起重機主梁輕量優(yōu)化精確建模與智能求解方法

郜少波，程精濤

（1.河北勞動關(guān)系職業(yè)學(xué)院，河北 石家莊 050002；2.成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，四川 樂山 614007）

1 引言

隨著經(jīng)濟全球化不斷深入，市場競爭更加激烈，我國橋式起重機自重大、體積大、耗能多，不具備競爭優(yōu)勢[1]。在滿足強度、剛度、穩(wěn)定性約束基礎(chǔ)上，對起重機橋架結(jié)構(gòu)進行輕量化設(shè)計，對于提高市場競爭力和經(jīng)濟效益具有重要意義。

起重機輕量化設(shè)計技術(shù)包括材料輕量化、制造輕量化和結(jié)構(gòu)輕量化，其中結(jié)構(gòu)輕量化又可分為拓撲優(yōu)化、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，這里研究的是使用固定材料和特定形狀下的尺寸優(yōu)化方法。起重機主梁尺寸優(yōu)化方法主要包括響應(yīng)面極限狀態(tài)設(shè)計[2-3]、可靠性設(shè)計[4]、智能優(yōu)化設(shè)計等方法，文獻[5]對遺傳算子和變異算子進行了改進，提出基于改進遺傳算法的設(shè)計方法，仿真結(jié)果表明，改進遺傳算法的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果優(yōu)于周期性拓撲優(yōu)化方法；文獻[6]將文化基因算法、遺傳算法、模擬退火算法融合為加速文化基因算法，應(yīng)用于起重機輕量化設(shè)計，得到了滿足設(shè)計要求的設(shè)計方法；文獻[7]以主梁質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù)，以穩(wěn)定性和剛度為約束條件，使用拉格朗日乘子的方法得到了優(yōu)化方案。當(dāng)前我國起重機設(shè)計理論依然過于保守，先進的、智能的設(shè)計方法依然處于理論分析和實驗階段，應(yīng)用到實際設(shè)計與生產(chǎn)中仍有較長的路要走。

研究了主梁優(yōu)化設(shè)計的精確建模和智能求解方法。在建模方面，建立了優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)函數(shù)，使用罰函數(shù)將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非約束優(yōu)化問題；在智能求解方面，以粒子群算法為基礎(chǔ)，提出了多渠道信息來源方法，使粒子根據(jù)信息自適應(yīng)選擇進化方法，使用此方法求解優(yōu)化模型，實現(xiàn)了主梁的輕量化設(shè)計。

2 引入罰函數(shù)的主梁輕量化優(yōu)化模型

2.1 箱型主梁優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

前文中提到，研究的是使用固定材料和跨度前提下對箱型主梁的尺寸優(yōu)化問題，在材料和跨度固定的情況下，箱型主梁的質(zhì)量取決于主梁的體積或橫截面積。箱型主梁的截面，如圖1 所示。圖中：x1—腹板高度；x2—右腹板厚度；x3—上翼緣板厚度；x4—翼緣板寬度；x5—左腹板厚度；x6—下翼緣板厚度。以此6 個截面參數(shù)為設(shè)計變量，輕量化設(shè)計的目標(biāo)是在滿足約束條件下實現(xiàn)質(zhì)量最小化，也就是截面積最小化，因此目標(biāo)函數(shù)建立為：

式中：f（x）—主梁截面積，右側(cè)第一項為左右腹板截面積，第二項

為上下翼緣板截面積。

圖1 箱型主梁截面圖Fig.1 Sectional View of Box Girder

2.2 約束條件

主梁優(yōu)化的約束條件包括設(shè)計變量的范圍約束、剛度約束、強度約束、穩(wěn)定性約束等[8]，下面具體分析。

2.2.1 設(shè)計變量的范圍約束

當(dāng)起重機的載重等級確定以后，根據(jù)GB/T3811-2008 與起重機設(shè)計手冊可以確定設(shè)計變量的取值范圍，（5～50）t 起重機的截面參數(shù)取值范圍，如表1 所示。

表1 截面參數(shù)的設(shè)計范圍Tab.1 Designing Scope of Section Parameters

2.2.2 剛度約束

剛度約束分為垂直靜剛度約束、水平靜剛度約束、動剛度約束等。

（1）垂直靜剛度約束。小車在滿載情況下行走至跨中位置時產(chǎn)生的撓度最大，記為f，則垂直靜剛度約束為：

式中：P1—載荷起升產(chǎn)生的輪壓；P2—小車自重產(chǎn)生的輪壓；L—主梁跨度；E—主梁材料彈性模量，l1=（L-b）/2，b—小車軸距；［f］=L/800—許用垂直靜剛度。

