初中數(shù)學(xué)“隱圓”助力解題的探究

◎羅成忠 （清流縣教師進(jìn)修學(xué)校，福建 三明 365300）

按義務(wù)教育階段《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》要求，“圓”這章節(jié)均安排在了九年級下冊，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)特別是“圖形與幾何”知識的高度融合，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計算、推理、驗(yàn)證等活動，認(rèn)識圓這部分知識的內(nèi)在、外在聯(lián)系，思考數(shù)形結(jié)合、函數(shù)對代數(shù)、幾何知識的作用，不斷揭示數(shù)學(xué)的多樣性和統(tǒng)一性，充分體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程，因而“圓”是初中數(shù)學(xué)中最重要的知識之一．

一、問題引出

引例：（2018·福建南平九下質(zhì)檢）如圖1，在四邊形ABCD 中，AB ∥CD，AB＝BC＝BD＝2，AD＝1，則AC＝．

圖1

從表面看，本引例似乎與圓無關(guān)，學(xué)生看到題目時，也不知從何下手，但我們從AB ＝BC ＝BD觀察，發(fā)現(xiàn)都和點(diǎn)B 有關(guān)，聯(lián)想“到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形是什么？”就能深挖題目中隱含的條件，巧妙地構(gòu)造符合題意特征的輔助圓（如圖2），通過勾股定理，可得問題便迎刃而解了．

圖2

在近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中，有些題目入手較難，得分率很低，一些知識點(diǎn)比較隱蔽，往往隱含在一些題目中間，讓人不太容易發(fā)現(xiàn)，以至于簡單的知識考查卻變成了難點(diǎn)．分析其原因不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對題目的本質(zhì)沒有搞清楚，沒有顯性的圓，但是仔細(xì)分析題目的條件，如果能夠成功地發(fā)現(xiàn)這些隱性的圓，難點(diǎn)就會被突破，達(dá)到“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的效果，對問題的解決起著重要的作用．

二、知識儲備

1．圓的有關(guān)概念：如圖3．

（1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長r；

（2）到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)都在同一個圓上．

2．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條?。?/p>

圖3

3．圓周角和圓心角的關(guān)系：圓周角的度數(shù)等于它所對弧的圓心角度數(shù)的一半；同弧或等弧所對的圓周角相等．

4．圓周角定理及其推論：圓周角的度數(shù)等于它所對弧的圓心角度數(shù)的一半；直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．

5．切線的性質(zhì)和判定：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

三、巧用“隱圓”概念,求解邊角問題

圓的概念— —到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形．

“兩定”是我們發(fā)現(xiàn)“隱圓”的關(guān)鍵，其模型是共端點(diǎn)、等線段模型（共點(diǎn)＋等長模型），如在引例中解決求邊的問題．

例如，如圖4，四邊形ABCD 中，AB＝AC ＝AD，若∠CBD ＝2 ∠BDC，∠BAC ＝40°，則∠CAD 的度數(shù)為．

圖4

通過觀察，我們會發(fā)現(xiàn)本題中的共點(diǎn)A，等長AB，AC，AD，于是我們巧妙利用圓的概念，以A 點(diǎn)為圓心，AB 長為半徑構(gòu)造隱性的⊙A，聯(lián)想到圓周角定理，可得出∠CAD ＝80°．

例如，如圖5，在△ABC 中，DA ＝DB ＝DC， ∠BAD ＝20°， 則∠ACB 的 度 數(shù)為．

圖5

本題中，因?yàn)镈A ＝DB ＝DC，故只要構(gòu)造以D 為圓心的⊙D，由DA ＝DB，∠BAD＝20°，及等腰三角形的性質(zhì)可得∠BDA＝140°．

再利用圓周角的度數(shù)等于它所對弧的圓心角度數(shù)的一半，

故而有∠ACB＝70°．

從表面看，這兩題似乎與圓無關(guān)，但我們能深挖題目中隱含的條件．由AB ＝AC ＝AD （或DA ＝DB ＝DC），利用定義“各點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于定長”，巧妙地構(gòu)造隱含的“圓”，再運(yùn)用“圓周角的度數(shù)等于它所對弧的圓心角度數(shù)的一半”，就能順利地解決問題．

四、利用“隱圓”的有關(guān)性質(zhì)與判定,證明邊角問題

在教材中，直徑所對的圓周角等于90°；反過來，90°的圓周角所對的弦是直徑．在實(shí)際的解題中，充分運(yùn)用該判定與性質(zhì)，往往能起到“一語驚醒夢中人”的作用．

例如，如圖6，在△ABC 中，點(diǎn)P 是BC 邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)M 是AP 的中點(diǎn)，PD⊥AB，垂足為D，PE⊥AC，垂足為E，連接MD，ME．

