基于頻譜分析的柔性機械臂旋轉運動路徑規(guī)劃與實驗研究

余臻 郭毓 姚偉

摘要： 針對一類懸臂式柔性機械臂系統(tǒng)旋轉運動過程中的振動抑制問題，首先利用拉格朗日法進行系統(tǒng)動力學建模;然后從頻譜分析的角度出發(fā)，提出了基于剛度控制區(qū)主頻定位和阻尼控制區(qū)較小幅值兩個原則的路徑規(guī)劃設計思路;再通過分析系統(tǒng)的剛柔耦合特性，提出了基于上述原則的路徑參數(shù)選擇方法;最后，基于Quanser Rotary Flexible Link實驗系統(tǒng)，以經典Bang-Coast-Bang型路徑為例，進行了優(yōu)化參數(shù)的選擇。理論分析及實驗結果表明，所提路徑規(guī)劃設計思路是有效的，且使用所提方法選擇路徑參數(shù)，可有效減小旋轉運動激發(fā)的柔性振動，所提思路對柔性結構旋轉機動路徑規(guī)劃具有指導意義。

關鍵詞： 振動抑制; 柔性機械臂; 頻譜分析; 旋轉運動; 路徑規(guī)劃

中圖分類號： TB535; O313.7; TP241 ?文獻標志碼： A ?文章編號： 1004-4523（2020）04-0717-007

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.009

引 言

在現(xiàn)代機器人及航天工程等領域，柔性機械臂以其質量輕、靈活性好以及效率高等優(yōu)勢得到了廣泛應用。常見的柔性機械臂系統(tǒng)通常由柔性懸臂梁以及末端驅動電機組成，可進行水平旋轉運動。根據(jù)特定任務要求，在操作過程中常需要進行大角度Rest-to-Rest旋轉快速運動快速穩(wěn)定，即初始和期望角速度均為零。由于柔性機械臂模態(tài)阻尼較小，快速旋轉運動易激發(fā)不期望的柔性振動，從而對系統(tǒng)性能產生不利的影響，持續(xù)的振動甚至會導致結構的疲勞損壞，因此，針對柔性機械臂結構的振動抑制研究具有重要的理論與應用意義。

在柔性機械臂Rest-to-Rest旋轉運動控制中，參考輸入若為階躍信號，則初始階段較大的誤差會引起驅動電機的強烈動作，從而導致超調以及激發(fā)柔性臂的強烈振動。因此，使用路徑規(guī)劃技術以柔化旋轉運動過程是一種行之有效的振動抑制方法。然而，由于驅動電機提供的最大力矩和測量機構量程的限制，使得運動過程中電機的最大角加速度和最大角速度受限，同時考慮減少激發(fā)柔性振動，這就需要設計優(yōu)化期望運動路徑?？焖龠\動要求路徑加速度盡量大，而快速穩(wěn)定要求運動過程盡量少激發(fā)柔性臂振動，路徑加速度須盡量小。顯然，快速運動與快速穩(wěn)定對路徑參數(shù)的要求是矛盾的，因此在進行路徑規(guī)劃時需要同時兼顧這兩個方面的要求，折衷選擇合適的路徑參數(shù)。目前，不同形式的期望運動路徑已被提出，包括但不限于：Bang-Coast-Bang （BCB）型[1]、Smoothed Bang-Bang型[2]、S函數(shù)型[3]、拋物線型[4]、正弦函數(shù)型[5]、余弦函數(shù)型[6]、五次多項式型[7]、非對稱梯形[8]等，其中BCB型最經典也最簡單，應用最為廣泛。然而，在已有文獻中這些路徑類型對系統(tǒng)快速運動快速穩(wěn)定性能的影響大多通過仿真得到，缺乏理論研究，無法揭示路徑規(guī)劃減少系統(tǒng)柔性振動的機理. 文獻[9]首次對BCB型和拋物線型路徑進行了頻譜分析，初步開展了柔化運動路徑減振機理的理論研究。

柔性機械臂旋轉運動的控制效果不僅與路徑類型相關，還與路徑參數(shù)密切相關。現(xiàn)有文獻中對路徑參數(shù)確定的理論研究成果不多，大多采用離線優(yōu)化的方法選擇優(yōu)化參數(shù)，再通過仿真加以驗證，但是難以得到對其他系統(tǒng)路徑參數(shù)設計具有一般性指導意義的方法。文獻[10]首次推導得到了BCB型路徑的頻譜表達式，初步分析了路徑頻譜、運動時間與路徑參數(shù)之間的關系。

