例析初中數(shù)學(xué)規(guī)律題教學(xué)策略

林卉 趙繼源 葉文婷

【摘要】本文針對初中數(shù)學(xué)規(guī)律題教學(xué)缺乏針對性的現(xiàn)狀，結(jié)合實例論述教師引導(dǎo)學(xué)生對規(guī)律題進行初步分類、細化分類，以及針對每一類題目的特點進行教學(xué)的策略，以期學(xué)生在學(xué)習(xí)中實現(xiàn)舉一反三。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 規(guī)律題 分類策略 教學(xué)策略

【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）25-0133-04

規(guī)律探索題是一類通過呈現(xiàn)出若干個按照某種特定變化規(guī)律排列的數(shù)字、式子或圖形，讓解題者通過觀察、猜想和歸納等一系列活動尋找出其中的一般性規(guī)律的題目。這類題目的綜合性較強，有助于開拓學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)知識綜合應(yīng)用能力，是近年各地中考的熱點題型之一。規(guī)律題形式復(fù)雜、綜合性強，涉及的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容較為廣泛，許多教師不知從何入手進行教學(xué)，可能會較為隨意地挑選題目給學(xué)生進行講解和練習(xí)，沒有明確的目標(biāo)，教學(xué)缺乏針對性。學(xué)生在解決這類問題的過程中，由于缺乏針對性的訓(xùn)練，面對題目常常一頭霧水，無從下手進行解答。加之這類題目常在中考選擇填空題中壓軸，給學(xué)生留下此類題目難度較大的印象，部分基礎(chǔ)相對薄弱的學(xué)生面對此類題目甚至?xí)x擇直接放棄，教學(xué)效果不太理想。筆者針對當(dāng)前初中數(shù)學(xué)規(guī)律題教學(xué)的現(xiàn)狀，闡述對規(guī)律題進行整理和歸類的必要性，并詳細介紹教師帶領(lǐng)學(xué)生對規(guī)律題進行分類的途徑，歸納對應(yīng)的解題策略，從而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中實現(xiàn)舉一反三。

雖然規(guī)律題有一定難度，但學(xué)生只要能對題目進行正確的歸類，并掌握對應(yīng)類型題目的解題策略和方法就可以順利地進行解答。因此，教師有必要對常見的規(guī)律題進行研究、整理和分類，總結(jié)每類題目的特征及解題策略，從而進行有針對性的教學(xué)。有些教師可能會從題目外在表現(xiàn)形式的特征出發(fā)對規(guī)律題進行簡單的分類，將其分為數(shù)式變化類、圖形變化類、圖表變化類這三大類。這三大類規(guī)律題的外在形式特征十分明顯，容易進行辨認和歸類。但是面對這幾個大類，教師仍然很難歸納出每類題型相對統(tǒng)一的解題思路。求解規(guī)律題的關(guān)鍵是找出規(guī)律變化的特點，因此教師還需要根據(jù)規(guī)律變化的特點對這幾個大類進行進一步的細化分類，才能總結(jié)出每類題目的特征及解題策略，使學(xué)生可以順利地解決此類問題。教師可以先引導(dǎo)學(xué)生從總體上對常見的規(guī)律題進行初步的分類，然后帶領(lǐng)學(xué)生根據(jù)每類題目中規(guī)律變化的特點，對初步分類得到的大類進一步細化，并針對每個小類的特征展開分析和講解。

一、初步分類

教師給出含有數(shù)式變化類、圖形變化類和圖表變化類這些類型的若干道規(guī)律題，讓學(xué)生觀察每道題目的外在表現(xiàn)特征，分析每題發(fā)生變化的內(nèi)容分別是什么，并引導(dǎo)學(xué)生將有著相似特征的題目歸為一類，總結(jié)每類題目的不同特征。本環(huán)節(jié)給出的題目如下。

例1：如圖，第一個圖形中有1個點，第二個圖形中有4個點，第三個圖形中有13個點……按此規(guī)律，第n個圖形中有? ? ?個點。

例2：觀察一列數(shù)：-3，0，3，6，9，12，……按此規(guī)律，這一列數(shù)的第21個數(shù)是? ? ? ? ? ? 。

例3：將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按圖規(guī)律排列。規(guī)定位于第m行，第n列的自然數(shù)10記為（3，2），自然數(shù)15記為（4，2）……按此規(guī)律，自然數(shù)2018記為? ? ? ? ? 。

