基于Gaussian Copula的木結(jié)構(gòu)古建筑多準(zhǔn)則地震易損性分析

郇君虹，馬東輝，王 威，王子毅

(1.北京工業(yè)大學(xué)抗震減災(zāi)研究所，北京 100124；2.木結(jié)構(gòu)古建筑安全評估與災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)控制國家文物局重點(diǎn)科研基地，北京 100124)

許多木結(jié)構(gòu)古建筑因其具有的歷史價(jià)值、藝術(shù)價(jià)值和文化價(jià)值等被列為文化遺產(chǎn). 然而這些寶貴的文化遺產(chǎn)在地震中屢遭破壞，甚至倒塌，造成極大的經(jīng)濟(jì)和文化損失[1-3]. 因此，對木結(jié)構(gòu)古建筑進(jìn)行地震易損性分析是十分必要的.

地震易損性分析從概率的角度，對建筑結(jié)構(gòu)的抗震性能進(jìn)行定量描述，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)的抗震分析中[4-6]. Kouris等[7]等建立傳統(tǒng)木結(jié)構(gòu)建筑的簡化模型，并對其進(jìn)行非線性分析，建立結(jié)構(gòu)的易損性曲線，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)木結(jié)構(gòu)建筑具有很好的變形能力和抗震能力. Faye等[8]對傳統(tǒng)木結(jié)構(gòu)框架墻進(jìn)行非線性頻譜分析獲得易損性曲線，發(fā)現(xiàn)其受力性能良好. Naveed等[9]對3個(gè)傳統(tǒng)木框架磚石結(jié)構(gòu)進(jìn)行易損性分析，認(rèn)為該種結(jié)構(gòu)能夠在地震峰值加速度(peak ground acceleration,PGA)小于0.7g的地區(qū)應(yīng)用. 這些研究方法通常以層間位移角作為地震需求參數(shù)建立結(jié)構(gòu)的易損性曲線，從單一的失效模式評估結(jié)構(gòu)的易損性. 然而，木結(jié)構(gòu)古建筑構(gòu)造和材性復(fù)雜[10]，可以選用不同的地震參數(shù)[11]來評價(jià)其地震反應(yīng)，因此其失效模式往往并不單一. 而且，建筑材料之間的相關(guān)性和相同的地震源會(huì)導(dǎo)致不同的失效模式之間具有非線性相關(guān)性. 因此在對木結(jié)構(gòu)古建筑進(jìn)行易損性分析時(shí)考慮不同失效模式間的相關(guān)性對其易損性的影響是十分必要的.

Sklar[12]于1959年提出的Copula理論能夠很好地描述不同失效模式間的線性與非線性相關(guān)性. Copula理論已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于金融[13]、水文[14]和土木工程領(lǐng)域[15-16]. 鑒于此，本文提出基于Gaussian Copula函數(shù)、t Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)[17]，考慮不同失效模式相關(guān)性的傳統(tǒng)木結(jié)構(gòu)古建筑易損性分析模型，并將該模型應(yīng)用于某木結(jié)構(gòu)古建筑的易損性評估中，為實(shí)際工程提供參考.

1 木結(jié)構(gòu)古建筑地震易損性概率模型

木結(jié)構(gòu)古建筑的地震易損性指不同強(qiáng)度地震作用下，木結(jié)構(gòu)古建筑發(fā)生不同破壞狀態(tài)的概率. 木結(jié)構(gòu)古建筑的地震易損性可定義為：結(jié)構(gòu)的地震需求Sr超過其延性能力Sn的概率[18].

Pf=Pr(Sn/Sr≤1)

(1)

在結(jié)構(gòu)易損性分析中，一般認(rèn)為Sn和地震動(dòng)參數(shù)關(guān)系為

(2)

對式(2)取對數(shù)為

(3)

則失效概率為

(4)

通過式(4)可獲得結(jié)構(gòu)在各失效模式下的易損性曲線. 由于各失效模式之間具有相關(guān)性，本文引入Copula函數(shù)，考慮其對結(jié)構(gòu)易損性的影響.