本文以Quanser Rotary Flexible Link （RFL）實驗系統(tǒng)為研究對象，在分析二階系統(tǒng)幅頻特性和系統(tǒng)剛柔耦合特性的基礎上，提出了基于剛度控制區(qū)主頻定位和阻尼控制區(qū)較小幅值原則的減振運動路徑設計思路以及基于上述原則的路徑參數(shù)選擇方法。以BCB型路徑為例，基于RFL系統(tǒng)進行了實驗研究。本文后續(xù)內容安排如下：第1節(jié)對RFL系統(tǒng)進行了動力學建模與分析;第2節(jié)闡述了減振路徑設計思路與參數(shù)選擇方法;第3節(jié)給出了實驗結果與分析;第4節(jié)為本文結論。

1 RFL系統(tǒng)動力學建模

本文研究的RFL實驗系統(tǒng)實物如圖1所示，其中FLEXGAGE臂由一個不銹鋼材質的薄柔性臂①和一個安裝于其固定端的應變計②組成。由于安裝在Quanser SRV02平臺③上，從而形成了一個可水平轉動的柔性臂平臺，可用于實施各種柔性結構控制實驗。通過使用直流電機驅動柔性臂在水平面內繞固定端旋轉，柔性臂的電機固定端安裝了可測量末端撓度的應變計，其輸出為一個正比于柔性臂撓度的模擬信號。

雖然只有電機與柔性臂的角位置可測，但其角速度可由數(shù)字控制器計算得出，即對角位置進行微分再使用高通濾波器對結果進行濾波處理。

為了在旋轉運動過程中盡可能減小對柔性臂振動的激發(fā)，可以通過預先規(guī)劃電機角加速度d，使得其不易激起振動。再使用控制器對其進行跟蹤，使實際角加速度≈d，將調節(jié)控制問題轉化為路徑跟蹤控制問題，這樣就可以得到一種不易激起振動的路徑。

2 減振運動路徑的設計思路與參數(shù)選擇 ?由于柔性臂激勵-JL為非周期信號，而任何周期激勵或非周期激勵總可以通過傅里葉變換（FT）展開成一系列諧波激勵的疊加，因此，首先考慮二階線性系統(tǒng)在諧波激勵下的響應，再通過線性系統(tǒng)疊加原理就可以分析和得到柔性臂在非周期激勵下的響應。

2.1 二階系統(tǒng)在諧波激勵下的響應

考慮二階線性系統(tǒng)受到諧波信號f（t）=sin（ωet）的激勵，則微分方程可寫為（t）+2ζωn（t）+ω2nx（t）=ω2nsin（ωet）

（12）式中 ζ為系統(tǒng)阻尼比，ωn為系統(tǒng)無阻尼固有頻率，ωe為激勵頻率。系統(tǒng)的幅頻特性為H（ωe）=1（1-ω2eω2n）2+（2ζωeωn）2

（13） ?以激勵頻率ωe與系統(tǒng)無阻尼固有頻率ωn之比為橫坐標，H（ωe）為縱坐標，根據(jù)式（13）給出不同阻尼比ζ時的幅頻特性曲線，如圖3所示。

由圖3可知：

當激勵頻率遠低于系統(tǒng)無阻尼固有頻率，即ωeωn1時，H（ωe）→1。且當ωe=0時，H（ωe）=1。系統(tǒng)在ωeωn1區(qū)域內的特性主要由系統(tǒng)剛度決定，因此這一區(qū)域稱為“剛度控制區(qū)”。

當激勵頻率遠高于系統(tǒng)無阻尼固有頻率，即ωeωn1時，H（ωe）<1，且當ωe→∞時，H（ωe）→0。系統(tǒng)在ωeωn1區(qū)域內的特性主要由系統(tǒng)慣性決定，因此這一區(qū)域稱為“質量控制區(qū)”。

