構(gòu)造函數(shù) 自然解題

張國(guó)治

(新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué)，830002)

構(gòu)造法能為待解決的問(wèn)題設(shè)計(jì)一個(gè)合理的框架,從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化并得到解決的方法[1].北京大學(xué)張筑生教授指出:有許許多多困難而有趣的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題,雖有各種各樣不同風(fēng)格的解答,但讀了這樣的解答,在慨嘆其無(wú)懈可擊之余,也有幾分遺憾.因?yàn)檫@種天衣無(wú)縫式的解答,往往沒(méi)有提供線索說(shuō)明解題的思路,不能回答讀者必然要產(chǎn)生的疑問(wèn):“解題的方法是怎樣想出來(lái)的?”為此,他呼吁“讓解題的思路來(lái)得自然”[2]. 筆者發(fā)現(xiàn)：洞悉題設(shè)結(jié)構(gòu)，巧妙構(gòu)造函數(shù),可自然地解答近年來(lái)部分高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題.茲分類例說(shuō)如下，供讀者參考.

一、求值

則cos(x+3y)=______.

評(píng)注通過(guò)題設(shè)消除結(jié)構(gòu)差異達(dá)到同構(gòu)式,由此構(gòu)造函數(shù)并利用其單調(diào)性解題,是解決此類問(wèn)題的通法.

變式1(2016年山東省預(yù)賽題)設(shè)α,β分別滿足方程α3-3α2+5α-4=0,β3-3β2+5β-2=0,則α+β=______.

解依題意,(α-1)3+2(α-1)2-1=0,(1-β)3+2(1-β)2-1=0.設(shè)f(x)=x3+2x-1,則有f(α-1)=f(1-β)=0.而f′(x)=3x2+2>0,f(x)在R上單調(diào)增,故α-1=1-β,即α+β=2.

變式2(2015年河南省預(yù)賽題)已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x=ln(x+y-1)+ln(x-y-1)+4,則2 015x2+2 016y3=______.

評(píng)注通過(guò)換元使此題解決更加簡(jiǎn)潔明了,而巧妙利用取等條件使問(wèn)題完美解決.

二、求最值或參數(shù)取值范圍

例2(2018年遼寧省預(yù)賽題)若正實(shí)數(shù)x,y滿足x3+y3=(4x-5y)y,則y的最大值為_(kāi)_____.

分析此題直接求解難度較大,解出y也會(huì)陷入誤區(qū).但利用“倍值換元”構(gòu)造函數(shù),便有如下自然的解法.

變式(2017年湖北省預(yù)賽題)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足ab(a+b)=4,則2a+b的最小值為_(kāi)_____.

評(píng)注由例2及其變式不難發(fā)現(xiàn),利用“倍值換元”,能使不易分離的雙變量問(wèn)題簡(jiǎn)單化,這是此類問(wèn)題的求解通法.

分析由函數(shù)表達(dá)式結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到構(gòu)造三角函數(shù),可得簡(jiǎn)潔解法.

分析由題設(shè)條件式子中發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含的共性,可利用同構(gòu)化的意識(shí)整體把握構(gòu)造函數(shù)求解.

變式(2016年河南省預(yù)賽題)已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+3y=4x+9y,試求U=8x+27y的取值范圍.

解設(shè)a=2x,b=3y,則a,b>0,且a+b=a2+b2.

評(píng)注本題核心策略是從結(jié)構(gòu)尋求差異,找到解題的突破口,其中整體換元思路顯得尤為重要,而重要的代數(shù)變形使得構(gòu)造函數(shù)自然生成.

三、解不等式

例5(2017年湖南省預(yù)賽題)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-∞,0)上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且有2f(x)+f′(x)>x2,則不等式(x+2 017)2f(x+2 017)-f(-1)>0的解集為_(kāi)_____.

分析由條件不等式左邊結(jié)構(gòu)聯(lián)想積的求導(dǎo)公式,變形得2xf(x)+xf′(x)

解結(jié)論不等式可化為

(x+2 017)2f(x+2 017)

>(-1)2f(-1).

①

設(shè)g(x)=x2f(x)(x<0),則g′(x)=2xf(x)+xf′(x)g(-1),可得x+2 017<-1,即x<-2 018.

變式(2018年廣西壯族自治區(qū)預(yù)賽題)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f′(x)-2f(x)-4>0,f(0)=-1,則不等式f(x)>e2x-2的解為_(kāi)_____.

提示設(shè)g(x)=e-2x[f(x)+2],則g(0)=1,g′(x)=e-2x[f′(x)-2f(x)-4]>0,g(x)在(-∞,+∞)單調(diào)增.又由f(x)>e2x-2,得e-2x[f(x)+2]>1,即g(x)>1=g(0),故x∈(0,+∞).

四、證明不等式

證明由條件,可得sin3β=sin3α+t3,且sinβ=3tsin2α+(3t2+1)sinα+t,兩式相加,得

sin3β+sinβ=(sinα+t)3+sinα+t.

設(shè)f(x)=x3+x,則f(sinβ)=f(sinα+t),且f(x)在R上單調(diào)增,所以sinβ=sinα+t.代入sinβ=3tsin2α+(3t2+1)sinα+t,化簡(jiǎn)可得3tsin2α+3t2sinα=0,所以t=0或t=-sinα或sinα=0,即t=0或t=-sinα或t=sinβ.因此|t|≤1.

評(píng)注利用函數(shù)證明不等式常見(jiàn)思路是差值構(gòu)造.

例7(2018年內(nèi)蒙古自治區(qū)預(yù)賽題)設(shè)a,b∈R,且3a+11b=16a,6a+8b=13b,求證:a

所以假設(shè)不成立,從而原命題成立.

分析標(biāo)準(zhǔn)解答是用赫爾德不等式獲證,略顯繁瑣.洞悉題設(shè)結(jié)構(gòu),巧妙構(gòu)造函數(shù),可使問(wèn)題自然獲解.

證明由柯西不等式,得