（2）水平靜剛度約束。大車啟動或制動時，載重小車與主梁自重引起的水平慣性力在跨中位置產(chǎn)生的水平變位fH為：

式中：Iy—截面沿Y 軸的慣性矩；qH—主梁自重產(chǎn)生的水平慣性力；PH—載重小車產(chǎn)生的水平慣性力；［fH］=L/2000—許用水平靜剛度。

（3）動剛度約束。載重小車位于跨中位置時，載重量處于最低位置時會產(chǎn)生自振，自振頻率為：

式中：g—重力加速度；β—質(zhì)量影響系數(shù)；y0、λ0—額定載重對物品懸掛處和滑輪組產(chǎn)生的位移；［fv］—許用自振頻率。

2.2.3 強度約束

強度約束分為跨中正應(yīng)力約束和跨端剪應(yīng)力約束。

（1）正應(yīng)力約束。主梁截面中，跨中位置正應(yīng)力最大，為：

式中：Mx、My—垂直載荷、水平慣性載荷在跨中截面引起的彎矩；Wx、Wy—跨中截面在垂直方向和水平方向的抗彎模量；［σw］—許用主梁應(yīng)力。

（2）跨端剪應(yīng)力約束。跨端截面左右腹板的額剪應(yīng)力最大，為：

式中：Qmax—端部最大剪應(yīng)力；Sxd—截面最大靜矩；Ixd—截面慣性矩；A0—截面面積；Mn—端部截面的偏心扭矩；δ=2δfa—腹板厚度；［τ］—許用剪應(yīng)力。

2.2.4 穩(wěn)定性約束

穩(wěn)定性約束包括全局穩(wěn)定性和局部穩(wěn)定性約束，局部穩(wěn)定性約束又分為翼緣板局部穩(wěn)定性和腹板局部穩(wěn)定性，下面具體分析。

（1）全局穩(wěn)定性。箱梁的全局穩(wěn)定性描述為：

式中：h—箱梁全高；bf—腹板高度與翼緣板厚度的和。

（2）翼緣板局部穩(wěn)定性描述為：

式中：B—翼緣板寬度；δf—腹板厚度；be—腹板外側(cè)間距；δy—翼緣板厚度。

（3）腹板局部穩(wěn)定性描述為：

式中：σα—腹板局部總應(yīng)力；σ1—彎曲應(yīng)力；σm—腹板局部壓應(yīng)力；τ—切應(yīng)力。

2.3 引入罰函數(shù)的輕量化優(yōu)化模型

罰函數(shù)是將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題的常用方法，以原目標(biāo)函數(shù)為主體，融入由約束條件構(gòu)造的懲罰項，得到求解優(yōu)化問題的輔助函數(shù)，求解時使用輔助函數(shù)代替目標(biāo)函數(shù)。罰函數(shù)分為內(nèi)罰函數(shù)和外罰函數(shù)，內(nèi)罰函數(shù)的特征是將罰函數(shù)定義域限制在原目標(biāo)函數(shù)的可行域內(nèi)，其一般形式為：

式中：m—不等式約束條件的個數(shù)。則內(nèi)罰函數(shù)構(gòu)造的一般方法為：

式中：M（x）—恒負值；r∈（0，1）—懲罰因子；k—迭代次數(shù)。

在優(yōu)化過程中，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近可行域邊界時，罰函數(shù)取值為無窮大，受到懲罰極重，從而將系統(tǒng)狀態(tài)限制在可行域內(nèi)；隨著迭代的進行，懲罰系數(shù)rk逐漸趨向于0，使迭代點逐漸向原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)值靠近。由以上理論可以看出，懲罰項M（x）的構(gòu)建最為關(guān)鍵，構(gòu)造時需滿足：（1）取值恒為負；（2）當(dāng)取值點接近邊界時，M（x）趨于負無窮。根據(jù)此規(guī)則，將式（1）～式（7）給出的約束條件構(gòu)造為：

式中：?—式（1）～式（2）、式（4）～式（7）中相應(yīng)的參數(shù)；［?］—對應(yīng)的許用量，fv、［fv］與式（3）中意義一致。由此得到主梁輕量化設(shè)計的輔助函數(shù)為：