當激勵頻率約等于系統(tǒng)無阻尼固有頻率，即ωeωn≈1時，H（ωe）出現(xiàn)峰值。比較不同阻尼比ζ的特性曲線可知，ζ越小，峰值越大。系統(tǒng)在ωeωn≈1區(qū)域內的特性主要由系統(tǒng)阻尼決定，因此這一區(qū)域稱為“阻尼控制區(qū)”。進一步，當激勵頻率等于共振頻率ωr時，即ωr=1-2ζ2ωn（14） ?H（ωe）出現(xiàn)峰值H（ωr），此時系統(tǒng)發(fā)生共振[11]。

2.2 柔化運動路徑的減振機理

柔性臂的激勵為非周期信號，因此含有連續(xù)的頻譜分布，即其頻譜在每個頻率點處都有幅值。顯然，對期望路徑角加速度d進行FT得到其頻譜，再通過分析其頻譜特性與柔性臂固有頻率之間的關系，可總結出柔化運動路徑的減振機理。

由于柔性臂阻尼比很小，則由式（14）可知ωr≈ωn，即當激勵頻率接近其固有頻率時，系統(tǒng)發(fā)生共振，同時因極小的阻尼比，共振峰值H（ωr）≈H（ωn）≈12ζ非常大，因此，d的頻譜在各階模態(tài)固有頻率處的幅值大小決定了柔性振動被激發(fā)的程度。從減振角度出發(fā)，應使d的頻譜在各階固有頻率處的幅值盡量小。

考慮到柔性臂主導模態(tài)集中在低頻區(qū)域，主要為第1階模態(tài)，因此，應使d的主頻遠離柔性臂第1階模態(tài)固有頻率，即遠離其“阻尼控制區(qū)”，然而，還需進一步分析其主頻應位于“剛度控制區(qū)”還是“質量控制區(qū)”。由圖3可知，在“質量控制區(qū)”中，當激勵頻率大于固有頻率的1.5倍以上時，H（ωe）<1，且倍數(shù)越大，幅值衰減越明顯;而在“剛度控制區(qū)”中，當激勵頻率小于固有頻率的0.5倍以下時，H（ωe）→1，且倍數(shù)越小，幅值衰減并不明顯。

表面上看，“質量控制區(qū)”的幅值衰減比“剛度控制區(qū)”明顯，并且也能保證旋轉運動的快速性，但由于柔性臂本質上為分布參數(shù)系統(tǒng)，具有無窮多個模態(tài)，且模態(tài)密集。若d的主頻位于第1階模態(tài)固有頻率的“質量控制區(qū)”，則易激發(fā)高頻模態(tài)振動，因此，其主頻應位于“剛度控制區(qū)”，即不應高于第1階模態(tài)固有頻率，然而，若d的主頻遠小于第1階模態(tài)頻率，則運動快速性不能滿足。

綜合以上分析，可以得到柔化路徑的減振機理：

（1） 剛度控制區(qū)主頻定位原則

定義定位指標為δ=ωzω1（15）式中 ωz為路徑d的主頻，即其頻譜最大幅值所對應的頻率，ω1為柔性臂第1階模態(tài)固有頻率。為保證主頻位于ω1的“剛度控制區(qū)”，且運動速度不至于過慢，須在滿足任務中運動時間要求下盡量使得ωz遠離ω1。通常情況下，應使0.05≤δ≤0.1。

（2）阻尼控制區(qū)較小幅值原則

令Ai為路徑d的頻譜在柔性臂各模態(tài)固有頻率處的幅值，其所對應的頻率落在各模態(tài)固有頻率的“阻尼控制區(qū)”，由于阻尼比極小，應使得Ai越小越好，以減少激發(fā)柔性振動。

根據(jù)上述兩個原則，可以分析不同路徑類型及參數(shù)對柔性臂系統(tǒng)的影響，從而指導如何規(guī)劃減振路徑。

2.3 基于減振路徑設計思路的參數(shù)選擇方法

通過對期望路徑的角加速度信號進行離散傅里葉變換（DFT），可得到其頻譜分布Φ（k），進而可得到路徑參數(shù)與期望角加速度信號頻譜Φ（k）之間的定量關系。令路徑頻譜Φ（k）滿足2.2節(jié)所提剛度控制區(qū)主頻定位和阻尼控制區(qū)較小幅值原則，可得到不易激發(fā)柔性臂振動的路徑參數(shù);再綜合考慮路徑參數(shù)與運動總時間Tz之間的關系，則可兼顧運動快速性和穩(wěn)定性。

