循序漸進(jìn)，攻堅(jiān)克難
——基于高考背景下高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)教學(xué)策略探究

◎程燕飛 （內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬第二中學(xué)，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070）

“導(dǎo)數(shù)”部分的內(nèi)容可以貫穿于對(duì)各類(lèi)函數(shù)的探究中，是幫助學(xué)生研究函數(shù)變化的一個(gè)重要指標(biāo)．而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)絕對(duì)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，為此學(xué)好導(dǎo)數(shù)的重要性是顯而易見(jiàn)的．當(dāng)前在針對(duì)導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容展開(kāi)教學(xué)時(shí)，部分教師仍然采用著傳統(tǒng)單一的教學(xué)模式，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)該部分內(nèi)容時(shí)的效率和質(zhì)量極為低下．為此，當(dāng)下探究出基于高考背景下針對(duì)導(dǎo)數(shù)部分教學(xué)方法與策略的任務(wù)極為緊迫．

一、明確概念定義,加深知識(shí)理解

如今針對(duì)“導(dǎo)數(shù)”部分教學(xué)時(shí)，經(jīng)常是重應(yīng)用、輕概念．即教師有針對(duì)性地講解不同函數(shù)的求導(dǎo)方法，如冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，但是針對(duì)概念和推導(dǎo)經(jīng)常是一帶而過(guò)．學(xué)生因此對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念理解不深，這樣所導(dǎo)致的后果就是學(xué)生針對(duì)稍微綜合點(diǎn)的題目就會(huì)沒(méi)有思路，從而白白丟掉應(yīng)得的分?jǐn)?shù)．為此教師應(yīng)對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念給予應(yīng)有的重視．

對(duì)于綜合性、關(guān)聯(lián)性非常強(qiáng)的高中數(shù)學(xué)，明確概念定義是學(xué)生學(xué)好知識(shí)的“根”，其他任何的解題方法與技巧都是由這個(gè)根生長(zhǎng)出來(lái)的．為此，教師在針對(duì)“導(dǎo)數(shù)”部分內(nèi)容展開(kāi)教學(xué)時(shí)，第一步就是要帶領(lǐng)學(xué)生理解“什么是導(dǎo)數(shù)”．導(dǎo)數(shù)的定義分為兩種，一種是常規(guī)的導(dǎo)數(shù)的概念定義，一種是便于學(xué)生理解的幾何定義．首先，教師利用大量的實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，介紹導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，從而讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的定義，在此期間高中學(xué)生沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過(guò)“極限”的概念，則需教師認(rèn)真耐心講解，一遍不行就兩遍，兩遍不行就三遍，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)以及小組討論的形式幫助學(xué)生理解記憶，讓學(xué)生充分深入理解消化．之后教師利用函數(shù)圖像，讓學(xué)生直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即明確“導(dǎo)數(shù)就是某曲線在曲線上某點(diǎn)處的斜率”，體會(huì)化曲為直的極限思想．在此期間教師可通過(guò)畫(huà)一個(gè)簡(jiǎn)單的一元二次函數(shù)圖像來(lái)為學(xué)生解釋?zhuān)瑤缀我饬x相較于常規(guī)的概念定義要容易理解一些．最后更為重要的是，對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)公式，教師需要求學(xué)生通過(guò)定義推導(dǎo)出來(lái)，并且可類(lèi)推一般多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，體會(huì)由特殊到一般的思想，這是幫助學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)定義的最后一道保險(xiǎn)．當(dāng)然在教學(xué)過(guò)程中，教師要讓學(xué)生明白利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可以解決哪些問(wèn)題，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

二、劃分知識(shí)類(lèi)別,理清學(xué)習(xí)思路

導(dǎo)數(shù)作為研究不同函數(shù)變化的重要工具，其所研究的方向也各種各樣．為此，一個(gè)清晰明確的學(xué)習(xí)思路是學(xué)生學(xué)好導(dǎo)數(shù)的重要法寶，更是徹底攻克導(dǎo)數(shù)的有效途徑．而思維導(dǎo)圖就是幫助學(xué)生理清學(xué)習(xí)思路，劃分知識(shí)類(lèi)別的重要工具．學(xué)生在思維導(dǎo)圖中能夠清晰明了地理解不同知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系與區(qū)別，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的靈活綜合的掌握與應(yīng)用．

