熱環(huán)境中的功能梯度扁球殼非線性穩(wěn)定性分析

趙偉東，高士武，黃永玉

(1. 青海大學(xué)土木工程學(xué)院，西寧 810016；2. 青海大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，西寧 810016)

薄壁彈性扁球殼結(jié)構(gòu)在核反應(yīng)、石油工業(yè)、艦船、航空航天、精密儀器等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。為使此類結(jié)構(gòu)能夠可靠的服役，需要對其屈曲行為進(jìn)行精確分析。早在20 世紀(jì)30 年代，von Karman 等[1]首次用非線性分析方法分析了扁球殼的屈曲行為。在此之后，用非線性分析方法分析薄殼的屈曲行為吸引了諸多學(xué)者的注意。Huang[2]研究了均質(zhì)扁球殼在外壓力作用下的非對稱屈曲問題，并指出非對稱變形可能是軸對稱屈曲理論與試驗(yàn)臨界壓力不一致的原因。葉開源等[3]提出了修正迭代法，并用該方法成功地研究了均質(zhì)扁球殼的非線性穩(wěn)定問題。Uemura[4]采用兩項(xiàng)撓度近似法處理了均布外壓作用的周邊夾緊帶缺陷均質(zhì)材料扁球殼的軸對稱屈曲問題，并利用總勢能的二次變分評估了球殼矢高對解的非唯一性的影響。Yan[5]采用分步加載法研究了均布外壓作用下變厚度開頂扁球殼的非線性穩(wěn)定性。Nie[6]提出了一種漸近迭代法，并用該方法分析了外側(cè)壓力作用的均勻材料扁球殼的非線性屈曲問題，分析過程考慮了缺陷、邊界彈性約束和彈性地基的影響。Shahsiah 等[7]運(yùn)用解析方法，考慮熱-機(jī)荷載聯(lián)合作用，研究了均質(zhì)扁球殼線性屈曲行為，并考察了缺陷對解的的影響。Li 等[8]基于一階剪切變形殼理論，運(yùn)用修正迭代法研究了均勻外壓下均質(zhì)扁薄球殼的屈曲行為?？紤]橫向剪切變形效應(yīng)，Zhu 等[9]考察了對稱層合圓柱正交各向異性扁球殼的熱屈曲行為。Xu 等[10]采用修正迭代法研究了雙層網(wǎng)狀圓形扁球殼在均布外壓作用下的屈曲行為。運(yùn)用有限元方法，張平等[11]對用于高速戰(zhàn)斗機(jī)自適應(yīng)進(jìn)氣道的均質(zhì)扁球殼的雙穩(wěn)態(tài)特性進(jìn)行了討論。李忱等[12]針對均布外壓與溫度耦合作用的均質(zhì)薄球殼的屈曲行為開展了研究。趙偉東等[13]基于數(shù)值打靶法分析了熱環(huán)境中的周邊簡支均質(zhì)扁球殼在外側(cè)均布壓力作用下的穩(wěn)定性問題。

自從功能梯度材料[14]問世以來，對功能梯度材料板殼結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的研究吸引了很多研究人員的關(guān)注。Woo 等[15]給出了在壓力和溫度場作用下的功能梯度材料板和淺圓柱殼的后屈曲行為的解析解。并指出熱-機(jī)耦合效應(yīng)和邊界條件對功能梯度板/殼在邊緣壓力作用下的響應(yīng)中起著重要作用。Shahsiah 等[16]基于Sanders 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和變分法研究了功能梯度扁球殼的熱彈性失穩(wěn)。Prakash 等[17]和Ganapathi[18]基于一階剪切變形理論，用有限元方法研究了固支邊功能梯度扁球殼的非線性軸對稱動力穩(wěn)定性問題。Bich 等[19]利用經(jīng)典殼理論研究了功能梯度扁球殼在均勻外壓(包括溫度效應(yīng))作用下的非線性軸對稱響應(yīng)，研究過程考慮了球殼缺陷對其響應(yīng)的影響。Boroujerdy等[20 ? 21]研究了壓電-功能梯度扁球殼的非線性軸對稱熱-機(jī)械響應(yīng)和熱屈曲。Mao 等[22]考察了功能梯度扁球殼在低速沖擊下的非線性動力響應(yīng)和損傷行為。Fu 等[23]對功能梯度扁球殼在隨時間變化的熱機(jī)械荷載作用下的非線性瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了分析。