2 基于Copula函數(shù)考慮不同失效模式相關(guān)性的木結(jié)構(gòu)古建筑易損性分析模型

2.1 Copula函數(shù)

Copula函數(shù)可以把隨機(jī)變量X1，X2，…，XN的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1，x2，…，xN)與各自的邊緣分布函數(shù)Fx1(x1)，F(xiàn)x2(x2)，…，F(xiàn)xN(xN)關(guān)聯(lián)起來. 若邊緣分布函數(shù)Fxi(xi)(i=1，2，…，N)連續(xù)，則存在Copula函數(shù)C(x1，x2，…，xN)使得

F(x1,x2,…,xN)=

C[Fx1(x1),Fx2(x2),…,FxN(xN)]

(5)

Copula函數(shù)有很多種. 比較常用的Copula函數(shù)有t Copula函數(shù)、Gaussian Copula函數(shù)和Archimedean Copula函數(shù)等.

2.2 二維聯(lián)合失效概率的Copula模型

二維Copula函數(shù)C(u,v)的定義域?yàn)閇0,1]2，其邊緣分布在定義域內(nèi)服從均勻分布. 則聯(lián)合分布函數(shù)為

F(x1,x2)=C(F1(x1),F2(x2);θ)=C(u,v;θ)

(6)

式中：u=F1(x1)與v=F2(x2)為邊緣分布函數(shù)；θ為Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù).

設(shè)x1和x2的邊緣密度函數(shù)分別為f1(x1)和f2(x2)，則X1、X2的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

f(x1,x2)=f1(x2)·f2(x2)·c(F1(x1),F2(x2);θ)

(7)

c(F1(x1),F2(x2);θ)=?2C(u,v;θ)/?u?v

(8)

由于Kendall秩相關(guān)系數(shù)可以反映出隨機(jī)變量間的非線性相關(guān)性，因此本文采用Kendall秩相關(guān)系數(shù)來計(jì)算Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)θ. 二維變量的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ與θ關(guān)系[17]為

(9)

假設(shè)在二維串聯(lián)體系中，傳統(tǒng)木結(jié)構(gòu)古建筑各個(gè)失效模式所對應(yīng)的功能函數(shù)為g1和g2，則二維串聯(lián)體系中2個(gè)失效模式同時(shí)發(fā)生的概率為

P[g1(X)≤0，g2(X)≤0]=C(Pf1,Pf2)

(10)

從而可以得出二維串聯(lián)體系的失效概率為

Pfs=P[g1(X)≤0∪g2(X)≤0]]=
P(g1(X)≤0)+P(g1(X)≤0)-
P[g1(X)≤0,g2(X)≤0]=
Pf1+Pf2-C(Pf1,Pf2)

(11)

式中Pf1、Pf2分別為二維串聯(lián)體系中木結(jié)構(gòu)古建筑2個(gè)失效模式的失效概率.

一般常用來計(jì)算結(jié)構(gòu)易損性的Copula函數(shù)為t Copula函數(shù)、Gaussian Copula函數(shù)和Archimedean Copula函數(shù)中的Frank Copula函數(shù). 二維情況下，3種函數(shù)的表達(dá)式為

二維t Copula函數(shù)

Ct(u,v;θ,k)=

(12)

二維Gaussian Copula函數(shù)

CG(u,v)=

(13)

二維Frank Copula函數(shù)

(14)

3 分析流程

本文提出木結(jié)構(gòu)古建筑易損性曲線的建立方法，通過Copula函數(shù)考慮不同失效模式相關(guān)性對結(jié)構(gòu)易損性的影響，完成對木結(jié)構(gòu)古建筑易損性分析. 其具體分析步驟為：

1) 選取不同的地震需求參數(shù)，采用增量動(dòng)力時(shí)程分析法建立結(jié)構(gòu)在不同失效模式下的地震易損性曲線.

2) 通過式(9)計(jì)算地震需求參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)θ.

3) 計(jì)算Copula函數(shù)的密度函數(shù),根據(jù)式(11)～(14)得出考慮失效模式相關(guān)性的易損性曲線.

4 實(shí)例分析

4.1 木結(jié)構(gòu)古建筑概況

以北京市東城區(qū)崇文門的花市火神廟為研究對象，建立考慮失效模式相關(guān)性的易損性曲線. 花市火神廟始建于明代，距今已有450 a歷史. 花市火神廟在使用過程中曾遭損壞，于清代乾隆年間重新修繕，2004年又對其進(jìn)行整體修繕. 花市火神廟建筑總面積為543.44 m2，其中后殿建筑面積為132.20 m2，主體結(jié)構(gòu)形式為地上1層抬梁式木構(gòu)架，無地下室，屋頂形式為木屋架兩面坡筒瓦硬山屋頂，檐頭高為3.7 m，屋脊高為7.0 m，臺(tái)基高為0.7 m. 建筑的細(xì)部尺寸詳見《清工部工程做法則例圖解》[20]. 立面圖見圖1，平面圖見圖2.

