融歷史于數(shù)列極限定義的教學(xué)設(shè)計(jì)

◎付芳芳 （陸軍炮兵防空兵學(xué)院，基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，安徽 合肥 231600）

一、引 言

數(shù)學(xué)科學(xué)具有高度抽象、體系嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛、發(fā)展連續(xù)等特點(diǎn)，數(shù)學(xué)史就是研究數(shù)學(xué)科學(xué)及其發(fā)展規(guī)律的一門(mén)學(xué)科．它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過(guò)程，而且還探索影響這種過(guò)程的各種因素，以及歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對(duì)人類(lèi)文明所帶來(lái)的影響．因此，數(shù)學(xué)史不是數(shù)學(xué)教育可有可無(wú)的點(diǎn)綴，而是不可或缺的．將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會(huì)有更好的教育價(jià)值．

首先，它可以使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法和思想的理解．教師在講課的過(guò)程中融入與之相關(guān)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，可以向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)家們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)的生活狀態(tài)，還可以呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)家們最初因什么問(wèn)題、什么原因去思考該問(wèn)題及思考解決該問(wèn)題的過(guò)程，這樣學(xué)生們可以對(duì)問(wèn)題的來(lái)龍去脈有更深刻的了解，并激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，從而對(duì)即將要講授的概念、方法和思想等能夠熟練地掌握．

其次，它可以展現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力及作用，引起學(xué)生的興趣．由于數(shù)學(xué)的高度抽象性，使得其呈現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，不能通過(guò)感官使學(xué)生直接感受其內(nèi)在的魅力，因此大多數(shù)學(xué)生也就不會(huì)主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．但其實(shí)數(shù)學(xué)既具有完美無(wú)瑕的統(tǒng)領(lǐng)地位，又能提供無(wú)微不至的服務(wù)．它的作用和功效通常不能直接展現(xiàn)，學(xué)生們體會(huì)不到．而介紹數(shù)學(xué)史就是向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)魅力及作用的一種有效手段，在此過(guò)程中，學(xué)生們能夠見(jiàn)證每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決對(duì)當(dāng)時(shí)科技與社會(huì)發(fā)展的推動(dòng)作用，從而引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

最后，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不畏困難、刻苦鉆研的學(xué)習(xí)精神．?dāng)?shù)學(xué)史離不開(kāi)數(shù)學(xué)家，教材上的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的形成都是需要數(shù)學(xué)家們花幾十年、幾百年，甚至上千年才能徹底完成的，是數(shù)學(xué)家們潛心鉆研、嘔心瀝血得到的成果．?dāng)?shù)學(xué)家們學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的成長(zhǎng)道路各不相同，幾乎每一位學(xué)生都能從數(shù)學(xué)家的傳記中感受到榜樣的力量是無(wú)窮的．“以人為本”可以由此發(fā)揮最大的效益．

基于以上分析，本文擬從極限定義發(fā)展史的角度來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)列極限定義的教學(xué)．

二、數(shù)列極限定義的教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程

數(shù)列極限部分是高等數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，也是整個(gè)微積分學(xué)的理論基石．其中，數(shù)列極限概念中的算術(shù)定義是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，而且由于其抽象性的特點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中很難理解，故使得其又成為高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)．

之前已經(jīng)有多位教育工作者對(duì)數(shù)列極限的定義和講解方法進(jìn)行了多方面的探討．本文試圖融合數(shù)學(xué)史的知識(shí)于數(shù)列極限概念的教學(xué)中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列極限發(fā)展史的過(guò)程中體會(huì)算術(shù)定義中“ε”和“N”的由來(lái)，加深他們對(duì)算術(shù)定義的理解，便于學(xué)生更好地掌握數(shù)列極限定義的深層內(nèi)涵．