用有限單元法分析功能梯度材料板殼結(jié)構(gòu)，為了能夠反映組分材料特性，通常需要沿厚度方向劃分單元，這使求解過程變得復(fù)雜。另外，要想用有限單元法得到殼體屈曲過程的完整的荷載-撓度曲線，其計(jì)算工作量非常繁重。邵玉龍等[24]的工作表明：用二階一致無網(wǎng)格法對功能梯度材料進(jìn)行數(shù)值分析，有較高的計(jì)算效率。張鵬飛等[25]用有限質(zhì)點(diǎn)法分析了薄殼屈曲問題，該方法有望成為分析復(fù)雜邊界功能梯度扁球殼屈曲完整過程的有效數(shù)值方法?？紤]到工程中較為常見的周邊固支或簡支功能梯度圓底扁球殼是軸對稱結(jié)構(gòu)，若荷載和溫度場也是軸對稱的(事實(shí)上這種情況較常見，如外側(cè)均布壓力和沿厚度均勻或一維熱傳導(dǎo)溫度場)，在這種情況下，對于滿足一定幾何條件的扁球殼，其彎曲乃至屈曲變形經(jīng)常是軸對稱的?；诖?，如果利用球殼中曲面的橫向和徑向位移函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，則扁球殼軸對稱彎曲/屈曲控制方程和邊界條件為典型的常微分方程兩點(diǎn)邊值問題。趙偉東等[26]曾經(jīng)運(yùn)用變分原理推導(dǎo)了均勻溫度場中的不可移夾緊邊功能梯度圓底扁球殼在外側(cè)均布壓力作用下的軸對稱彎曲/屈曲幾何非線性常微分控制方程及其邊界條件，并借助打靶法得到了一些對工程設(shè)計(jì)有幫助的數(shù)值結(jié)果。根據(jù)對文獻(xiàn)的調(diào)閱可以發(fā)現(xiàn)，到目前為止，可以用來參考的簡支邊功能梯度圓底扁球殼彎曲/屈曲的研究數(shù)據(jù)還比較稀缺。因此，本文在文獻(xiàn)[26]工作的基礎(chǔ)上，基于經(jīng)典殼理論和von Karman 幾何非線性理論，借用球殼平衡微分方程，導(dǎo)出了均勻外壓與均勻溫度場聯(lián)合作用下的功能梯度圓底扁球殼軸對稱變形的位移型幾何非線性控制方程，推導(dǎo)了功能梯度圓底扁球殼位移型簡支邊界條件。借用數(shù)值打靶法求解了該兩點(diǎn)邊值問題，分析了簡支邊功能梯度圓底扁球殼的幾何非線性力學(xué)行為?？紤]到工程界更關(guān)注扁球殼的承載力(即上臨界載荷)，文中提供了此類結(jié)構(gòu)承載力的兩個數(shù)表和一些有益的數(shù)值曲線，供設(shè)計(jì)人員參考。

1 問題的基本方程

如圖1 所示簡支邊功能梯度圓底扁球殼，假設(shè)其材料性質(zhì)沿厚度方向連續(xù)變化。其中曲面曲率半徑、殼體厚度和底圓半徑分別為R、h 和a。球坐標(biāo)系(φ,θ,z)分別為子午、圓周和厚度坐標(biāo)，z(?h/2≤z≤h/2)坐標(biāo)軸正向與球殼中曲面的外法線方向相同，坐標(biāo)原點(diǎn)位于中曲面的中心。

1.1 幾何方程

對于扁球殼，考慮球殼底圓徑向坐標(biāo)r(r=Rsinφ)及近似關(guān)系dr=Rdφ(cosφ≈1)會給方程的推導(dǎo)和求解帶來方便。在軸對稱變形和基于上述坐標(biāo)系的情況下，扁球殼中曲面上任意點(diǎn)A(φ,θ,0)的橫向和徑向位移W 和U 僅是半徑r 的一元函數(shù)。根據(jù)經(jīng)典殼理論與von Karman 幾何非線性理論，殼體上任意點(diǎn)A(φ,θ,z)處的應(yīng)變分量與殼體中曲面位移分量和橫向坐標(biāo)z 的關(guān)系為[20]：