式中：f（x）—原目標(biāo)函數(shù)，由式（1）給出；M（x）—懲罰項，由式（10）給出。

3 智能求解方法

第2 節(jié)建立了起重機主梁輕量化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型，本節(jié)以粒子群算法為基礎(chǔ)[9]，提出了基于多進化行為粒子群算法的主梁優(yōu)化模型智能求解方法。

3.1 粒子群算法簡介及分析

記粒子群規(guī)模為N，粒子群搜索空間維度為D，第i 個粒子的坐標(biāo)為 Xi=（xi1，xi2，L，xiD），速度為 Vi=（vi1，vi2，L，viD），第 i 個粒子的歷史最優(yōu)位置為 Pi=（pi1，pi2，L，piD），粒子群體最優(yōu)位置為 Pg=（pg1，pg2，L，xgD），則以第 i 個粒子的第 d 維坐標(biāo)為例，速度和位置更新方法為：

式中：ω—慣性權(quán)重；c1—自身學(xué)習(xí)因子；c2—群體學(xué)習(xí)因子；rand—（0，1）間的隨機數(shù)；t—迭代次數(shù)；xtid、vtid—第 i 個粒子第d 維迭代t 次時的位置和速度。

分析式（12）可知，所有粒子在自身慣性、自身歷史最優(yōu)、群體最優(yōu)的引導(dǎo)下進化，但是群體最優(yōu)未必為全局最優(yōu)，當(dāng)群體最優(yōu)為局部最優(yōu)時，在其引導(dǎo)之下整個種群都容易陷入局部極值而無法跳出。另外，粒子群算法模擬鳥群覓食過程提出來的，所有粒子或個體鳥均按照式（12）進行進化，根據(jù)生物進化論，單一的進化方式使種群生存和尋優(yōu)能力較差，多樣性的進化方式才能產(chǎn)生種群多樣化，進而提高算法尋優(yōu)能力。根據(jù)這一思想，提出了多行為進化粒子群算法。

3.2 多行為進化方法

為了增強種群多樣性，根據(jù)不同的信息來源，提出四種學(xué)習(xí)和進化方式：（1）向自身和群體最優(yōu)學(xué)習(xí)；（2）向整個群體學(xué)習(xí)；（3）同時向群體最優(yōu)和其他個體學(xué)習(xí)；（4）向種群中其他個體學(xué)習(xí)。下面進行具體分析。

（1）向自身和群體最優(yōu)學(xué)習(xí)，即粒子位置和速度更新方式與式（12）保持不變，但是算法后期在小區(qū)域進行精確搜索時，速度更新應(yīng)更加隨機而少些慣性，才能夠搜索更加細致，因此對慣性權(quán)重進行自適應(yīng)改進為：

式中：ω—自適應(yīng)慣性權(quán)重；

ωmax、ωmin—權(quán)重最大和最小值；

t—當(dāng)前迭代次數(shù)；

T—迭代總次數(shù)。

（2）向整個群體學(xué)習(xí)。以種群質(zhì)心位置作為整個種群的平均知識信息提供給個體，因此速度更新方法為：

（3）向種群最優(yōu)和其他個體學(xué)習(xí)。使用差分算法的方式進行構(gòu)造，速度更新方法為：

式中：i1，i2∈［1，N］—種群中不同的個體，且要求 i1≠i2。

（4）向種群中其他個體學(xué)習(xí)。在種群中隨機選擇3 個個體進行學(xué)習(xí)，如同個體變異，依然使用差分算法進化方式進行構(gòu)造，則速度更新方法為：

式中：i1，i2，i3∈［1，N］—種群中不同的個體，且 i1≠i2≠i3。

3.3 進化行為的概率選擇

在計算機圍棋程序中，選擇落子點時會參考當(dāng)前棋局的立即價值和未來價值，參考這一思想，計算粒子選擇不同進化行為的即時價值和后效價值，使用即時價值和后效價值構(gòu)造出選擇不同進化行為的概率。

（1）不同進化行為的即時價值。將進化行為的即時價值定義為迭代一次后適應(yīng)度的優(yōu)化程度。將輔助函數(shù)即式（11）直接作為適應(yīng)度函數(shù)，則適應(yīng)度值越小說明粒子越優(yōu)。粒子Xi采用第j 種進化行為后迭代一次適應(yīng)度記為fj（Xi，t），則即時價值為：

