標(biāo)準(zhǔn)橢球面坐標(biāo)系的建立及在各向異性電磁介質(zhì)中的應(yīng)用

許景生, 李文略

(嶺南師范學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037)

陳燊年等[1]系統(tǒng)地研究了介質(zhì)為各向異性(限于有且只有3個正交主軸方向的各向異性電磁介質(zhì))的電磁場，其中給出了各向異性電磁介質(zhì)的邊值關(guān)系，并得出了在電磁介質(zhì)分界面為平面時(shí)，邊值關(guān)系在空間直角坐標(biāo)系下的具體形式，而對當(dāng)分界面為其他形狀時(shí)邊值關(guān)系的具體形式?jīng)]有作進(jìn)一步的研究。由唯一性定理，一個電磁問題的完整描述應(yīng)包含所滿足的微分方程和相應(yīng)的邊值關(guān)系，且選擇合適的坐標(biāo)系會使描述的電磁問題簡單化。李洲圣等[2]系統(tǒng)地定義了張量分析的矩陣方法，文獻(xiàn)[3-8]應(yīng)用該方法對各向異性介質(zhì)的電磁場作了一系列的研究，為繼續(xù)豐富各向異性介質(zhì)電磁場的內(nèi)容且使研究的第二邊值關(guān)系問題更具典型性，本文應(yīng)用張量分析的矩陣方法建立標(biāo)準(zhǔn)橢球面坐標(biāo)系，并推導(dǎo)當(dāng)電磁介質(zhì)分界面為橢球面時(shí)，第二邊值關(guān)系在標(biāo)準(zhǔn)橢球面坐標(biāo)系下的具體形式。

1 應(yīng)用張量分析的矩陣方法建立標(biāo)準(zhǔn)橢球面坐標(biāo)系及相關(guān)的特征參量矩陣

(1)

(2)

現(xiàn)計(jì)算協(xié)變六面體體積Ω，計(jì)算過程如下

(3)

(4)

其中，?11=a2cos2θcos2φ+b2cos2θsin2φ+c2sin2θ，?12=b2sinθcosθsinφcosφ-a2sinθcosθsinφcosφ，?22=a2sin2θsin2φ+b2sin2θcos2φ。由?12≠0可知，當(dāng)?shù)貥?biāo)準(zhǔn)橢球面坐標(biāo)系的坐標(biāo)標(biāo)架是非正交的。在此需要進(jìn)一步說明的是，文中建立的標(biāo)準(zhǔn)橢球面坐標(biāo)系是非正交的，與傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)橢球坐標(biāo)系是不同的[9]。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系是三維的正交曲線坐標(biāo)系，盡管退化為二維的正交曲線坐標(biāo)系，亦是不同于本文所定義的標(biāo)準(zhǔn)橢球面坐標(biāo)系的。

2 各向異性電磁介質(zhì)的第二邊值關(guān)系

由電動力學(xué)或電磁理論可知，在各向同性電磁介質(zhì)中，兩種介質(zhì)分界面處，場量滿足的第二邊值關(guān)系為

(5)

(6)

各向異性電磁介質(zhì)邊值關(guān)系式(6)中的第一、三式是二階張量方程，第二、四式是矢量方程(1階張量方程)。由張量方程的協(xié)變性，可應(yīng)用張量分析的矩陣方法分別推導(dǎo)出磁各向異性介質(zhì)和電各向異性介質(zhì)第二邊值關(guān)系在標(biāo)準(zhǔn)橢球面坐標(biāo)系下的具體形式。

3 標(biāo)準(zhǔn)橢球面坐標(biāo)系下各向異性磁介質(zhì)的第二邊值關(guān)系

邊值關(guān)系式(6)中的第一式用張量分析的矩陣方法計(jì)算，

(7)

(8)

式(8)即為第二邊值關(guān)系式(6)中第一式在標(biāo)準(zhǔn)橢球面坐標(biāo)系下的具體形式，其中

(9)

由式(6)第二式得B1n-B2n=0，該關(guān)系式與式(8)(9)構(gòu)成了當(dāng)各向異性磁介質(zhì)的分界面為橢球面時(shí)，第二邊值關(guān)系在橢球面坐標(biāo)系下的具體形式。可知，各向異性磁介質(zhì)的邊值關(guān)系很繁瑣，以下對該邊值關(guān)系進(jìn)行討論。

(10)

4 標(biāo)準(zhǔn)橢球面坐標(biāo)系下各向異性電介質(zhì)的第二邊值關(guān)系

邊值關(guān)系式(6)中的第三式用張量分析的矩陣方法計(jì)算

(11)

(12)

其中，

(13)

邊值關(guān)系式(6)中的第四式用張量分析的矩陣方法計(jì)算

(14)

(15)

所得結(jié)果與文獻(xiàn)[10]一致。

5 結(jié)語

由于各向異性電磁介質(zhì)第二邊值關(guān)系是張量方程，它具有協(xié)變性，故可應(yīng)用張量分析的矩陣方法得到該邊值關(guān)系在標(biāo)準(zhǔn)橢球面坐標(biāo)系下的具體形式。各向異性電磁介質(zhì)邊值關(guān)系的協(xié)變性有助于加深對各向異性電磁介質(zhì)介電屬性和磁導(dǎo)屬性的理解，以及由此推導(dǎo)出第二邊值關(guān)系的具體形式，可作為研究各向異性電磁介質(zhì)電磁屬性基礎(chǔ)理論的補(bǔ)充。