式中，( ·),r表示( ·)對r 的一階導(dǎo)數(shù)。

圖1 扁球殼的幾何形狀和坐標(biāo)系Fig.1 Geometry and the coordinate system of a shallow spherical shell

1.2 物理方程

計(jì)及溫度應(yīng)力的球殼線彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

式中：T 為球殼相對初始無應(yīng)力狀態(tài)的均勻變溫場；彈性模量E、熱膨脹系數(shù)α 和泊松比ν 為坐標(biāo)z 的連續(xù)函數(shù)。通常功能梯度板的泊松比變化不大，本文將其假設(shè)為常數(shù)。

球殼的內(nèi)力分量與應(yīng)力分量及橫向坐標(biāo)的關(guān)系為：

式中：Nr和Nθ分別指殼體徑向和環(huán)向截面內(nèi)單位寬度上的薄膜力；Mr和Mθ分別指殼體徑向和環(huán)向截面內(nèi)單位寬度上的彎矩。將式(1)代入式(2)，再將式(2)代入式(3)，沿厚度方向積分可得用位移表示的殼體薄膜力和彎矩表達(dá)式：

其中，剛度系數(shù)定義分別為：

上述剛度系數(shù)可分別表示為：

式(4)～式(7)中的熱薄膜力S3和熱彎矩S4可分別表示為：

其中：

式中：Am為參考均勻金屬球殼的拉伸剛度； ?i為 無量綱系數(shù)。

球殼的彈性模量及熱膨脹系數(shù)可表示為：

式中：ξ=z/h； Em、 αm分別為參考均勻金屬球殼的彈性模量及熱膨脹系數(shù)；ψi(ξ)為坐標(biāo) ξ的連續(xù)函數(shù)。于是可給出無量綱系數(shù)?i的計(jì)算公式：

考慮材料性質(zhì)在橫向按冪率函數(shù)變化(需要指出，如果材料性質(zhì)按其他函數(shù)形式變化，只要函數(shù)僅是厚度坐標(biāo)z 或ξ 的一元函數(shù)，在軸對稱熱機(jī)荷載的情況下，本文的求解方法依然適用)，則函數(shù)ψi(ξ)可表示為[27]：

式中：η1=(Ec?Em)/Em；η2=(αc?αm)/αm；0≤k<∞； Ec=E(h/2)；αc=α(h/2)。

將式(14)代入式(13)，可得無量綱系數(shù)?i的 解析表達(dá)式如下：

1.3 平衡方程

在軸對稱的情況下，殼體平衡微分方程可以由文獻(xiàn)[20]給出的相應(yīng)方程退化為如下形式：

式中，q 為橫向均勻分布荷載，沿z 坐標(biāo)軸方向?yàn)檎?/p>

2 兩點(diǎn)邊值問題

2.1 位移型控制方程

為便于討論，采用如下無量綱變換：

式中：x 為無量綱的徑向坐標(biāo)；w 和u 分別為球殼中曲面無量綱的橫向和徑向位移； δ為球殼底圓半徑a 與球殼厚度h 的比； γ為球殼底圓半徑a 與球殼中曲面曲率半徑R 的比；μ為球殼相對初始無應(yīng)力狀態(tài)的無量綱均勻變溫場；Q 為無量綱的法向均勻分布力集度。

將式(9)～式(11)代入式(4)～式(7)，再將結(jié)果代入式(20)～式(21)，考慮無量綱變換式(22)，得到一組無量綱形式的位移型幾何非線性常微分控制方程：