1．?dāng)?shù)列極限的描述性定義．

首先提出兩個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)行討論．

問(wèn)題1 0．9999…與1 的大小關(guān)系如何呢？

總結(jié)學(xué)生課堂討論后出現(xiàn)的兩種答案：

答案1 設(shè)0．9999…＝a，則10a ＝9．9999…＝9＋0．9999…＝9＋a，移項(xiàng)得0．9999…＝1．

答案2 雖然9 可以無(wú)限循環(huán)下去，但小數(shù)點(diǎn)前總有個(gè)0，所以0．9999…＜1．

問(wèn)題2 s＝1-1＋1-1＋1-1＋…＝？

總結(jié)學(xué)生討論后出現(xiàn)的三種答案：

答案1 s＝（1-1）＋（1-1）＋（1-1）＋…＝0＋0＋0＋…＝0．

答案2 s＝1-（1-1）-（1-1）-（1-1）＋…＝1-0-0-0-…＝1．

答案3 s＝1-（1-1＋1-1＋1-1＋…）＝1-s，移項(xiàng)得

兩個(gè)問(wèn)題都出現(xiàn)了多種答案，這種答案的不確定性迅速抓住了學(xué)生們的注意力，讓學(xué)生們快速引起對(duì)教師即將要講授的知識(shí)的興趣．接下來(lái)教師就指出，之所以出現(xiàn)了多種看似有道理的答案，本質(zhì)上是因?yàn)橛谩坝邢蕖庇^來(lái)解釋“無(wú)限”過(guò)程是錯(cuò)誤的，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回憶高中時(shí)用到過(guò)的“極限”觀去解釋“無(wú)限”的過(guò)程．而數(shù)列極限的描述性定義是學(xué)生們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)中就已經(jīng)接觸過(guò)的知識(shí)，教師接下來(lái)帶領(lǐng)學(xué)生回憶數(shù)列極限的描述性定義．

定義1 對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛xn｝，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n 無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)a（｜xn-a｜無(wú)限接近0），那么就說(shuō)xn的極限為a．

下面來(lái)分析這個(gè)描述性定義．在這個(gè)定義中，關(guān)鍵要抓住兩個(gè)無(wú)限變化的過(guò)程，一是n“無(wú)限增大”，二是xn與a“無(wú)限接近”．回顧利用數(shù)列極限的描述性定義求數(shù)列極限的方法：直接觀察法（描點(diǎn)，作圖，觀察），并舉出以下幾個(gè)例子說(shuō)明如何直接觀察數(shù)列的極限值：

此時(shí)，教師可以提醒學(xué)生使用MATLAB 軟件作出點(diǎn)列圖進(jìn)行觀察．由于學(xué)生在作圖的時(shí)候只能作出有限多項(xiàng)的點(diǎn)列圖，因此可以指出描述性定義中存在的兩個(gè)問(wèn)題：

第一，什么是“n 無(wú)限增大”？ 畫(huà)圖觀察的時(shí)候，n 到底取到多大才算“無(wú)限增大”？ 一萬(wàn)、一百萬(wàn)、還是一億？ 顯然，只要是一個(gè)具體的數(shù)字，哪怕是天文數(shù)字，都不能叫“無(wú)限增大”．

第二，什么是“xn與a 無(wú)限接近”？ xn與a 之間差多少才算“無(wú)限接近”？ 顯然，只要它們之間的差值是一個(gè)具體的數(shù)，無(wú)論是多么小的數(shù)字，都不能叫“無(wú)限接近”．

由此看出數(shù)列極限的描述性定義比較模糊，不符合數(shù)學(xué)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的特點(diǎn)，所以我們有必要對(duì)數(shù)列極限下一個(gè)更精確的定義，即用數(shù)學(xué)的算術(shù)語(yǔ)言去描述“n 無(wú)限增大”和“xn與a 無(wú)限接近”這兩個(gè)無(wú)限變化的過(guò)程．

2．?dāng)?shù)列極限的算術(shù)定義的發(fā)展史．

（1）樸素的、直觀的極限觀時(shí)期（公元前300 多年前～17 世紀(jì)）．

在這一時(shí)期，古希臘開(kāi)始陸續(xù)出現(xiàn)了一些極限思想的應(yīng)用，代表人物有柏拉圖的學(xué)生尼多斯的歐多克索斯（公元前400 年～公元前347 年），他提出了“設(shè)給定兩個(gè)不相等的量，如果從其中較大的量減去比它的一半大的量，再?gòu)乃嗟牧繙p去比這余量的一半大的量，繼續(xù)重復(fù)這一過(guò)程，必有某個(gè)余量將小于給定的較小的量”．我們稱(chēng)之為“窮竭法”．之后，希臘人還利用這種“窮竭法”來(lái)證明關(guān)于曲線(xiàn)圖形的面積和體積的那些定理．特別是，阿基米德（公元前287 年～公元前212 年）把那個(gè)最早的令人滿(mǎn)意的證明即“圓錐體的體積是同底同高的圓柱體體積的三分之一”歸到了歐多克索斯的名下．

這一期間，我國(guó)魏晉時(shí)期的劉徽是第一位用極限思想來(lái)考慮問(wèn)題的科學(xué)家．他先用圓內(nèi)接正六邊形來(lái)近似代替圓的面積，然后將每條邊一分為二，用圓內(nèi)接正十二邊形來(lái)近似代替圓的面積，如此繼續(xù)下去．用劉徽的話(huà)來(lái)說(shuō)，就是“割之彌細(xì)，失之彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”．我們稱(chēng)之為“割圓術(shù)”．他的“割圓術(shù)”把π的值精確到了小數(shù)點(diǎn)后3 位．把割圓術(shù)推向極致的是我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之，他把π 的值精確到了小數(shù)點(diǎn)后7位．在此后一千多年的漫長(zhǎng)歲月里，人們的極限觀基本停留在這一層次．

