一的學生在念外語,還剩不足6名學生正在操場踢足球?!闭垎栠@個班共有學生多少人?

    【分析】題目中要求學生數(shù),這里的學生數(shù)是整數(shù),是2、4、7的倍數(shù);操場上的學生數(shù)不足6人,說明操場上的學生數(shù)大于或等于1且小于6。

    解:設這個班共有學生x人,在操場踢足球的學生有a人。

    依條件可知x、a都是自然數(shù),且1≤a<6。

    因為a、x均為自然數(shù),3與28互質(zhì),所以a是3的整數(shù)倍。

    而a又只能取1、2、3、4、5這五個數(shù),所以a=3,因此x=28。

    答:這個班共有28名學生。

    【點評】本題設了一個輔助元a用來表示操場上的學生數(shù)。根據(jù)人數(shù)為整數(shù)且操場上的學生數(shù)不足6人,可以推斷出方程的整數(shù)解。

    例4甲、乙兩個公共汽車站相向發(fā)車。假設一人在街上勻速行走,他發(fā)現(xiàn)每隔4分鐘就迎面開來一輛公交車,每隔12分鐘從背后開來一輛公交車。如果車站發(fā)車的間隔時間相同,各車的速度也相同,求兩車站發(fā)車的間隔時間。

    【分析】可根據(jù)行程問題中“路程=速度×時間”這個等量關(guān)系,設出相關(guān)輔助元,列出方程。

    解:設車站前后兩車發(fā)車的間隔時間為x分鐘,公交車的速度為a米/分,人步行的速度為b米/分,前后相鄰兩車相距m

    【點評】此題涉及速度、路程等數(shù)量,這些數(shù)量在題目中沒有具體告知,但等量關(guān)系又需要它們,所以可設其為輔助元,使數(shù)量關(guān)系易于表達,給解題帶來方便。

    通過對上述幾個問題的分析,我們可以發(fā)現(xiàn),有些應用題,看起來似乎條件不充分,但可巧設“輔助元”,借助“輔助元”溝通量與量之間的關(guān)系,列出方程,在解方程的過程中,消去“輔助元”即可解決問題。

    (作者單位:江蘇省宿遷市鐘吾國際學校)

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