式中，?2(·)=(·),x/x+(·),xx，(·),x為 (·)對x 的一階導(dǎo)數(shù)。

2.2 位移型簡支邊界條件

在簡單支撐邊界面上，彎矩Mr為0。將Si(i=1,2,4)代入式(6)，考慮無量綱變換式(22)，得到x=1 處的一個位移型邊界條件如下：

易知，在x=1 處還有兩個位移型邊界條件如下：

扁球殼在軸對稱變形情況下有如下平衡微分方程：

式中，Qr為殼體單位寬度徑向截面上的剪力。

在均布法向荷載作用下，據(jù)內(nèi)力對稱特性，在r=0 處有：

聯(lián)立式(27)～式(28)，在r=0 處有：

將式(6)～式(7)代入式(29)，并考慮Si(i=1,2,4)的結(jié)果及無量綱變換式(22)，得到在x=0 處的一個位移型中心對稱條件如下：

易知，在x=0 處還有兩個位移型中心對稱條件如下：

3 打靶法求解說明

式(23)～式(24)、邊界條件式(25)～式(26)及中心對稱條件式(30)～式(31)為熱環(huán)境中的簡支邊功能梯度圓底扁球殼在沿球面法向均布荷載作用下的軸對稱彎曲變形的常微分控制方程及其邊界條件，屬于典型的位移型兩點(diǎn)邊值問題?？捎么虬蟹ㄈ菀椎孬@得該兩點(diǎn)邊值問題的足夠精確的數(shù)值解。

對上述兩點(diǎn)邊值問題用打靶法求解時，可設(shè)：

式(23)、式(24)及式(30)在x=0 處存在奇異性，為使數(shù)值解收斂，需要將解域定義在區(qū)間[Δx ,1]上，其中，Δx 為能夠滿足解的精度要求的足夠小的正數(shù)。則原來的兩點(diǎn)邊值問題轉(zhuǎn)化為如下初值問題：

式中，φ1和φ2分別由式(23)和式(24)得到。因?yàn)槲灰坪瘮?shù)在x=0 處連續(xù)可導(dǎo)，當(dāng)Δx 足夠小時，可以用Δx 處的值代替x=0 處的邊界條件：

式中：ζ 為x=Δx 處的撓度初值(賦值)；V1、V2和V3為待定參數(shù)，需要通過x=1 處的邊界條件確定。

4 數(shù)值結(jié)果分析

由于第1 節(jié)定義的橫向撓度函數(shù)W(r)及均布荷載q 均以凸面?zhèn)韧夥ň€方向一致為正，而本文重點(diǎn)考察扁球殼在凸面?zhèn)葔毫ψ饔孟碌那袨?，在這種情況下，撓度W(r)及荷載q 的數(shù)值結(jié)果均為負(fù)值。為了方便描述和容易理解，下文給出的橫向撓度W(r)和荷載集度q 在數(shù)值計(jì)算時添加了負(fù)號(也即向球殼內(nèi)凹的一側(cè)為正)。

4.1 簡化模型數(shù)值結(jié)果對比

由于功能梯度簡支邊圓底扁球殼屈曲數(shù)值解很難找到?？紤]到當(dāng)k=0 或趨于+∞時，功能梯度材料扁球殼分別退化為彈性模量為Ec或Em的均勻材料扁球殼。需要指出的是，當(dāng)k 趨于+∞時，與Ec=Em，αc=αm及取任意的k 是等效的。現(xiàn)在考慮泊松比ν=0.3、E=Ec=Em=70 GPa 的均質(zhì)扁球殼，取球殼中曲面曲率半徑R=1600 mm、底圓半徑a=160 mm 和厚度h=5 mm，表1 給出了該均質(zhì)扁球殼在多個外側(cè)壓力集度q 作用下的球殼中心有量綱撓度W(0)的打靶法解和有限元解(表中加粗的數(shù)據(jù)為殼體上臨界荷載qu)?？梢钥闯?，當(dāng)扁球殼接近臨界失穩(wěn)狀態(tài)時，打靶法解與有限元解有一定程度偏離，其余情況下，兩者一致性較好。需要指出的是，對于均勻材料扁球殼，用打靶法得到的球殼上臨界荷載(指球殼S 形荷載-撓度曲線上極大值點(diǎn)對應(yīng)的荷載。當(dāng)外側(cè)壓力從零逐漸增加并達(dá)到該值時，球殼的平衡形態(tài)會由整體外凸形態(tài)突然改變?yōu)檎w或局部內(nèi)凹形態(tài)，該過程是以“跳躍”的形式實(shí)現(xiàn)的，并伴隨明顯的聲音信號)與三次樣條函數(shù)法得到的相應(yīng)解一致性很好(見文獻(xiàn)[28])。據(jù)此可以判斷，用打靶法求解扁球殼屈曲問題，解的精度是可以保證的。