求證：∠DME＝2∠BAC．

圖6

本題若按正常的解題思路來做，無疑是有些難度的，但考慮到∠ADP與∠AEP 都是90°，斜邊都是AP，我們可以想到圓周角定理，構(gòu)造⊙M，∴點(diǎn)A，D，P，E 在以M 為圓心，PA 為直徑的圓上，再利用圓周角定理，可得∠DME ＝2 ∠BAC，該問題便解決了．

又如，（2017·廣東）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，O 為原點(diǎn)，四邊形ABCO 是矩形，點(diǎn)A，C 的坐標(biāo)分別是A（0，2）和，點(diǎn)D 是對角線AC 上一動點(diǎn)（不與A，C 重合），連接BD，作DE⊥DB，交x 軸于點(diǎn)E，以線段DE，DB 為鄰邊作矩形BDEF．

圖7

是否存在這樣的點(diǎn)D，使得△DEC 是等腰三角形？ 若存在，請求出AD 的長度；若不存在，請說明理由．

本題解法多樣，根據(jù)∠BDE ＝∠BCE ＝90°同在四邊形BDEC 中，易聯(lián)想到“四點(diǎn)共圓” ，從而構(gòu)造“隱圓”⊙K，如圖8，取BE 的中點(diǎn)K，連接DK 和CK，根據(jù)“直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CK ＝DK ＝EK ＝BK ＝，所以由圓周角定理， 可得∠1 ＝∠2．同時，在Rt△AOC中，

圖8

接下來再分兩種情況解析何時△DEC 是等腰三角形：①當(dāng)DE＝CE 時；②當(dāng)CD＝CE 時．

五、活用“隱圓”特征,解決一些最值問題

最值問題在初中數(shù)學(xué)中的重要地位逐步凸顯，它也是在學(xué)生對幾何與代數(shù)知識有所積累后，一類難度較大、靈活性較強(qiáng)、綜合性較高的題目，學(xué)生的解題思路有時難以打開，但如果能借助“隱圓”的一些特性，就能順利破解這類問題．

例如，如圖9，Rt △ABC 中，AB ⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且始終有AP⊥BP，則線段CP 長的最小值為．

圖9

又如圖10，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3．P是AB 邊上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B 重合），將△BCP 沿CP 所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則B′A 長度的最小值是．

在圖9 中，∠APB ＝90°，構(gòu)造以AB 為直徑的隱圓O，當(dāng)C，P，O 三點(diǎn)共線時，CP 取到最小值；在圖10 中構(gòu)造以C 為圓心、CP 長為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)B′落在AC 邊上時，根據(jù)圓外的點(diǎn)與圓心連線的最短（長）的特點(diǎn)，這兩個問題就能順利解決．

圖10

又如，如圖11，在Rt△ABC 中，∠ABC ＝ 90°， AB ＝ 3， BC ＝ 4，Rt△MPN中，∠MPN ＝90°，點(diǎn)P 在AC 上，PM 交AB 于點(diǎn)E，PN 交BC于 點(diǎn) F， 當(dāng) PE ＝ 2PF 時，AP＝．

圖11

本題解題的基本思路是，由共斜邊直角三角形想圓，輔助圓一出現(xiàn)，就可以利用同弧所對的圓周角相等進(jìn)行換角，利用三角函數(shù)解決問題．連接EF，以EF 的中點(diǎn)O 為圓心，OE 為半徑作圓，連接BP，作PG⊥AB 于G．E，B，F(xiàn)，P四點(diǎn)共圓，故∠PBE＝∠PFE，tan∠PBE＝由GA＋GB＝3，可得由勾股定理，得AP＝3．

六、借助“隱圓”位置關(guān)系,解決一些函數(shù)問題

在一些函數(shù)問題中，解題方法靈活多變，對學(xué)生的綜合能力要求較高，如果按正常的運(yùn)算、推理等方法是難以解決的．如果學(xué)生善于抓住運(yùn)動過程中某特殊位置的等量關(guān)系和變量關(guān)系，利用“隱圓”，將問題各個時刻的圖形分類畫出，有些問題就能迎刃而解．

圖12

例如，已知二次函數(shù)y＝x2-4x 的圖像與x 軸交于A（0，0），B（4，0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B 的左邊）．若點(diǎn)C 是一次函數(shù)y ＝-x＋b（b＞0）的圖像上的一個動點(diǎn)， 且∠ACB ＝90°，求b 的取值范圍．

探索本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出輔助圓，利用直線和輔助圓相切的位置關(guān)系，b的取值范圍就在兩條虛線之間，可得出b 的取值范圍為0≤b≤4．

綜觀上述，通過構(gòu)造輔助圓，不但可起到避繁就簡、化難為易的作用，構(gòu)造輔助圓要根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、圖形幾方面綜合分析，發(fā)現(xiàn)與圓有關(guān)的特點(diǎn)，聯(lián)想出與圓有關(guān)的概念、圖形、性質(zhì)等，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，促進(jìn)學(xué)生對解決數(shù)學(xué)問題方法的探索．