用問題結(jié)構(gòu)推進高中數(shù)學課堂教學

◎朱孟瀅 （江蘇大學教師教育學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

著名的教育心理學家布魯納曾經(jīng)說過，“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動”．美國數(shù)學家哈爾莫斯也曾說過，“問題是數(shù)學的心臟”．這句話揭示了數(shù)學這門學問幾千年來生生不息、發(fā)展不止、生命力無限的實質(zhì)，得到了數(shù)學界的一致認同．可見，數(shù)學的發(fā)展離不開問題．數(shù)學研究首先要提出一個問題（研究問題的一般方法）．當學生開始學習數(shù)學新知識的時候，就進入了數(shù)學的一個未知領(lǐng)域，實質(zhì)上也是開始一種數(shù)學研究，那么作為數(shù)學的新授課教學，同樣也是首先要提出一個問題，這個引領(lǐng)新授課教學的問題可以被稱為“目標問題”，然后圍繞這個目標問題展開研究活動．有了目標問題，一節(jié)課的數(shù)學活動就有了明確的目標．數(shù)學教學活動就是教師從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，正確地引導學生探索新知，將未知轉(zhuǎn)化為已知的這樣一個活動．所以從本質(zhì)上說，數(shù)學教學活動是一種研究數(shù)學問題的活動．在高中數(shù)學的教學過程中，要真正教會學生思考，就要求教師在進行課堂教學設計時做到課堂問題結(jié)構(gòu)化，用問題結(jié)構(gòu)推進教學．

問題結(jié)構(gòu)是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式．問題結(jié)構(gòu)化是以構(gòu)成思維導向的問題為主線，以發(fā)現(xiàn)問題——解決問題——再發(fā)現(xiàn)問題——再解決問題為全過程．數(shù)學課堂教學中，每一節(jié)新授課都要去解決一個目標問題．所謂的目標問題就是與本節(jié)課主要教學內(nèi)容有關(guān)的基本問題．目標問題的提出有助于幫助學生認識到為什么要學習這個數(shù)學新概念、新方法，說明正是要解決這個問題才產(chǎn)生了今天要學習的這個數(shù)學概念，這個解題方法，從而激起學生的求知欲，激發(fā)學生的學習興趣、學習熱情．提出一個目標問題，為了解決它就很可能要提出一系列的子問題．每解決一個子問題就向著目標問題的解決前進了一步，全部問題解決了，那個目標問題就解決了，這樣就形成了問題導向、形成結(jié)構(gòu)、環(huán)環(huán)相扣、逐個解決、層層推進的過程．

下面以高中數(shù)學教學的兩個案例中的問題結(jié)構(gòu)為例，展示如何設計問題結(jié)構(gòu)，從而實現(xiàn)“用問題結(jié)構(gòu)推進教學”．

案例一：任意角的三角函數(shù)．

（1）什么叫函數(shù)？

（2）在初中，我們在直角三角形中對銳角的正、余弦以及正切這幾個三角函數(shù)進行了學習．回憶一下：這些三角函數(shù)各是怎樣定義的？

（3）對于確定的銳角，它的正弦、余弦、正切值會不會隨“斜邊”的變化而變化？

（4）我們已將角的概念由銳角推廣到了任意角，那么三角函數(shù)的概念是否也能推廣到任意角呢？

（5）在對角的概念進行推廣時，我們是把角放在哪里來研究的呢？

（6）你能把剛才的直角三角形放到直角坐標系中，用坐標表示銳角的正弦、余弦、正切值嗎？

（7）如下圖，對于確定的角α，若點P 在終邊上的位置改變了，這三個比值也會改變嗎？ 為什么？

（8）銳角的終邊在第一象限，那么終邊在第一象限的角的三角函數(shù)如何定義？

（9）任意角的三角函數(shù)值該如何定義呢？

（10）既然對于給定的角，其三角函數(shù)值與點P 在終邊上的位置無關(guān)，那么大家有沒有辦法讓所得到的定義形式變得更簡單一點呢？

（11）當角的大小發(fā)生變化時，單位圓上的點的坐標或坐標的比值會改變嗎？

（12）我們已經(jīng)知道角的終邊的位置決定了角的三角函數(shù)值，那么角的終邊旋轉(zhuǎn)一周，角的大小如何變化？ 其三角函數(shù)值又如何變化？