表1 均質(zhì)扁球殼在外側(cè)均布壓力q 作用下的中心撓度W(0)Table1 Uniform external pressure q & central deflection W(0) for an homogeneous shallow spherical shell

4.2 功能梯度扁球殼屈曲平衡路徑

為了揭示不變溫情況下簡支邊功能梯度圓底扁球殼屈曲平衡路徑，針對陶瓷及金屬組分材料分別為黏土(Ec=380 GPa)和鋁(Em=70 GPa)、泊松比均為ν=0.3，在指定指數(shù)k=1、圓底半徑a=160 mm和厚度h=5 mm 的情況下，圖2 給出了中曲面曲率半徑R=1600 mm、1750 mm、2000 mm、2500 mm、3400 mm、9000 mm 和1010mm 分別對應(yīng)的扁球殼型結(jié)構(gòu)的屈曲平衡路徑。計(jì)算表明：當(dāng)R≥3400 mm時，撓度與荷載一一對應(yīng)，球殼可視為具有一定初曲率的圓板。當(dāng)R<3400 mm 時，屈曲平衡路徑出現(xiàn)了迂回。迂回特性是淺殼從凸面?zhèn)瘸惺軌毫Χ钠胶饴窂降牡湫吞卣鳎祟惽€明確地示出了殼體的上臨界荷載及下臨界荷載(指球殼S 形荷載-撓度曲線上極小值點(diǎn)對應(yīng)的荷載。若規(guī)定凸面?zhèn)葔毫檎?，?dāng)該值大于零時，其指要維持后屈曲狀態(tài)的最小壓力，換句話說，在后屈曲狀態(tài)，如果凸面?zhèn)葔毫π∮谠撝?，球殼將會回跳到屈曲前狀態(tài)；當(dāng)該值小于零時，表示對于屈曲后的球殼，即使沒有凸面?zhèn)葔毫ψ饔茫驓ひ膊荒茏詣踊靥角盃顟B(tài)，該值指使球殼能夠回跳的最小反向壓力)。從圖2 可以看出：隨著R 的減小，球殼上臨界荷載單調(diào)增加，這是扁球殼承載力變化規(guī)律的普遍特征，不必贅述。計(jì)算表明：對于簡支邊功能梯度圓底扁球殼(不考慮變溫)，在指數(shù)k、圓底半徑a、厚度h 給定的情況下，隨中曲面曲率半徑R 逐漸減小(球殼深度逐漸增加)，其下臨界荷載變化規(guī)律是復(fù)雜的。圖2 所涉及的功能梯度扁球殼，其材料彈性模量從外側(cè)向內(nèi)側(cè)逐漸減小，從圖2 可以看出，隨R 逐漸減小，球殼下臨界荷載略有增加。為了對比，在球殼幾何參數(shù)、梯度指數(shù)以及材料泊松比與圖2 中的相應(yīng)參數(shù)完全相同的情況下，圖3 給出了組分材料為氧化鋯(Ec=151 GPa)和鋼(Em=206 GPa)的球殼(其材料彈性模量從外側(cè)向內(nèi)側(cè)逐漸增加)的屈曲平衡路徑，從圖3 可以看出，隨R 逐漸減小，下臨界荷載是逐漸減小的。上述結(jié)果表明：對于簡支邊功能梯度扁球殼，在梯度指數(shù)、球殼圓底半徑以及厚度給定的情況下，隨球殼深度增加(中曲面曲率半徑R 減小)，球殼下臨界荷載的變化規(guī)律與殼體橫向材料彈性模量梯度特性有關(guān)。

圖2 FGM 扁球殼曲率半徑R 對屈曲平衡路徑的影響Fig.2 Effects of curvature radius R on buckling equilibrium paths of FGM shallow spherical shells