例5：如圖，∠MON=60°，作邊長為1的正六邊形A1B1C1D1E1F1，邊A1B1，F(xiàn)1E1分別在射線OM，ON上，邊C1D1所在的直線分別交OM，ON于點A2，F(xiàn)2，以A2F2為邊作正六邊形A2B2C2D2E2F2，邊C2D2所在直線分別交OM，ON于點A3，F(xiàn)3，再以A3F3為邊作正六邊形A3B3C3D3E3F3，…，依此規(guī)律，經(jīng)第n次作圖后，點Bn到ON的距離是? ? 。

例6：將正整數(shù)1，2，3，……從小到大按下面規(guī)律排列。若第4行第2列的數(shù)為32，則①n=? ? ? ? ;②第i行第j列的數(shù)為 ? ? ?（用i，j表示）。

通過簡單地觀察，學(xué)生可以很快地發(fā)現(xiàn)例1和例5可以歸為一類，它們中都有處于變化之中的圖形，圖形的個數(shù)、圖形中線段的長度這些量發(fā)生了變化;例3和例6可以歸為一類，它們中都出現(xiàn)了表格，位于表格中不同位置的數(shù)字或式子發(fā)生了變化;例2和例4中分別出現(xiàn)了一列處于變化之中的數(shù)字和代數(shù)式，因此它們有著相似之處，可以歸為一類。

教師對學(xué)生給出的分類進行凝練和概括，總結(jié)每類題目的特征：我們把例1和例5歸為圖形變化類規(guī)律題，這類題目中通常含有一組處于變化之中的圖案，發(fā)生變化的量主要是圖案的個數(shù)、圖形中的線段長度或角度、圖形的周長或面積;把例2和例4歸為數(shù)式變化類規(guī)律題，這類題目中通常含有一組處于變化之中的數(shù)式，發(fā)生變化的量是數(shù)字或式子（包括代數(shù)式、等式、不等式等）;把例3和例6歸為圖表變化類規(guī)律題，這類題目中通常含有一個圖表，發(fā)生變化的量主要是位于圖表中不同位置的數(shù)式。圖形變化類、數(shù)式變化類、圖表變化類這三大類規(guī)律題都是我們?nèi)粘Ｓ?xùn)練和考試中常見的規(guī)律題。

二、細化分類

圖表變化類規(guī)律題實質(zhì)上考查的是圖表中數(shù)字或式子的變化規(guī)律，圖形變化類規(guī)律題考查的是圖形中某些量的數(shù)量變化規(guī)律，它們本質(zhì)上發(fā)生變化的量還是數(shù)字或式子，所以數(shù)式變化類規(guī)律題的細化分類具有較強的代表性，可以為其他大類題目的細化分類提供參考思路。由于篇幅限制，本文以數(shù)式變化類規(guī)律題為例，分析如何帶領(lǐng)學(xué)生對規(guī)律題進行進一步的細化分類，歸納出對應(yīng)的解題策略。

數(shù)式變化類規(guī)律題根據(jù)規(guī)律變化的特點可以分為遞進變化類規(guī)律題和循環(huán)變化類規(guī)律題，教師給出符合這兩個類型的若干道規(guī)律題，讓學(xué)生觀察每道題目的規(guī)律變化特點，并引導(dǎo)學(xué)生將規(guī)律變化有著相似特點的題目組成一組，總結(jié)出每組題目共同的規(guī)律變化特征。本環(huán)節(jié)給出的題目有上述的例2、例4及如下題目。

例7：觀察下列等式

在上述的數(shù)字寶塔中，從上往下數(shù)，2016在第? ? ? 層。

例8：觀察下列運算：81=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144……則81+82+83+84+…+82014的和的個位數(shù)字是? ?。

例9：觀察以下一列數(shù)：3，[5/4]，[7/9]，[9/16]，[11/25]……則第20個數(shù)是? ?。

例10：a1，a2，a3，a4，a5，a6……是一列數(shù)，已知第一個數(shù)a1=4，第5個數(shù)a5=5，且任意三個相鄰的數(shù)之和為15，則第2019個數(shù)a2019的值是? ?。