教師可以通過(guò)思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生總結(jié)出具體的題型類(lèi)別和解題方法．例如，針對(duì)單調(diào)性，教師可總結(jié)出導(dǎo)數(shù)大于等于零時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于等于零時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，繼而教師再給出幾道典型的例題幫助學(xué)生加深記憶．針對(duì)函數(shù)的極值與最值，教師可總結(jié)出導(dǎo)數(shù)為零時(shí)的點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，而最值的求法要著眼于導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，比較大小得出最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)．針對(duì)與導(dǎo)數(shù)幾何意義相結(jié)合的求切線方程（切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率），教師則要要求學(xué)生要先通過(guò)求導(dǎo)公式求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為斜率，之后結(jié)合斜率和點(diǎn)坐標(biāo)求出切線方程．針對(duì)通過(guò)導(dǎo)數(shù)圖像求函數(shù)圖像的題型，教師要告知學(xué)生不要混淆二者的定義，要結(jié)合導(dǎo)數(shù)圖像，來(lái)判斷函數(shù)斜率的大小繼而判斷函數(shù)圖像的增減程度，最終畫(huà)出函數(shù)圖像．教師要利用思維導(dǎo)圖將與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的所有知識(shí)和考點(diǎn)詳細(xì)分類(lèi)，之后讓學(xué)生逐個(gè)攻克，這樣可極大提升學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量和效率，與此同時(shí)，還可方便學(xué)生在今后快速找到自己的薄弱點(diǎn)，進(jìn)行有針對(duì)性的復(fù)習(xí)與回顧．

三、善用網(wǎng)絡(luò)教學(xué),攻克重點(diǎn)難點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)知識(shí)中被稱(chēng)為重難點(diǎn)是絕對(duì)不可否認(rèn)的事實(shí)．因?yàn)閷?dǎo)數(shù)不但自身知識(shí)點(diǎn)眾多，它還具有連接性強(qiáng)的特點(diǎn)．即它可與其他各類(lèi)知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)一道題考出多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．在新課改后國(guó)家大力倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力的背景下，今后的高考題型更為綜合與全面是不可改變的大趨勢(shì)．本地高考數(shù)學(xué)試題往往是用導(dǎo)數(shù)題來(lái)做壓軸題的．比如，針對(duì)一道導(dǎo)數(shù)部分的題，在教學(xué)過(guò)程中，教師該如何引導(dǎo)才能攻克難點(diǎn)？

例1［2018 全國(guó)Ⅱ卷21（1）題］已知函數(shù)f（x）＝exax2．若a＝1，證明：當(dāng)x≥0 時(shí)， f（x）≥1．

盯住問(wèn)題：a＝1 時(shí)，證明：當(dāng)x≥0 時(shí)， f（x）≥1，即當(dāng)x≥0 時(shí)f（x）＝ex-x2≥1．

根據(jù)函數(shù)性質(zhì)及已有經(jīng)驗(yàn)，嘗試考慮1＝f （？）＝ f （0），這樣解決問(wèn)題的思路就清晰了，需要證明f（x）＝ex-x2在［0，＋∞）是增函數(shù)，或f（x）在［0，＋∞）的最小值為f（0）．這樣要解決這個(gè)問(wèn)題就會(huì)自然想到導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具，

即證f′（x）＝ex-2x ＞0 在［0，＋∞）成立或討論其單調(diào)性．

這時(shí)我們繼續(xù)按剛才的函數(shù)性質(zhì)考慮，問(wèn)題又變成了證明函數(shù)f′（x）＝ex-2x 在［0，＋∞）單調(diào)遞增或求其最小值大于0；也就是要證f′（x）＝ex-2x＞0 在［0，＋∞）上成立或求其在［0，＋∞）的最小值，這時(shí)已經(jīng)到了最熟悉的函數(shù)，顯然問(wèn)題得到解決．

本例的教學(xué)過(guò)程，教師可如上逐步引導(dǎo)學(xué)生思考，同時(shí)教會(huì)學(xué)生審題之后該如何思考解題的思路．在教學(xué)中教師除了落實(shí)“四基四能”外，還要讓學(xué)生會(huì)思考、會(huì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題．