圖3 FGM 扁球殼曲率半徑R 對屈曲平衡路徑的影響Fig.3 Effects of curvature radius R on buckling equilibrium paths of FGM shallow spherical shells

在不變溫的情況下，為了揭示材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k 對FGM 扁球殼屈曲平衡路徑的影響，現(xiàn)在考慮幾何參數(shù)a/R=0.1、R/h=320 的球殼，圖4 給出了多個梯度指數(shù)k 對應(yīng)的球殼的屈曲平衡路徑。從圖4 易見，當(dāng)指數(shù)k 增加時，球殼上臨界荷載是單調(diào)減小的，k 越大，影響程度越小。指數(shù)k 對下臨界荷載的影響規(guī)律比較復(fù)雜，從圖4可以看出，當(dāng)k=0 時，下臨界荷載最小(指代數(shù)量，而不是力的絕對大小，下同)；對于圖4 中給定的一些離散的k 值，當(dāng)k 從0 逐漸增加到1 時，下臨界荷載逐漸增加并達(dá)到最大值，在此之后，隨k 增加，下臨界荷載逐漸減小。當(dāng)k 趨于正無窮(球殼已過渡為均勻材料的金屬殼)時，其下臨界荷載仍大于均質(zhì)陶瓷球殼(k=0)的下臨界荷載。

圖4 體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k 對FGM 扁球殼屈曲平衡路徑的影響Fig.4 Effects of volume fraction index k on buckling equilibrium paths of FGM shallow spherical shells

為了考察組分材料彈性模量對功能梯度扁球殼屈曲平衡路徑的的影響，在其他參數(shù)不變的情況下，將圖4 中的彈性模量為Ec=380 GPa 的陶瓷材料(黏土)用彈性模量為Ec=151 GPa 的陶瓷材料(氧化鋯)替換，并由圖5 給出該功能梯度扁球殼的屈曲平衡路徑。比較圖4 與圖5 不難發(fā)現(xiàn)，在金屬組分材料彈性模量不變的情況下，當(dāng)陶瓷組分材料彈性模量顯著減小時，功能梯度扁球殼上臨界荷載會明顯降低。對于圖5 中給定的一些離散的k 值，當(dāng)k=2 時，下臨界荷載達(dá)到最大(其值與k=1 對應(yīng)的球殼下臨界荷載相差很小)，其他變化規(guī)律與圖4 相似。需要指出：雖然圖4、圖5 豎坐標(biāo)是有量綱荷載，但只要球殼幾何參數(shù)(R,a,h)滿足圖中比例關(guān)系，其有量綱荷載不會改變，該性質(zhì)對工程設(shè)計(jì)是有意義的。

為了揭示沿殼體厚度均勻溫度改變對功能梯度扁球殼屈曲平衡路徑的影響，在梯度指數(shù)k=1時，選取球殼幾何參數(shù)a/R=0.1 和R/h=320，圖6給出了均勻變溫T=60 ℃、40 ℃、20 ℃、0 ℃、?20 ℃和?40 ℃6 個變溫參數(shù)時的該功能梯度扁球殼的屈曲平衡路徑。從圖6 易見，溫度變化對球殼屈曲平衡路徑有明顯的影響，溫度升高時，其上臨界荷載明顯增加，下臨界荷載明顯減小。據(jù)此推測，球殼試驗(yàn)環(huán)境溫度相對初始無應(yīng)力狀態(tài)的殼體溫度變化可能是屈曲理論解與試驗(yàn)臨界壓力不一致的一個重要原因。因此，對不涉及變溫的球殼進(jìn)行穩(wěn)定性試驗(yàn)，建議在嚴(yán)格恒溫環(huán)境中制作被試驗(yàn)球殼，并在相同環(huán)境溫度下進(jìn)行穩(wěn)定性試驗(yàn)。若要測試變溫對球殼臨界壓力的影響，則是一個比較困難的問題。因?yàn)榍驓さ某o定特性，在球殼溫度相對初始無應(yīng)力狀態(tài)的殼體溫度發(fā)生改變時，如何保證支座的溫度不發(fā)生變化是困難的。另外易見，溫度升高，屈曲過程跳躍幅度增加。

