數(shù)學(xué)解題的最后環(huán)節(jié)

宗丹

摘 要：解數(shù)學(xué)題分為弄清題意、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧與反思四個步驟，其中回顧與反思具有重要的作用，它既可以幫助記憶，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，又是總結(jié)、歸納、創(chuàng)造、提高的過程。

關(guān)鍵詞：回顧 反思 解題

波利亞把解題分成四個步驟，分別是弄清題意、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧與反思，而回顧與反思，是我們在學(xué)習(xí)中最容易忽視的一步。一般情況下，我們往往熱衷于大量做題，而不善于在解題后對題目進行回顧與反思。這樣就失去了通過解題實現(xiàn)有效積累和提高的最好機會。回顧與反思具有以下重要作用：

一、回顧與反思有助于對數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)解題規(guī)律的記憶

記憶是學(xué)習(xí)的一個重要組成部分， 沒有記憶無所謂學(xué)習(xí)。

首先我們通過回顧與反思可幫助我們對數(shù)學(xué)概念的記憶。

數(shù)學(xué)概念一般都有明確的數(shù)學(xué)語義，比較抽象，單靠死記硬背掌握這些概念有一定的困難。利用解題的回顧與反思，可以加深對概念的認(rèn)識，促進對概念的掌握。

其次我們通過回顧與反思可以提高對數(shù)學(xué)解題規(guī)律的記憶。

常常會聽到學(xué)生抱怨說：“某種類型的題以前做過了，考試時還是做不出來”。如果我們在平常的解題中，注意回顧與反思，這種情況就會有所改善。即在解題后，對解題方法進行歸類、總結(jié)、尋找解題規(guī)律。在以后遇到同類型問題時，就能做到概念清，思路明，方法簡，速度快。

二、回顧與反思有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)

發(fā)展學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，而回顧與反思為思維訓(xùn)練提供了場所。

通過解題的回顧與反思使學(xué)生的思維可以在以下幾個方面得到發(fā)展：

1.回顧與反思發(fā)展思維的廣闊性

數(shù)學(xué)知識有機聯(lián)系縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題途徑繁多，但最終卻能殊途同歸。解完題后不能就此罷手，如釋重負(fù)。應(yīng)該進一步反思，探求一題多解，多題一解，開拓思路，溝通知識，掌握規(guī)律，比較分析解法的優(yōu)劣，在更高層次上，更富有創(chuàng)造性地去學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié)解題經(jīng)驗，使自己的解題能力更勝一籌。

2.回顧與反思訓(xùn)練思維的深刻性

數(shù)學(xué)知識是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)。探尋知識點間的聯(lián)系是解題思維的重要出發(fā)點和解題思維活動過程的重要方面。 解題過程能有效展示知識點間的聯(lián)系。通過對解題所用到的知識點的回顧與反思，尋找知識之間的“交匯點”，理清由知識點形成的“知識鏈”，能使我們加深對數(shù)學(xué)知識間關(guān)系和聯(lián)系的理解，逐步從縱向和橫向形成知識網(wǎng)絡(luò)，擴充知識結(jié)構(gòu)，并在大腦記憶系統(tǒng)中構(gòu)建“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”， 形成一個條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的有機體系， 促使解題活動中的知識點產(chǎn)生“連鎖反應(yīng)”的效應(yīng)。

3.回顧與反思鍛煉思維的敏捷性

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，如何破題是關(guān)鍵，即如何選擇思維起點。一個問題引發(fā)的思維起點是多向的。良好的思維起點是思維素質(zhì)的重要組成部分。反思與回顧思維起點，總結(jié)破題策略是提高學(xué)生發(fā)散思維能力和收斂思維能力的重要途徑。

例：已知二次函數(shù)=ax2+bx+c的圖像過點（-1，0），是否存在a，b，c，使不等式對一切實數(shù)x都成立。若存在，求出a，b，c，若不存在，說明理由。

解：假設(shè)存在這樣的符合條件的a，b，c，由的圖像過（-1，0），可得a-b+c=0，因為對一切實數(shù)x都成立，所以令x=1可得a+b+c=1，則b=1/2，a+c=1/2，即=ax2+1/2x+1/2-a，有ax2-1/2x+（1/2-a）≥0（1），（a-1/2）x2+1/2x-a≤0（2）

當(dāng)a=0時，由（1）知x≤1不符合題意，所以a>0且△≤0即a=1/4，將a=1/4代入（2）得x2-2x+1≥0的解集為R，所以存在滿足條件的a，b，c，a=c=1/4，b=1/2。

回顧與反思：（1）本題把滿足題目中的條件使不等式“對一切實數(shù)x都成立”作為思維的起點。

（2）在本題中，令x=1是關(guān)鍵的破題步驟，是思維起點的延續(xù)。通過將x=1代入上不等式得到a+b+c=1可使問題簡化，這種在一般規(guī)律中以適當(dāng)?shù)奶厥庵荡?，是解決函數(shù)問題的重要方法之一。

上述反思（1）是提煉此題思維起點，反思（2）是總結(jié)破題策略。通過反思，使我們學(xué)會如何選擇思維起點，積累破題經(jīng)驗和規(guī)律，培養(yǎng)思維的廣闊性。

4.回顧與反思展現(xiàn)思維的批判性

通過回顧與反思既可以檢驗答案正確與否，又可以判斷方法的優(yōu)劣。

例：求過點P（1，2）與圓C：x2+y2=1相切的直線方程。

分析：一般解法為：設(shè)過點P的直線方程為y-2=k（x-1），因為直線與圓C相切，所以圓心到直線的距離，從中可解出，故所求直線的方程為。

反思解題結(jié)果我們會發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過圓外一點向圓作切線應(yīng)該有兩條，而上面的解法為何只求出一條呢？問題就出在解題過程的不嚴(yán)密。當(dāng)所求直線的斜率不存在時，就不能把直線方程設(shè)為y-2=k（x-1）的形式。本題正確答案是：所求直線方程為和通過對解題結(jié)果的反思與回顧，一方面可以確保答案準(zhǔn)確無誤，另一方面也可以強化審題環(huán)節(jié)，逐步使學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)解題能力。

三、回顧與反思是理性化的過程

解題中回顧與反思是一種重要的學(xué)習(xí)形式， 如果把求解過程比作實踐，那么回顧就是總結(jié)、歸納、創(chuàng)造、提高的過程，是理性化的過程。通過解題后的回顧與反思， 我們可以檢驗解答的正確性，尋求錯因并及時糾正;可以嘗試改進解題思路，使已有的思路更清晰，更合理，更易接收;可以總結(jié)解題方法，挖掘解題規(guī)律，使我們能更好地理解解題思路，并能抽象、概括所涉內(nèi)容，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想;可以發(fā)現(xiàn)新的有趣的事實及方法，有助于解題能力的提高。

結(jié)語

我們在解題學(xué)習(xí)過程中，要養(yǎng)成有意識地自己提問，并不斷回答的習(xí)慣，久而久之，就能提高回顧與反思的能力。由于數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性，數(shù)學(xué)活動的探究性，數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)語言的特殊性，決定了我們不可能輕松地掌握數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)，必須要經(jīng)過多次反復(fù)探究、深入思考、自我回顧與反思才能洞察數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)特征。同樣數(shù)學(xué)解題反思能力的培養(yǎng)和提高也要經(jīng)歷一個不斷反復(fù)、螺旋上升的過程，不可能一蹴而成，要在解題活動中自覺自愿地進行回顧與反思，逐步形成反思的意識和習(xí)慣，進而提高解題的綜合能力。

參考文獻

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