（2）神秘的極限觀時(shí)期（17 世紀(jì)～18 世紀(jì)）．

這一時(shí)期人類(lèi)數(shù)學(xué)史上發(fā)生了一件重大的事情，那就是牛頓（1643 年～1727 年）和萊布尼茨（1646 年～1716 年）分別獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分學(xué)，在他們建立微積分的過(guò)程中都用到了極限的思想．例如，牛頓在1676 年撰寫(xiě)的《曲線(xiàn)求積術(shù)》中提出了“最初比和最終比”的學(xué)說(shuō)．他用下面的方法來(lái)求“初始增量的最初比”或“漸進(jìn)于零的增量的最終比”．設(shè)x 和xn的變動(dòng)率是我們要求的．設(shè)o 是x 的增量，（x＋o）n-xn是對(duì)應(yīng)的xn的增量，則這兩個(gè)增量之比為1 ∶為了求出最初比和最終比，可以讓o 消失，得到1 ∶nxn-1．在這里，牛頓的方法實(shí)際上已經(jīng)非常接近于極限的概念了，但是他們最終都沒(méi)能夠嚴(yán)格明確極限的含義．

由于微積分在解決實(shí)際問(wèn)題中的強(qiáng)大能力，使得在此后近一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里許多科學(xué)家都致力于解釋到底什么是極限，并最終在實(shí)數(shù)集理論的基礎(chǔ)上建立了嚴(yán)格的極限理論，使得微積分有了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，成了一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科．

（3）嚴(yán)格的極限理論時(shí)期（18 世紀(jì)～19 世紀(jì)）．

第一個(gè)明確提出極限概念的人是法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾（1717 年～1783 年）．達(dá)朗貝爾相信，微積分真正的玄妙應(yīng)該到極限的觀念中去找．他在《百科全書(shū)》中把牛頓的術(shù)語(yǔ)“最初比和最終比”解釋為極限．在他為《百科全書(shū)》撰寫(xiě)的關(guān)于“極限”的詞條中提出，“假如第二個(gè)量比任意給定的值更為接近第一個(gè)量，則把第一個(gè)量稱(chēng)作第二個(gè)（變）量的極限”．顯然他提出的仍然是一個(gè)描述性定義．

在其后，對(duì)極限概念發(fā)展有重大突破貢獻(xiàn)的是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（1789 年～1857 年）．他把達(dá)朗貝爾的極限概念作為基本概念，并賦予它更精確的算術(shù)特征．他摒棄了幾何，摒棄了無(wú)窮小或速率，給出了相對(duì)比較清晰的極限定義：“如果賦給一個(gè)變量的連續(xù)值無(wú)限趨近于一個(gè)固定值，以至于到最后，它與這個(gè)固定值的差要多小有多小，那么，這最后的值被稱(chēng)作所有其他值的極限”．不僅如此，他還給出了沿用至今的極限符號(hào)“l(fā)im”，并指出xn與a“無(wú)限接近”是指它們之間的差值可以“要多小就有多小，”也就是它們之間的距離“要多小就有多小”，可以用｜xn-a｜表示它們之間的距離．那么到底要小到什么程度才算是我們想象中的“要多小就有多小”呢？ 顯然，小于任何一個(gè)具體的數(shù)都不能算是“要多小就有多小”．柯西這樣思考這個(gè)問(wèn)題：隨便你給個(gè)多么小的正數(shù)ε（你想給多小就多?。叶伎梢宰寈n與a 之間的距離比你給的這個(gè)正數(shù)ε 還小，這樣你總該相信xn與a 之間的距離可以要多小就有多小了吧．于是，柯西說(shuō)：“對(duì)?ε＞0，｜xn-a｜＜ε 就表示了xn與a 之間的距離可以要多小就有多?。边@樣就有了用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言刻畫(huà)極限描述性定義中的第一個(gè)無(wú)限變化的過(guò)程，即xn與a“無(wú)限接近”的過(guò)程．