圖5 體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k 對FGM 扁球殼屈曲平衡路徑的影響Fig.5 Effects of volume fraction index k on buckling equilibrium paths of FGM shallow spherical shells

圖6 變溫場對FGM 扁球殼屈曲平衡路徑的影響Fig.6 Effects of temperature field on buckling equilibrium paths of FGM shallow spherical shells

4.3 功能梯度扁球殼雙穩(wěn)態(tài)構(gòu)形

在球殼工作環(huán)境溫度相對初始無應(yīng)力狀態(tài)溫度不發(fā)生改變的情況下，取外側(cè)均布壓力q=1 MPa，圖7 給出了梯度指數(shù)k=0.2 和1.0 對應(yīng)的扁球殼屈曲前和屈曲后的穩(wěn)態(tài)構(gòu)形。為了對比，還給出了扁球殼的初始構(gòu)形(即扁球殼未發(fā)生變形的初始幾何形狀)。對于屈曲前的構(gòu)形，從圖7 可以看出，k 越大，其變形越大。這是因?yàn)殡S指數(shù)k 增加，球殼彎曲剛度減小，進(jìn)而引起殼體變形增加，與預(yù)期結(jié)果一致。對于屈曲后的情況，此類球殼(球殼材料彈性模量從外側(cè)向內(nèi)側(cè)逐漸減小)，屈曲后邊界并未充分翻轉(zhuǎn)，進(jìn)而使屈曲后構(gòu)形呈現(xiàn)了較復(fù)雜的特性。在外側(cè)均布壓力q=1 MPa 和梯度指數(shù)k=1 時，圖8 給出了三個變溫值T=20 ℃、0 ℃和?20 ℃對應(yīng)扁球殼屈曲前和屈曲后的穩(wěn)態(tài)構(gòu)形。為了對比，還給出了扁球殼的初始構(gòu)形。對于屈曲前的構(gòu)形，從圖8 可以看出，隨溫度升高，球殼變形顯著減小，反之則顯著增大。這是因?yàn)椋呵驓で埃S溫度升高，熱膨脹引起的球殼橫向變形沿凸面外法線方向，與荷載引起的向內(nèi)側(cè)的撓度相抵消；另外，熱膨脹引起球殼深度增加，導(dǎo)致球殼承載力(即上臨界荷載)顯著增加，對應(yīng)于給定荷載的變形(指屈曲前)會減小。還容易看出，溫度升高會導(dǎo)致球殼屈曲過程的跳躍幅度明顯增加。另外，球殼后屈曲構(gòu)形在邊界處的形狀再次顯示了此類球殼(其材料彈性模量從外側(cè)向內(nèi)側(cè)逐漸減小)屈曲后其邊界并不能充分翻轉(zhuǎn)。圖9 給出了材料特性參數(shù)Em=206 GPa，Ec=151 GPa，ν=0.3，幾何參數(shù)R=1600 mm，a=160 mm，h=5 mm的扁球殼在荷載q=0.6 MPa 和未變溫情況下的屈曲前和屈曲后穩(wěn)態(tài)構(gòu)形，同時給出了球殼的初始構(gòu)形。從圖9 可以看出，此類功能梯度球殼(其材料彈性模量從外側(cè)向內(nèi)側(cè)逐漸增加)后屈曲狀態(tài)下邊界發(fā)生了充分的翻轉(zhuǎn)。

圖7 給定荷載和指數(shù)k 對應(yīng)的FGM 扁球殼的雙穩(wěn)態(tài)構(gòu)形Fig.7 Bi-stable configuration of FGM shallow spherical shells for given load and index k

圖8 給定荷載和變溫場對應(yīng)的FGM 扁球殼的雙穩(wěn)態(tài)構(gòu)形Fig.8 Bi-stable configuration of FGM shallow spherical shells for given load and temperature field

圖9 給定荷載對應(yīng)的FGM 扁球殼的雙穩(wěn)態(tài)構(gòu)形Fig.9 Bi-stable configuration of FGM shallow spherical shells for given load