在教學(xué)時，教師可以通過適當(dāng)?shù)亟o出一些帶有引導(dǎo)性的問題，讓學(xué)生帶著問題去觀察每道題目中數(shù)列或式子的排列規(guī)律和變化特征，如這些數(shù)式中后一項比前一項大還是小？有沒有相同的數(shù)式重復(fù)出現(xiàn)？它們以什么樣的變化規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)？在例2、例7和例9中，均沒有相同的數(shù)式重復(fù)出現(xiàn)。學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)在例2中的這列數(shù)的后一項都比前一項增加3，可得例2中的這列數(shù)有著數(shù)字從左到右逐漸增加的變化規(guī)律;也可以很快發(fā)現(xiàn)例9中的這列數(shù)的后一項都比前一項小，可得例9中的這列數(shù)有著數(shù)字從左到右逐漸減小的變化規(guī)律。而例7要觀察的是等式中的規(guī)律，學(xué)生在剛開始看到等式中這些紛繁雜亂的數(shù)字時可能不知從何下手，這時教師應(yīng)針對題目的特點給予提示：隨著層數(shù)的增加，等式左端（右端）的第一個數(shù)有著怎樣的變化規(guī)律？學(xué)生容易得出不論是等式左端還是右端的第一個數(shù)都有著隨層數(shù)增加而逐漸增加的變化規(guī)律。例2、例7和例9具有相似的變化規(guī)律，可以將它們作為一個題組。在例4、例8和例10中，均有相同的數(shù)式重復(fù)出現(xiàn)。在例4中，學(xué)生很難直接看出a2，a3，a4……的值，所以教師首先要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知信息，把前一項代數(shù)式的值代入后一項的表達式中，依次求出前若干項代數(shù)式的值，再對它們的規(guī)律進行觀察。則這組代數(shù)式在這列代數(shù)式中會不斷地循環(huán)往復(fù)出現(xiàn)。例8要求這些數(shù)的和的個位數(shù)字，教師可提示學(xué)生觀察個位數(shù)字的排列規(guī)律。學(xué)生通過觀察8，4，2，6，8，4……可發(fā)現(xiàn)8，4，2，6這些數(shù)字都有重復(fù)出現(xiàn)的情況，并且8，4，2，6這組數(shù)字在這列數(shù)中不斷地循環(huán)出現(xiàn)。例10中的這列數(shù)也需要根據(jù)題目中的已知條件求出，教師可以給予提示讓學(xué)生通過列出三元一次方程組解出a1，a2，a3，a4，a5，a6……這些數(shù)的值再進行觀察，可發(fā)現(xiàn)在4，5，6，4，5，6……中4，5，6不斷地循環(huán)出現(xiàn)。例4、例8和例10具有相似的變化規(guī)律，可以將它們作為一個題組。

分析了每道題目的規(guī)律變化特點并進行分組后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出每個題組中題目所具有的共同特征。例2、例7和例9所具有的共同特點是：題目所給的根據(jù)一定順序排列的數(shù)列或式子中的數(shù)字具有按照某種規(guī)律逐漸增加或減少的遞進變化特點，我們把具有此特征的題目歸為數(shù)式類規(guī)律題中的遞進變化類規(guī)律題;例4、例8和例10所具有的共同特點是：題目所呈現(xiàn)的一列數(shù)字或式子中會出現(xiàn)其中一組數(shù)式在這列數(shù)式中連續(xù)循環(huán)排列的現(xiàn)象，并且這組數(shù)式有著固定的內(nèi)容和排列順序，我們把具有此特征的題目歸為數(shù)式類規(guī)律題中的循環(huán)變化類規(guī)律題，這組具有固定的內(nèi)容和排列順序的數(shù)式稱為這列循環(huán)數(shù)式的循環(huán)節(jié)。

三、針對每一類題目的特點進行教學(xué)

在教學(xué)時，教師可以先選取題組中的一道題目進行詳細講解，逐步引導(dǎo)學(xué)生厘清思路、攻克難關(guān);然后對精講例題進行回顧，帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)解題策略和方法;最后運用題組中的其他題目進行鞏固訓(xùn)練，讓學(xué)生在題組訓(xùn)練中實現(xiàn)舉一反三。

（一）數(shù)式變化類規(guī)律題中的遞進變化規(guī)律

1.精講例題

在教學(xué)例2時，教師首先通過提出一些簡單的問題使學(xué)生對題目形成初步的感知和認識，如這列數(shù)中兩個相鄰的數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？從左往右排列，第8個數(shù)應(yīng)該是多少？6是第幾個數(shù)，它是通過怎樣的計算得到的？第一個問題的答案想必學(xué)生在觀察題目特征時就已經(jīng)能夠得出來了，在第一個問題的基礎(chǔ)上解決第二個問題變得非常簡單。第三個問題沒有固定的答案，學(xué)生可能會想出許多種不同的計算方法，如3+3=6，9-3=6，-3+3×3=6……

順著這個問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察某個數(shù)與位置序號數(shù)之間存在的關(guān)系。請想到-3+3×3=6這個計算方法的學(xué)生來解釋其中的含義，并讓學(xué)生按照這個思路寫出這列數(shù)中其他數(shù)字的表達式。