（13）你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？

（14）你能用函數(shù)的概念對任意角的三角函數(shù)的定義進行完整的闡述嗎？

此案例的問題結(jié)構(gòu)中，問題是按照一定的邏輯聯(lián)系構(gòu)成序列的，對課堂教學的推進具有思維導向作用．

問題（1）到問題（2）存在邏輯聯(lián)系和問題導向．問題（1）引導學生對函數(shù)的概念進行回顧，問題（2）引導學生復習初中所學的三角函數(shù)定義．由函數(shù)到三角函數(shù)是由一般到特殊、由共性到個性的關(guān)系．學生在掌握函數(shù)概念的基礎上再學習三角函數(shù)，實際上是從一般到特殊的演繹過程，亦是用具體函數(shù)來豐富函數(shù)概念的過程．這里讓學生回想函數(shù)的概念，是為了明確函數(shù)概念的本質(zhì)，在認知上為學習任意角的三角函數(shù)概念做好準備．

在問題（1）的基礎上，問題（2）和問題（3）帶領(lǐng)學生進一步體會到初中所學的銳角三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)．此外，問題（2）和問題（3）的設計由學生已有的認知出發(fā)，帶領(lǐng)學生有針對性地復習銳角三角函數(shù)，為下面三角函數(shù)的定義由銳角擴展到任意角做好鋪墊．

通過本章前一節(jié)“任意角、弧度制”內(nèi)容的學習，角的概念已經(jīng)推廣到任意角．那么，從思維的角度出發(fā)，學生順理成章地會想到“三角函數(shù)的概念也要進行擴展，銳角三角函數(shù)的概念是否也能推廣到任意角”這個問題．至此，這節(jié)課的目標問題就提出來了．目標問題提出來了，就得尋找解決問題的方案．如何尋找，從方法論的角度來講，人類解決問題都是從已知去探求未知，去聯(lián)系過去有沒有類似的問題，于是，問題（5）到（9）就應運而生．這五個問題之間的邏輯聯(lián)系和思維導向關(guān)系是顯而易見的：在直角坐標系中研究任意角→用坐標表示銳角的三角函數(shù)值→用坐標表示第一象限角的三角函數(shù)值→用坐標表示任意角的三角函數(shù)值．這種由特殊到一般的思想很重要．為了順利實現(xiàn)推廣，可以構(gòu)建中間橋梁，使之與前面所學知識相結(jié)合，自然轉(zhuǎn)化到任意角的情形，這是正確理解任意角三角函數(shù)概念至關(guān)重要的一步，也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要思想方法．培養(yǎng)學生的遷移能力，能夠幫助學生為之后的學習中對知識的推廣拓展奠定基礎．

問題（10）是為引入單位圓而設計的．教師引導學生對所提問題進行討論時，也可以設置以下幾個小問題來啟發(fā)學生：我們是用什么來定義1 弧度角的？ 其與圓的半徑大小有關(guān)嗎？ 那么，為了使定義更簡單，讓圓的半徑多大比較好呢？ 在此基礎上，進一步提出問題（11），能夠幫助學生更好地理解三角函數(shù)值和單位圓與角的終邊交點之間的對應關(guān)系．這個時候緊接著提出問題（12），學生就很容易理解和回答了．這樣做的目的是引導學生更好地理解三角函數(shù)的變化規(guī)律，并在此基礎上順理成章地引出第一組誘導公式，突出三角函數(shù)呈周期性變化的特征．