5 實(shí)用數(shù)表和曲線

分析本文無量綱兩點(diǎn)邊值問題可知：在球殼工作環(huán)境溫度相對初始無應(yīng)力狀態(tài)的溫度不發(fā)生改變的情況下，對給定幾何參數(shù)a2/(Rh)、指數(shù)k 和組分材料泊松比ν 的扁球殼，其無量綱荷載與球殼中心無量綱撓度的關(guān)系與球殼組分材料彈性模量的絕對值無關(guān)，僅取決于其彈性模量比?？紤]到工程界更關(guān)注殼體上臨界荷載，即承載力。因此，在未變溫的情況下，針對工程界常見的鋁/黏土(Em/Ec=7/38，ν=0.3)和鋁/氧化鋯(Em/Ec=70/151，ν=0.3)兩種組分材料組合，考慮一組幾何參數(shù)a2/(Rh)和一組梯度指數(shù)k，通過表2 和表3 分別給出了對應(yīng)的扁球殼的無量綱上臨界荷載Qu。對表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行換算，能夠方便的得到具有實(shí)際參數(shù)簡支邊功能梯度圓底扁球殼的有量綱上臨界荷載。

考慮到扁球殼工作環(huán)境溫度會發(fā)生變化，因此，在計(jì)及變溫的情況下，制作類似表2 與表3的數(shù)表能夠方便地指導(dǎo)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工作。遺憾的是，計(jì)及變溫時，即使在組分材料常數(shù)給定的情況下，球殼的幾何參數(shù)、材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和無量綱變溫的組合種類仍然很多，用數(shù)表無法表達(dá)。若用平面曲線來表達(dá)，也需要非常多的曲線圖形。限于篇幅，在給定幾何參數(shù)a2/(Rh)=3.2 和a/h=32(球殼有量綱溫度不但與a2/(Rh)的值有關(guān)，還與a/h 的值有關(guān))和一組體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k(見圖10、圖11)的情況下，針對組分材料組合鋁/黏土和鋁/氧化鋯的簡支邊功能梯度圓底扁球殼，分別由圖10和圖11 給出了球殼的有量綱上臨界荷載qu隨均勻變溫T 的變化曲線，供設(shè)計(jì)人員參考。

表2 不同幾何參數(shù)a2/(Rh)與材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k 對應(yīng)的扁球殼無量綱上臨界荷載QuTable2 Dimensionless upper critical load Qu of shallow spherical shells for different geometric parameters a2/(Rh) and volume fraction index k

表3 不同幾何參數(shù)a2/(Rh)與材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k 對應(yīng)的扁球殼無量綱上臨界荷載QuTable3 Dimensionless upper critical load Qu of shallow spherical shells for different geometrical parameters a2/(Rh) and volume fraction index k

圖10 體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k 對變溫場中的FGM扁球殼的上臨界荷載的影響Fig.10 Effects of volume fraction index k on upper critical load of FGM shallow spherical shells for different temperature fields

圖11 體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k 對變溫場中的FGM扁球殼的上臨界荷載的影響Fig.11 Effects of volume fraction index k on upper critical load of FGM shallow spherical shells for different temperature fields

6 結(jié)論

本文基于經(jīng)典殼理論和von Karman 幾何非線性理論，考慮材料性質(zhì)沿厚度按冪率函數(shù)變化，建立了簡支邊功能梯度材料圓底扁球殼在熱機(jī)械荷載作用下的彈性穩(wěn)定性問題的位移型控制方程及其邊界條件。采用數(shù)值打靶法求得了殼體的平衡路徑和平衡構(gòu)形。分析了簡支邊功能梯度圓底扁球殼在熱機(jī)載荷共同作用下的跳躍屈曲行為。得出如下主要結(jié)論：

(1) 材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)增加時，殼體上臨界荷載顯著減小，殼體下臨界荷載變化規(guī)律比較復(fù)雜；

(2) 組分材料彈性模量減小時，殼體上臨界荷載顯著減小，殼體下臨界荷載變化不明顯；

(3) 溫度均勻升高時，殼體上臨界荷載顯著增加，殼體下臨界荷載顯著減?。?/p>

(4) 橫向梯度特性對球殼屈曲平衡路徑和后屈曲穩(wěn)態(tài)構(gòu)形有顯著影響。