式中：Valij（t）—粒子i 選擇第j 種進化行為的即時價值。

（2）不同進化行為的后效價值。信心上界算法[10]成功應(yīng)用于計算機棋盤程序中，用于計算棋盤落子點的未來價值，參考這一計算方法，進化行為的后效價值為：

式中：Sucij（t）—粒子i 執(zhí)行第j 種進化行為的后效價值，分析上式可知，后效價值分為兩部分，前半部分為粒子個體未來價值，后半部分為全局未來價值；α∈（0，1）—個體未來價值和全局未來價值的平衡系數(shù)；C0—個體所獲知識的利用系數(shù)，一般有—粒子i 執(zhí)行第j 種進化行為在第t 次迭代前的成功次數(shù)；（t）—粒子 i 在第 t 次迭代前的進化次數(shù)—所有粒子執(zhí)行第j 種進化行為在第t 次迭代前的成功次數(shù)—所有粒子在第t 次迭代前的進化次數(shù)。

（3）根據(jù)不同進化行為的即時價值和后效價值計算選擇各進化行為的概率。第i 個粒子使用第j 種進化行為的得分Scoij使用歷史經(jīng)驗、及時價值和后效價值綜合衡量，即：

式中：i∈［1，N］—粒子編號；j∈［1，4］—進化方式編號；Pij（t）—迭代t 次時第i 個粒子選擇第j 種進化行為的概率。

根據(jù)各進化行為的得分，建立第i 個粒子使用第j 種進化行為的概率模型為：

式中：Pmin—設(shè)置的一個較小的概率值，防止某進化行為被選擇概率為0；Pij（t+1）—迭代至t+1 次時粒子i 選擇第j 個進化行為的概率。取概率最大的進化方式為粒子i 最終選擇的進化方式。

3.4 多進化行為粒子群算法流程圖

根據(jù)粒子群算法基本原理和不同進化行為的選擇方法，制定多進化行為粒子群算法的流程圖，如圖2 所示。

圖2 多進化行為粒子群算法Fig.2 Multiple Evolution Behaviors Particle Swarm Algorithm

4 優(yōu)化設(shè)計與驗證

這里設(shè)計兩部分驗證內(nèi)容：（1）使用仿真的方式驗證多進化行為粒子群算法的超強尋優(yōu)能力；（2）對起重機主梁進行優(yōu)化設(shè)計并進行效果驗證。

4.1 尋優(yōu)能力驗證

為了驗證多進化行為粒子群算法的超強尋優(yōu)能力，設(shè)置一個高維和一個低維兩個測試函數(shù)，分別為：

式中：n1、n2—兩測試函數(shù)的維度，設(shè)置 n1=100，即 f1—100 維的高維測試函數(shù)；n2=10，即f2為10 維的低維測試函數(shù)。尋優(yōu)目標(biāo)是求取兩個測試函數(shù)的最小值，易知兩函數(shù)最小值均為0，尋優(yōu)結(jié)果越接近0 說明算法性能越好。

為了形成對比，分別使用基本粒子群算法、文獻[11]給出的DGLCPSO 算法、多進化行為粒子群算法進行尋優(yōu)，多進化行為粒子群算法參數(shù)設(shè)置為：個體未來價值和全局未來價值的平衡系數(shù)α=0.5，自適應(yīng)慣性權(quán)重ω∈［0.2，0.9］，自身學(xué)習(xí)因子c1=1.4962，群體學(xué)習(xí)因子c2=1.4962，每種算法均獨立運行10 次，每次迭代1000 次。運行結(jié)果，如表2 所示。平均最優(yōu)值迭代曲線，如圖3、圖4 所示。

表2 不同算法的運行結(jié)果Tab.2 Operating Result of Different Algorithm

圖3 不同算法對測試函數(shù)1 的尋優(yōu)結(jié)果Fig.3 Optimizing Result of Test Function 1 of Different Algorithm

圖4 不同算法對測試函數(shù)2的尋優(yōu)結(jié)果Fig.4 Optimizing Result of Test Function 2 of Different Algorithm

從表2 和圖3、圖4 可以看出，在低維和高維尋優(yōu)問題中，多進化行為蟻群算法都能夠不斷地向最優(yōu)值靠近，而基本蟻群算法和DGLCPSO 算法尋優(yōu)精度達到一定程度后就不再下降，這是因為固定的進化方法和單一的知識來源渠道，使算法尋優(yōu)達到一定程度后就陷入局部極值而無法跳出，而多進化行為能夠依賴多渠道信息，自適應(yīng)調(diào)整粒子的進化方法，表現(xiàn)出了極強的尋優(yōu)能力。