問題（13）是為了引導學生在得出定義的基礎上求三角函數(shù)的定義域，對三角函數(shù)的概念進行了完善，加深了學生對三角函數(shù)的概念的理解．問題（7）到問題（14）緊扣函數(shù)概念的本質(zhì)，強調(diào)變量之間的對應關(guān)系，與問題（1）遙相呼應，是從函數(shù)知識演繹到三角函數(shù)知識的重要依據(jù)，從而幫助學生正確理解三角函數(shù)的概念，把三角函數(shù)知識納入函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)，增強學生的函數(shù)觀念．

案例二：

（1）設A 點和B 點分別在河的兩岸，現(xiàn)要測量A，B 之間的距離是多少．測量者在A 點所在一側(cè)的河岸邊取一點C，測出A，C 之間的距離為55 m，∠ACB ＝60°，∠BAC ＝45°，請由此求出A，B 間的距離．——數(shù)學化為“任務一：尋找三角形的邊角關(guān)系．”

（2）直角三角形中存在怎樣的邊角數(shù)量關(guān)系？

（3）其他三角形中是否也存在類似的關(guān)系？

（4）你能否大膽地做出合理的猜想？

（5）如何證明猜想？ ——進而呈現(xiàn)“任務二：證明猜想．”

（6）分析正弦定理的表達式，利用正弦定理解三角形需要知道三角形的哪些元素？

（7） 你會用正弦定理求解A，B 兩點之間的距離嗎？ ——進而進入“任務三：小定理大應用”．

由上述7 個問題構(gòu)成的問題結(jié)構(gòu)揭示了正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明和應用的主要過程，將正弦定理的教學層層推進．該問題的設計體現(xiàn)了數(shù)學教學是數(shù)學活動教學的思想，圍繞定理的三個要素，問題結(jié)構(gòu)化為7 個子問題，步步為營，環(huán)環(huán)相扣，導向清晰，目標明確．

每節(jié)課的首要任務是提出本節(jié)課要研究的問題，這一點十分重要．在處理問題（1）時，教師可以引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型：在△ABC 中，已知∠A，∠C 的大小以及一邊AC 的長度，求另一邊AB 的長，即：已知三角形的兩個角和一邊，求其他的邊．這可以使學生明白數(shù)學知識總是從問題開始的，從而明白本節(jié)課學習的目的．問題提出后，接下來就要解決問題．問題（2）引導學生回憶直角三角形中的邊角關(guān)系，在此基礎上引導學生思考問題（3），（4），（5）．在證明猜想的過程中，教師引導學生分類討論，分別按最大角是銳角和鈍角來研究，然后按照將未知轉(zhuǎn)化為已知的研究思路，化斜為直——構(gòu)造直角三角形來證明．通過猜想和證明得到了正弦定理，接下來自然要研究這個定理可以解決哪些問題．問題（6）引導學生從方程的角度對正弦定理進行分析，確定在解三角形問題中正弦定理的適用范圍，進而提出問題（7）．至此已經(jīng)得出正弦定理以及運用正弦定理所能解決的問題，所以再回過頭來探究本節(jié)課一開始提出的實際問題如何解決，學以致用，讓學生在問題的解決中體會到學習的樂趣，激發(fā)學生學習的興趣．

通過以上兩個案例可以看出，用以推進教學的問題結(jié)構(gòu)是具有思維導向和一定邏輯聯(lián)系的問題結(jié)構(gòu)，旨在教會學生提出問題，建構(gòu)概念，尋找思路，研究問題的一般方法．問題結(jié)構(gòu)不同于一般意義的“問題串”，“問題串”可以是毫無關(guān)聯(lián)的一串問題，而問題結(jié)構(gòu)是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式，問題結(jié)構(gòu)化是以構(gòu)成思維導向的問題為主線，以“問題——解決——問題——解決……”的問題導向結(jié)構(gòu)推進教學過程的進行．