例2

（1）求函數(shù)f（x）的極值、最值與單調(diào)區(qū)間；

（2）如果x∈［a＋1，a＋2］時(shí)，總有｜f′（x）｜≤a，求a 的取值范圍．

針對(duì)這道題，第一問(wèn)對(duì)于學(xué)生而言就是單純地考導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．在求導(dǎo)時(shí)注意不要出錯(cuò)，無(wú)論帶參數(shù)與否，都是實(shí)數(shù)，就看成固定值，之后按照常規(guī)的解題方法來(lái)解即可．值得注意的就是解一元二次方程時(shí)要細(xì)心．針對(duì)第二問(wèn)，如果學(xué)生初次接觸此題，定然是不容易找到思路的，因?yàn)槠渲胁坏袇?shù)而且涉及取值范圍，還有絕對(duì)值不等式等知識(shí)，會(huì)使其思維產(chǎn)生混亂．為此，教師可通過(guò)微課視頻來(lái)展開(kāi)教學(xué)，即通過(guò)自行錄制或是引用其他教師的精煉講解視頻，將解決該題第二問(wèn)的要點(diǎn)點(diǎn)明，首先該題是關(guān)于導(dǎo)數(shù)的變化的，因此就要避免研究f（x），否則必然混淆學(xué)生解題思路．之后要明確2a＜a＋1 并且導(dǎo)數(shù)圖像在［a＋1，a＋2］上是單調(diào)遞減的，最后也是最重要的就是教師要告知學(xué)生，｜f′（x）｜≤a 也就相當(dāng)于在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)的最大值和最小值的絕對(duì)值都要小于a，繼而解不等式組，求出區(qū)間．整個(gè)過(guò)程利用微課視頻會(huì)很快讓學(xué)生理解，之后教師要為學(xué)生多準(zhǔn)備幾道該類(lèi)題讓學(xué)生練習(xí)，加深理解．現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)以及微課顯得尤為重要．

在導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合知識(shí)考查中，尤其是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題中還有一類(lèi)方法不容忽視，那就是放縮法，其中常見(jiàn)的放縮有sin x≤x (x≥0)，ex≥x＋1，ln x≤x-1等，教師可以借助計(jì)算機(jī)將這幾類(lèi)函數(shù)的圖像繪制出來(lái)，讓學(xué)生理解并記住就相對(duì)容易一些．

例3已知函數(shù)

（1）若函數(shù)f（x）的最小值為2，求a 的值；

解題分析的定義域?yàn)椋?，＋∞），且

若a≤0，則f′（x）＞0，于是f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，故f（x）無(wú)最小值，不合題意．

若a＞0，則當(dāng)0＜x＜a 時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞a 時(shí)，f′（x）＞0．

故f（x）在(0，a)上單調(diào)遞減，在（a，＋∞）上單調(diào)遞增，

于是當(dāng)x＝a 時(shí)，f（x）取得最小值ln a，由已知得ln a ＝2，解得a＝e2．

（2）方法1：∵當(dāng)x∈（0，π），且a ＝1 時(shí)，由（1）可知要證

只要證xex-sin x＞0．利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具求函數(shù)y ＝xexsin x 的最小值大于0 或判斷函數(shù)y＝xex-sin x 在x∈（0，π）單調(diào)遞增，y＞y（0）即可．

方法2：在方法1 的基礎(chǔ)上利用sin x＜x（x＞0），進(jìn)行放縮，那么要證只要證即證ex＞1，由于x∈（0，π），所以ex＞1 顯然成立．

方法3：在上面兩方法的基礎(chǔ)上利用ex＞x＋1（x＞0）進(jìn)行放縮，那么要證

在本題中，部分學(xué)生使用ln x≤x-1 進(jìn)行放縮，錯(cuò)解如下：要證

在這一步的操作上就發(fā)生了錯(cuò)誤，在放縮的應(yīng)用過(guò)程中，要遵守不等式的傳遞性，

即a＞b，b＞c，則a＞c．

本文通過(guò)具體的實(shí)例，認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的工具性及導(dǎo)數(shù)與其他問(wèn)題的聯(lián)系，感受導(dǎo)數(shù)在解題中的作用和魅力．同時(shí)使學(xué)生在解題過(guò)程中，逐步養(yǎng)成扎實(shí)嚴(yán)格、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，從而真正攻克導(dǎo)數(shù)部分重點(diǎn)和難點(diǎn)題型．

綜上所述，高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)部分是廣大教學(xué)團(tuán)體教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，只要教師結(jié)合當(dāng)下的教育大趨勢(shì)，命題的新方向，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，不斷地探究與創(chuàng)新，一定能夠輕而易舉地幫助學(xué)生攻克“導(dǎo)數(shù)”這部分知識(shí)，為其未來(lái)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．