但是，問(wèn)題仍然沒(méi)有解決．那就是，這里出現(xiàn)的xn是哪一項(xiàng)呢？ 是x1，x2？ 還是x3，x4？ …顯然，對(duì)于任何一個(gè)具體的xn，｜xn-a｜都是一個(gè)具體的數(shù)，不可能要多小就有多小，除非xn＝a．顯然是當(dāng)n 無(wú)限增大時(shí)才有這個(gè)等式成立，而一旦要求n 無(wú)限大，就跳出了我們的認(rèn)知范圍．如何解決這個(gè)矛盾呢？ 德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（1815 年～1897 年）巧妙地解決了這個(gè)棘手的問(wèn)題．他指出：既然xn的極限只與當(dāng)n 無(wú)限增大時(shí)的xn的值有關(guān)，那就是說(shuō)與從x1開(kāi)始的前面的任意有限項(xiàng)都無(wú)關(guān)，也就是只要在數(shù)列中存在一項(xiàng)第N項(xiàng)xN，使得這一項(xiàng)以后的所有項(xiàng)都滿(mǎn)足不等式｜xn-a｜＜ε 即可，哪怕這個(gè)N 再怎么大，扔掉的都是這個(gè)數(shù)列中的有限項(xiàng)，而數(shù)列中的任意有限項(xiàng)都與數(shù)列的極限值無(wú)關(guān)，這樣就有了用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言刻畫(huà)極限描述性定義中的第二個(gè)無(wú)限變化過(guò)程，即n“無(wú)限增大”的過(guò)程．于是，魏爾斯特拉斯總結(jié)出：?N∈Z＋，當(dāng)n＞N 時(shí)，｜xn-a｜＜ε 恒成立．這就是沿用至今的數(shù)列極限的算術(shù)定義．

值得指出的是，魏爾斯特拉斯在給出極限的算術(shù)定義時(shí)，他只是一名中學(xué)的老師．但在1853 年，由于他的一篇論述阿貝爾函數(shù)的論文使得他被廣泛地認(rèn)可，隨后不久他便成了柏林大學(xué)的教授，當(dāng)時(shí)他差不多40 歲．人們普遍認(rèn)為偉大的數(shù)學(xué)家必定在早年的時(shí)候就贏得了名聲，而魏爾斯特拉斯卻成了一個(gè)引人注目的例外．他大器晚成，在19 世紀(jì)最后30 余年里，他被很多人認(rèn)為是世界上首屈一指的分析學(xué)家．

3．?dāng)?shù)列極限的算術(shù)定義．

定義2（“ε-N”定義） 設(shè)｛xn｝為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N 時(shí)，不等式｜xn-a｜＜ε 都成立，那么就稱(chēng)常數(shù)a 是數(shù)列的極限，或者稱(chēng)數(shù)列｛xn｝收斂于a，記為或xn→a（n→∞）．

下面應(yīng)用數(shù)列的算術(shù)定義證明用數(shù)列極限描述性定義得到的數(shù)列的極限值．

這是一個(gè)結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單的數(shù)列，精講的目的是通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生多次嘗試讓學(xué)生體會(huì)出極限的算術(shù)定義應(yīng)該注意的兩點(diǎn)：

一是ε 在給之前是“任意”的，給之后就是“確定”的．只有是“任意”的，才能刻畫(huà)xn與a 之間的距離是“要多小就有多小”；只有是“給定”的，才能找出相應(yīng)的N，以確保第N＋1項(xiàng)以后所有的項(xiàng)都滿(mǎn)足xn與a 之間的距離可以小于預(yù)先給定的值；

二是N 的“相應(yīng)性”，它是與ε 相關(guān)的．一般來(lái)說(shuō)，N 隨著ε 的減小而增大，N 可大不可小，所以通?？梢詫⒔^對(duì)值式子先放大．

這種先用具體數(shù)值代入來(lái)解釋?duì)?和N 的特點(diǎn)及關(guān)系的方法不同于以往的直接用“ε-N”定義證明的方法，便于學(xué)生更好地理解和使用算術(shù)定義．

例2證明

分析由于分子中也含有n，故為了解出不等式需要將分子中的n 放縮掉．又由于N 可大不可小，所以采用將絕對(duì)值式子放大的方法去除分子中的n．

證明對(duì)?ε＞0，

最后再通過(guò)下面兩個(gè)例題進(jìn)一步鞏固數(shù)列極限算術(shù)定義的使用．

例3證明數(shù)列，…的極限是1．

例4設(shè)｜q｜＜1，證明等比數(shù)列1，q，q2，…，qn-1，…的極限是0．

具體證明過(guò)程這里不再贅述．

三、教學(xué)總結(jié)

本教學(xué)設(shè)計(jì)摒棄了以往的直接給出數(shù)列極限算術(shù)定義再解釋說(shuō)明的教學(xué)模式，通過(guò)分析指出數(shù)列極限描述性定義中對(duì)于兩個(gè)“無(wú)限”變化過(guò)程刻畫(huà)不清，從而讓學(xué)生體會(huì)到對(duì)數(shù)列極限下算術(shù)定義的必要性．針對(duì)數(shù)列極限算術(shù)定義的教學(xué)難點(diǎn)和重點(diǎn)，筆者利用介紹數(shù)列極限算術(shù)定義的發(fā)展史一步步地給出數(shù)列極限的算術(shù)定義，從而讓學(xué)生能夠更加深刻地理解數(shù)列極限算術(shù)定義的內(nèi)涵和本質(zhì)．