因此，柔化路徑參數(shù)的選擇方法可歸納為以下步驟：

1）針對路徑類型、系統(tǒng)限制以及任務要求，得到路徑參數(shù)約束式;

2）使用DFT推導得到路徑角加速度的頻譜表達式;

3）根據(jù)路徑頻譜表達式和參數(shù)約束式分別得出路徑參數(shù)與δ，A1以及Tz的關系;

4）基于剛度控制區(qū)主頻定位和阻尼控制區(qū)較小幅值原則確定參數(shù)取值區(qū)域;

5）找出此區(qū)域中滿足A1=0的一組參數(shù)即為優(yōu)化參數(shù)。

3 實驗結果與分析

3.1 RFL系統(tǒng)實驗參數(shù) ?為驗證所提路徑規(guī)劃減振機理以及參數(shù)選擇方法的有效性，以BCB型路徑為例，使用LQR跟蹤控制算法，基于RFL實驗平臺進行水平旋轉運動實驗研究，其主要物理參數(shù)和控制參數(shù)如表1所示。

利用式（19）所描述的路徑參數(shù)a和T與頻譜Φ（k）之間的定量關系，根據(jù)柔性臂實測固有圓頻率ωn=20.268 rad/s，針對系統(tǒng)限制以及任務要求，使用2.3節(jié)所提方法可得到一組兼顧運動快速性與穩(wěn)定性的參數(shù)為aT=8800.52，具體參數(shù)選擇步驟的實現(xiàn)可參考文獻[10]。因此，考慮以下兩種實驗方案：

1）使用階躍信號作為參考輸入進行運動;

2）使用基于所選優(yōu)化參數(shù)的BCB型路徑進行運動。

優(yōu)化參數(shù)下規(guī)劃的BCB型路徑頻譜如圖5所示，可以看出，柔性臂固有頻率落在路徑頻譜的零點處，因此可有效減少對柔性振動的激發(fā)。

為比較不同方案下RFL系統(tǒng)旋轉運動控制的效果，考慮以下三個性能指標：1）瞬態(tài)振動強度αm，即運動過程中柔性臂偏轉角的最大絕對值;2）平均振動強度pL，即計算從0到5 s的柔性臂偏轉角均方根值;3）平均控制量pV，即計算從0到5 s的電機控制電壓均方根值。系統(tǒng)性能指標如表2所示。

由表2可知，使用階躍參考信號進行運動時，RFL系統(tǒng)峰值偏轉角較大，易激發(fā)柔性振動，且所需控制輸入也較大;而使用基于優(yōu)化參數(shù)的BCB型路徑進行運動時，系統(tǒng)在瞬態(tài)振動強度、平均振動強度以及控制輸入方面均優(yōu)于階躍路徑，可在完成快速運動的同時，減少對柔性振動的激發(fā)。

4 結 論

基于RFL實驗平臺，利用所提方法設計BCB型路徑用于柔性臂系統(tǒng)Rest-to-Rest旋轉運動實驗，與傳統(tǒng)的階躍指令相比，可在提高運動快速性的同時，大幅降低柔性臂的振動強度，并可避免過度的控制輸入。實驗結果表明所提路徑設計思路及參數(shù)選擇方法可有效減少旋轉運動過程對柔性振動的激發(fā)，對機器人柔性機械臂運動控制、撓性航天器姿態(tài)機動控制等領域的路徑規(guī)劃設計具有一定的理論指導意義。

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Abstract： This paper tackles the issues of path planning for rotational motions of a flexible manipulator system with vibration suppression. Dynamic modeling of the system is presented via the Lagrange method. Based on the spectral analysis approach， a novel idea composed of two principles， i.e. dominant-frequency placement in stiffness region and less amplitude in damping region， is proposed for path planning. By analyzing the rigid-flex coupling characteristics of the system， a selection method of path parameters based on the two principles is proposed. A case study of Bang-Coast-Bang path parameter selection on Quanser Rotary Flexible Link system is given. Theoretical analysis and experimental results demonstrate the effectiveness of the proposed idea. The resulting maneuver path using the proposed parameter selection method can reduce stimulation of flexible vibrations effectively. This idea can instruct path planning design for slew maneuvers of flexible structures.

Key words： vibration suppression; flexible manipulator; spectral analysis; rotational motion; path planning