第1個數(shù)：-3=-3+3×0

第2個數(shù)：0=-3+3×1

第3個數(shù)：3=-3+3×2

第4個數(shù)：6=-3+3×3

第5個數(shù)：9=-3+3×4

第6個數(shù)：12=-3+3×5

……

學(xué)生列出數(shù)列中每個數(shù)字的表達式后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過對比找出表達式中變化的部分和不變的部分，以及變化部分與對應(yīng)的位置序號數(shù)間的數(shù)量關(guān)系，進而推斷出第n個數(shù)的表達式。通過比較學(xué)生可發(fā)現(xiàn)“-3+3×”是表達式中不變的部分，而“3×”后面的數(shù)字是變化的部分，變化的數(shù)字都比對應(yīng)的位置序號數(shù)小1。根據(jù)這樣的發(fā)現(xiàn)不難寫出第n個數(shù)的表達式，即-3+3×（n-1）。

得出第n個數(shù)的表達式之后，教師要提醒學(xué)生這不一定是正確結(jié)果，還要通過代入具體的數(shù)字進行驗算來檢驗表達式的正確性，若發(fā)現(xiàn)表達式不正確還需按照相同的步驟重新尋找第n個數(shù)的表達式。將若干個位置序號數(shù)分別代入表達式，若計算出的每個結(jié)果都等于對應(yīng)位置的數(shù)字，則表達式正確，反之則表達式錯誤。

最后根據(jù)題意運用正確的表達式求出題目的答案。題目要求第21個數(shù)，那么就將21代入-3+3×（n-1）中，得出第21個數(shù)為57。

2.總結(jié)解題策略，實現(xiàn)舉一反三

教師先給學(xué)生一些時間對剛才例2的解題過程進行回顧，根據(jù)例2的解題過程嘗試著總結(jié)提煉解題步驟，為學(xué)生提供獨立思考的空間，鍛煉學(xué)生的歸納總結(jié)能力。然后帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧和總結(jié)這類題目的解題策略和方法，并讓學(xué)生根據(jù)總結(jié)的內(nèi)容解答例7和例9，進行鞏固練習(xí)實現(xiàn)舉一反三。這類問題的變化規(guī)律一般與數(shù)式對應(yīng)的位置序號數(shù)存在聯(lián)系，因此解答時首先要根據(jù)數(shù)式在題目中的位置給它們排上序號;接著通過觀察和對比，嘗試用含有對應(yīng)序號數(shù)的表達式表示若干個已知數(shù)式;然后找出這些表達式中變與不變的部分，分析變化部分和序號數(shù)間存在的數(shù)量關(guān)系，猜想和推導(dǎo)出第n個數(shù)式的表達式;最后通過代入序號數(shù)來檢驗表達式的正確性，根據(jù)題意運用正確的表達式求出題目的答案。

（二）數(shù)式變化類規(guī)律題中的循環(huán)變化規(guī)律

1.精講例題

2.總結(jié)解題策略，實現(xiàn)舉一反三

這個環(huán)節(jié)的教學(xué)過程與前一個類型題目相同環(huán)節(jié)的教學(xué)過程大體一致，不再重復(fù)論述。在一列數(shù)式前若干項已知的情況下，解答這類題目時首先要觀察題目中數(shù)式的循環(huán)規(guī)律，找出循環(huán)節(jié);然后根據(jù)題目問題和循環(huán)節(jié)中數(shù)式的個數(shù)求出循環(huán)節(jié)經(jīng)歷的循環(huán)次數(shù)以及余數(shù);最后通過分析余數(shù)和循環(huán)節(jié)之間的對應(yīng)關(guān)系得出題目要求的答案。

關(guān)于規(guī)律題的分類方式和教學(xué)策略還有很多，本文筆者只是提供了其中的一種思路供教師參考。規(guī)律題教學(xué)的現(xiàn)狀雖然不是很理想，但是通過教師對規(guī)律題的深入分析和研究，并引導(dǎo)學(xué)生對規(guī)律題進行分類，歸納出對應(yīng)的解題策略，相信教學(xué)效果可以獲得極大的提升，學(xué)生不僅能獲得數(shù)學(xué)綜合能力的提高，還能在平時的訓(xùn)練和考試中順利地解決此類問題，從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中收獲成功的體驗，增強學(xué)習(xí)信心。

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作者簡介：林卉（1997— ），女，廣東揭陽人，在讀碩士研究生，研究方向為數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué);趙繼源（1963— ），壯族，廣西天等人，博士，教授，研究方向為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理、數(shù)學(xué)課程與教學(xué)、數(shù)學(xué)教師教育;葉文婷（1996— ），女，廣西合浦人，在讀碩士研究生，研究方向為數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)。