對火神廟后殿進(jìn)行現(xiàn)場檢測，檢測結(jié)果表明該建筑木材無明顯腐朽，但局部有油漆剝落和構(gòu)建開裂的狀況. 其建筑外觀損傷情況見圖3.

4.2 單一失效模式下的失效概率計(jì)算

4.2.1 增量動(dòng)力分析

運(yùn)用Ansys軟件建立結(jié)構(gòu)的有限元模型. 木結(jié)構(gòu)古建筑中的柱與額枋所采用的榫卯方式具有半剛性的特點(diǎn)，即節(jié)點(diǎn)介于鉸接與剛接之間相對于彎矩作用所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)變形而言，節(jié)點(diǎn)由于軸力、剪力及扭矩所產(chǎn)生的軸向拉壓變形、剪切變形及扭轉(zhuǎn)變形較小，可以忽略不計(jì). 因此，榫卯節(jié)點(diǎn)的力學(xué)模型可以用彈簧單元來模擬. 花市火神廟的木柱直接擱置在礎(chǔ)石之上，所以結(jié)構(gòu)僅能依靠柱與礎(chǔ)石之間的摩擦力來抵抗水平荷載，類似于鉸接連接[21]. 基于此，采用桿系單元來模擬木結(jié)構(gòu)古建筑的梁柱，用彈簧單元來模擬木結(jié)構(gòu)古建筑榫卯節(jié)點(diǎn)的半剛性特點(diǎn)，柱底與地面采用鉸接的方式. 采用殼單元來模擬屋蓋. 根據(jù)古建筑屋面做法及恒活荷載組合[22-23]，計(jì)算所得屋面荷載為4 030 N/m2. 在建模分析時(shí)，結(jié)合建筑物實(shí)際殘損狀和相關(guān)文獻(xiàn)[24]，對材料的力學(xué)性能進(jìn)行了適當(dāng)?shù)恼蹨p，其簡化計(jì)算模型如圖4所示.

從太平洋地震工程研究中心強(qiáng)震記錄庫中隨機(jī)選取100條地震波，來計(jì)算結(jié)構(gòu)在不同地震波下地震的反應(yīng). 地震動(dòng)可以通過PGA[25]、PGV[26]、Sa(T)[27]等強(qiáng)度指標(biāo)來表示. 本文選取PGA作為地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo).

4.2.2 結(jié)構(gòu)地震需求

木結(jié)構(gòu)古建筑以木構(gòu)架為主要承重體系，榫卯節(jié)點(diǎn)是構(gòu)件間特有的連接方式. 歷史震害資料[28]和相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究并表明[29]，榫卯節(jié)點(diǎn)是木結(jié)構(gòu)古建筑的抗震薄弱部位. 在地震發(fā)生時(shí)，木結(jié)構(gòu)古建筑表現(xiàn)出小震下易損壞性和大震下的抗倒塌性. 小震下的易損壞性表現(xiàn)最為明顯的部位為屋頂. 李鐵英等[11]通過對應(yīng)縣木塔進(jìn)行振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)合計(jì)算分析和震害資料，以變形、殘損、構(gòu)建承載能力及修復(fù)難易程度為基準(zhǔn)，給出了震害等級和結(jié)構(gòu)層間位移角(Δ/H)之間的關(guān)系，見表1. 榫卯節(jié)點(diǎn)是木結(jié)構(gòu)古建筑主要承重體系的重要連接部位，也是薄弱部位. 半剛性的特點(diǎn)允許榫卯節(jié)點(diǎn)可以在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)但轉(zhuǎn)動(dòng)范圍有限. 而且隨著轉(zhuǎn)動(dòng)角度的增大，節(jié)點(diǎn)殘損及拔榫量會(huì)不斷加劇. 根據(jù)《木結(jié)構(gòu)古建筑維護(hù)與加固技術(shù)規(guī)范》[23]和張富文等[30]、Keita等[29]試驗(yàn)研究結(jié)果，總結(jié)分析幾種常用榫卯節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角度(θ)和殘損度之間的關(guān)系. 選取榫卯節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角度的余弦值(cosθ)作為衡量指標(biāo)，該值和結(jié)構(gòu)震害之間的對應(yīng)關(guān)系見表1.