4.2 主梁優(yōu)化設(shè)計

根據(jù)第2 節(jié)建立的優(yōu)化模型，將粒子維度設(shè)置為6，即粒子在6 維空間中尋優(yōu)，每個維度的粒子均采用十進制編碼方式，尋優(yōu)空間在表1 中已經(jīng)給出。算法的參數(shù)設(shè)置同4.1 節(jié)相同，分別使用基本粒子群算法和多進化行為粒子群算法優(yōu)化主梁截面參數(shù)，每種算法運行10 次，每次迭代300 次，在此展示算法10 次運行結(jié)果的最優(yōu)值，并于企業(yè)實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行對比，結(jié)果如表3所示。由于多進化行為例子群算法的超強尋優(yōu)能力在前文中得到驗證，在此不再給出目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化曲線。

表3 主梁優(yōu)化設(shè)計結(jié)果Tab.3 Girder Optimization Design Result

由表3 中數(shù)據(jù)可知，目前企業(yè)生產(chǎn)的主梁截面積為22160mm2，使用基本粒子群算法進行優(yōu)化設(shè)計后截面積減少為20332mm2，相比企業(yè)數(shù)據(jù)截面積減少了8.25%，多進化行為粒子群算法優(yōu)化后主梁面積減少為19750mm2，相比企業(yè)數(shù)據(jù)減少了10.86%，這說明我國生產(chǎn)的主梁依然具有很大的優(yōu)化空間。多進化行為粒子群算法之所以能夠取得更好的優(yōu)化結(jié)果，這是因為多種渠道的信息來源，為粒子自適應(yīng)調(diào)整和選擇進化行為提供了信息保障，能夠使算法不斷地向最優(yōu)解靠近。

4.3 主梁優(yōu)化結(jié)果驗證

主梁優(yōu)化設(shè)計是在剛度約束、強度約束和穩(wěn)定性約束前提下設(shè)計的，因此必然滿足主梁優(yōu)化設(shè)計的約束條件，但是為了更加直觀，在此對剛度約束和強度約束使用有限元法進行分析驗證。

主梁情況為：材料為Q235，材料密度為7.86×103kg/m3，泊松比為0.288，材料彈性模量為2.05×105MPa。使用六面體進行網(wǎng)格劃分，共生成31577 個單元節(jié)點，15811 個單元。

（1）強度驗證。滿載條件下，小車位于跨中位置時，跨中正應(yīng)力最大，跨端剪應(yīng)力最大，在此情況下主梁應(yīng)力云圖，如圖5 所示。

圖5 主梁應(yīng)力云圖Fig.5 Girder Stress Cloud Map

（2）垂直靜剛度與動剛度驗證。滿載條件下，小車位于跨中位置時，跨中位置的撓度最大，在此情況下主梁應(yīng)變云圖，如圖6所示。

圖6 主梁應(yīng)變云圖Fig.6 Girder Deformation Cloud Map

為了對優(yōu)化主梁進行動剛度約束分析，使用有限元分析主梁自振的6 階模態(tài)，在此將模態(tài)頻率連同剛度和強度分析結(jié)果進行展示，如表4 所示。通過圖5、圖6 和表4 可以看出，粒子群算法優(yōu)化程度較小，但是保留了更多的應(yīng)力和應(yīng)變裕度，多行為粒子群算法的優(yōu)化強度較高，但是同時增大了應(yīng)變和應(yīng)力，但是仍在約束范圍內(nèi)，滿足設(shè)計使用要求。通過以上驗證，充分說明了多進化行為粒子群算法在主梁優(yōu)化中的有效性和優(yōu)越性。

表4 有限元分析結(jié)果Tab.4 Girder Optimization Design Result

5 結(jié)論

研究了橋式起重機箱型主梁優(yōu)化設(shè)計問題，包括優(yōu)化模型精確建模和智能求解兩個方面。建立了主梁優(yōu)化模型，使用罰函數(shù)將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非約束優(yōu)化問題；以粒子群算法為基礎(chǔ)，提出了多渠道信息來源的多進化行為粒子群算法。通過求解可以看出，多進化行為粒子群算法具有超強的尋優(yōu)能力，且取得了很好的優(yōu)化效果。