表1 花市火神廟極限破壞狀態(tài)

表2 木結(jié)構(gòu)古建筑構(gòu)件地震需求模型

4.3 考慮失效模式相關(guān)性的地震易損性分析

4.3.1 選取適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)

根據(jù)各個(gè)需求參數(shù)的失效功能函數(shù)繪制二元頻率直方圖，根據(jù)直方圖的特點(diǎn)，來選定適宜的Copula函數(shù). 根據(jù)圖7可知，該頻率直方圖具有對稱的尾部，可以選取Gaussian Copula函數(shù)來描述各失效模式之間的相關(guān)性.

4.3.2 計(jì)算相關(guān)系數(shù)

根據(jù)式(9)對地震參數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析得到結(jié)構(gòu)地震需求之間的相關(guān)系數(shù)，見表3. 表3是通過Gaussian Copula函數(shù)計(jì)算所得的地震需求相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)的值小于1且均大于0.8，可以看出各地震相關(guān)參數(shù)之間是非線性相關(guān)的關(guān)系，其相關(guān)效果較為顯著.

表3 結(jié)構(gòu)地震需求之間相關(guān)系數(shù)

4.3.3 考慮失效模式相關(guān)性的破壞概率

運(yùn)用式(11)～(12)計(jì)算花市火神廟后殿考慮不同失效模式間相關(guān)性的結(jié)構(gòu)易損性曲線. 為了便于比較和表達(dá)，將Copula函數(shù)計(jì)算所得的易損性曲線繪于圖6中.

通過對比發(fā)現(xiàn)，在4種破壞狀態(tài)下，通過Gaussian Copula函數(shù)計(jì)算所得的失效概率大于任何一個(gè)失效模式的失效概率. 隨著地震動(dòng)強(qiáng)度的增加，考慮失效模式相關(guān)性的易損性曲線與單一失效模式的易損性曲線差距逐漸增大. 因此當(dāng)?shù)卣饎?dòng)強(qiáng)度較大時(shí)，僅采用單一失效模式來衡量木結(jié)構(gòu)古建筑的易損性時(shí)，可能會(huì)低估結(jié)構(gòu)的抗震能力.

4.3.4 一階界限法

為了驗(yàn)證Gaussian Copula函數(shù)的準(zhǔn)確性，采用一階界限法繪制結(jié)構(gòu)的易損性曲線進(jìn)行對比. 計(jì)算公式為

(15)

式中：Pi為構(gòu)件i的失效概率；m為構(gòu)件數(shù)量. 將構(gòu)架易損性函數(shù)帶入式(15)即可得結(jié)構(gòu)易損性的上、下邊界，見圖6.

根據(jù)圖6可知Gaussian Copula函數(shù)得到的結(jié)構(gòu)易損性曲線介于上界和下界之間，并貼近于下界.

5 結(jié)論

1) 基于Ansys有限元軟件及增量動(dòng)力分析方法，建立了傳統(tǒng)木結(jié)構(gòu)古建筑的易損性模型. 將Copula函數(shù)應(yīng)用于木結(jié)構(gòu)古建筑易損性研究中. 選取明代建筑花市火神廟后殿為研究對象，根據(jù)地震需求參數(shù)的二維頻率直方圖具有對稱尾部的特性，選取Gaussian Copula函數(shù)建立考慮失效模式相關(guān)性的傳統(tǒng)木結(jié)構(gòu)古建筑易損性曲線.

2) 考慮木結(jié)構(gòu)古建筑失效模式相關(guān)性而得出的易損性計(jì)算結(jié)果要高于任何一種失效模式的易損性計(jì)算結(jié)果. 若以單一實(shí)效模式來衡量結(jié)構(gòu)易損性，可能會(huì)低估結(jié)構(gòu)易損性.

3) 運(yùn)用一階界限法建立花市火神廟的易損性曲線，并將計(jì)算結(jié)果與基于Copula函數(shù)計(jì)算得到的系統(tǒng)易損性曲線進(jìn)行對比. 結(jié)果表明一階界限法得到的木結(jié)構(gòu)古建筑的易損性曲線有較大誤差.